单自由度系统受迫振动

1.3单自由度系统受迫振动受迫振动——系统在外界激励下产生的振动激励形式——可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。有阻尼系统在简谐激振力作用下，系统的运动微分方程为令得到有阻尼质量弹簧系统受迫振动微分方程的标准形式微分方程的全解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。齐次方程通解:x1(t)非齐次方程特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解x1(t)－有阻尼自由振动运动微分方程的解：特解为:有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解由二部分组成：＊第一部分振动的频率是自由振动频率

；由于阻尼的作用，这部分的振幅都时间而衰减。---瞬态振动＊第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减－稳态受迫振动。特解为:代入方程解得幅频特性与相频特性引入量纲为1的参数β，s，ζ----称为静力偏移β为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。s是激励频率与固有频率之比，称为频率比。β−s称为幅频特性曲线θ−s称为相频特性曲线结论：（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性以s为横坐标画出β(s)曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当激振频率相对于系统固有频率很低响应的振幅A

与静位移B相当（2）当激振频率相对于系统固有频率很高响应的振幅很小（3）在以上两个领域对应于不同ζ值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（4）当对应于较小ζ

值，β(s)迅速增大当ζ=0β(s)→∞共振振幅无穷大但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左振幅无极值（6）当单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性记:品质因子在共振峰的两侧取与对应的两点带宽与的关系阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性以s为横坐标画出θ(s)曲线相频特性曲线（1）当s<<1（ω<<ω0）相位差θ≈0位移与激振力在相位上几乎相同（2）当s>>1（ω>>ω0）θ≈π位移与激振力反相（3）当s≈1ω≈ω0共振时的相位差为，与阻尼无关【例】图示带有偏心块的电动机，固定在一根不计自重的弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚度系数为k，阻力系数为c，求当电机以匀角速度ω旋转时系统的稳态振动的位移幅值。【解】系统可简化为图示的力学模型，将电机与偏心块看成一个质点系设电机轴心在t瞬时相对平衡位置的坐标为x偏心块的坐标为x+esinωt，质点系动量定理在x方向的投影表达式为整理后得系统的微分方程为引入微分方程化为标准形式解得令解得其幅距频特查性和罢相频波特性获曲线【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为。求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。【解】以物暴块的验静平抵衡位稻置为烤坐标努原点无，考束察其设相对分地球哪的运断动（贪绝对接运动趴），职运动估微分线方程强可写允为令则微护分方法程可祥写成其中微分斤方程蓬特解披：回代味得：由前职计算汪化简俩可得系统涝的幅室频特淘性和缝相频暗特性巴为代入引入水量纲菜为1的量:系统估的幅诞频特节性为系统斑的相掏频特咬性为系统絮的幅仔频特隆性和孤相频特性故曲线单自单由度绘系统若受迫司振动/受迫支振动例的过垂渡阶禾段受迫伸振动荒的过以渡阶尸段在系号统受侮到激斤励开责始振乳动的狡初始例阶段灾，其棋自由交振动剩伴随诞受迫卷振动葬同时轮发生甲。系棵统的沫响应蜡是暂伶态响义应与臣稳态号响应开的叠语加回顾炼：显含t，非膏齐次岁微分震方程非齐钥次微沙分方特程通解齐次践微分昂方程通解非齐芽次微洗分方下程特解阻尼浊自由唐振动逐渐独衰减持续伍等幅尿振动暂态商响应稳态想响应单自弊由度辱系统食受迫诉振动/受迫言振动修的过水渡阶啦段先考亡虑无脉阻尼离的情冈况，赤假设合激励抬为正串弦激餐励通解号：齐次允方程若通解非齐拾次方芒程特瘦解由初支始条祸件确曾定单自说由度剃系统碰受迫截振动/受迫捆振动冰的过很渡阶渔段初始笛条件粘响应自由坝伴随福振动强迫老响应以系躁统固廊有频浇率振效动单自萄由度粮系统顽受迫明振动/受迫馆振动裁的过串渡阶祸段初始絮条件穿响应自由换伴随精振动强迫挖响应初始张条件所为零自由岭伴随昂振动强迫乞响应由于筒系统扯是线县性的,也可祸以利仔用叠督加定察理求观解通解:初始散条件管响应自由放伴随笔振动强迫桥响应单自买由度酱系统陵受迫请振动/受迫蛛振动序的过页渡阶厌段单自政由度贡系统夸受迫舅振动/受迫著振动芒的过厉渡阶挎段即使忙在零妥初始份条件歉下,也有此自由板振动亏与受椅迫振臣动相谈伴发痒生.实际默中总绘是存览在着井阻尼管的影买响,因而尼上式菌右端社的暂脑态运乱动会悬逐渐贺衰减,进而馋消失,最终鸽系统诊为稳播态响炸应.单自帽由度镇系统危受迫沿振动/受迫沫振动柳的过衬渡阶诵段例:计算初始条件,以使的响应只以频率振动.解:如果要使系统响应只以为频率振动必须叉成立:初始蒙条件:例:计算初始条件,以使的响应只以频率振动.单自段由度饶系统灿受迫闹振动/受迫尤振动恐的过拌渡阶阅段解:全解由求一笨阶导毫数由单自李由度授系统汽受迫冠振动/受迫辫振动物的过原渡阶区段如果要使系统响应只以为频率振动初始谜条件:单自自由度底系统窃受迫蓬振动/受迫浩振动睡的过桐渡阶启段若激歉励频艳率与炒固有初频率嫁十分链接近令为小士量考虑腹稳态剃响应单自涛由度颠系统纤受迫李振动/受迫谁振动兰的过皆渡阶邀段可看作频率为，振幅按规律缓慢变化的振动这种潮在接在近共著振时晕的特落殊振传动现脖象称浊为拍拍的趋周期赖为：图形拖的包视络线喊：单自镰由度宇系统谨受迫循振动/受迫孕振动身的过救渡阶毯段当随着t增大掏，振睛幅无父限增励大，巨无阻端尼系逆统共拣振的汽响应跳曲线即使畏是无圣阻尼雨系统辨，要纲达到榨理论狠上的毕无穷亲大振乌幅，狗也需宪要无果限长陵的时负间。所以局，如齐果机暑器的我工作常运转牺速度锤设计切在共戴振转辩速以卧上，无穿越装共振挤去并负没有赵很大砖困难沃，只暖要穿谣越的我快些愈就好辈。单自泥由度肿系统忧受迫数振动/受迫飞振动烈的过杜渡阶粥段讨论动有阻弟尼系禁统在传过渡谦阶段步对简慌谐激弊励的伞响应利用炊前述钳相同桨的方谢法，申可得初始醋条件宣响应自由生伴随监振动强迫欺响应单自率由度义系统炮受迫惕振动/受迫崇振动作的过懂渡阶书段初始音条件毯响应自由闪伴随咏振动强迫驾响应经过刊充分宁长的剪时间够，作摔为瞬壶态响疏应的茎前两永种振隐动将更消失遗，只宣剩下利稳态守强迫浮响应单自膝由度女系统生受迫迅振动/受迫坏振动价的过靠渡阶哄段初始融条件娘响应自由想伴随粉振动强迫渔响应对于白零初波始条锋件单自减由度科系统截受迫狗振动/简谐控惯性招力激师励的迁受迫竿振动简谐略惯性驴力激冬励的换受迫五振动背景蠢：地席基振当动，骡转子寺偏心纹引起宴的受表迫振攀动特点赢：激晓振惯怀性力亭的振葵幅与蹄频率露的平催方成诊正比坐标航：相析对基秆座的从位移动力局学方特程基座采运动排规律单自有由度糟系统嫩受迫先振动/简谐启惯性剂力激惨励的势受迫节振动解得校：回顾叨：单自赞由度略系统论受迫齐振动/简谐特惯性西力激清励的论受迫剥振动单自疾由度菠系统闭受迫砍振动/简谐棍惯性毛力激品励的朽受迫峡振动若以被绝对米位移凶为赴坐标单自笋由度狱系统抚受迫为振动/简谐泥惯性率力激柴励的说受迫躲振动单自佩由度浇系统例受迫用振动/简谐古惯性健力激朗励的授受迫丸振动可以羞看出栋：当听时，振幅叼恒为飞支撑叉运动侍的振衰幅D当身时，振幅杠恒小去于D增加时阻尼鱼反而赠会使搞振幅与增大单自款由度枣系统近受迫常振动/简谐侧惯性示力激愚励的疑受迫窝振动单自培由度杏系统钻受迫磁振动/简谐渣惯性侮力激宏励的婚受迫梳振动解：汽车胜行驶怒的路生程可班表示印为：则路面场的激维励频讽率为由为常袍数得与嗽成痕反比空载艳时的怒阻尼输比为涂：满载词和空继载时洞的频贯率比哈：单自创由度概系统富受迫扭振动/简谐羊惯性田力激衔励的泻受迫蹲振动满载栋时的梳阻尼款比为郊：空载迁时的绩阻尼输比为屋：满载钢时的准频率房诚比：空载加时的四频率怀比：记满潜载时庄的振呢幅为空载阅时的下振幅政为满载火与空应载的坝振幅稀比为单自专由度叫系统慎受迫宵振动/简谐紧惯性剩力激此励的涨受迫蕉振动已知砍梁截仆面惯粥性矩I，弹性影模量E，梁质签量不箭计例支座A产生构微小绍竖直术振动支座B不动求：宏质量m的稳桌态振弃动振位幅解：格在质狼量m作用姜下，演由材巴料力杰学可洞求出茶静挠唯度固有晓频率：因的运脑动而乞产生差的质阔量m处的下运动动力恶学方坛程：振幅单自休由度饿系统失受迫公振动/简谐徒惯性爬力激刺励的炼受迫峡振动支承烂运动婚小结基座妹位移踪蝶规律辨：相对雅位移绝对辣位移单自蚀由度叙系统孟受迫暖振动/简谐酒惯性村力激墨励的仆受迫揉振动高速骨旋转饭机械岔中，眨偏心墓质量打产生割的离举心惯考性力娘是主珍要的咬激励津来源泄。旋转隐机械包总质镜量为M，转依子偏仆心质横量为m，偏鸣心距荣为e，转筐子转尽动角侍速度独为ω。x：机器丘离开在平衡悔位置拘的垂到直位椅移则偏捧心质泪量的柄垂直膀位移茫：由达耽朗伯侄原理耍，系劫统在池垂直艺方向微的动姻力学研方程连：单自勤由度简系统本受迫茫振动/简谐蛋惯性寄力激隶励的乐受迫阴振动不平瞎衡量腰引起狠的离圈心惯讽性力设单自讯由度底系统冲受迫棍振动/简谐杨惯性山力激越励的苗受迫迅振动单自滥由度罩系统英受迫芹振动/简谐散惯性欢力激椅励的撕受迫挑振动例：偏心盾质量晓系统共振壤时测篮得最模大振汉幅为0.弄1m由自愿由衰僵减振倘动测惯得阻漆尼系岁数为设求：（1）偏具心距e，（2）若枕要使推系统向共振俭时振石幅为0.炕01远m，系谢统的把总质载量需团要增紫加多投少？单自膏由度当系统舱受迫苏振动/简谐百惯性愈力激原励的霸受迫氏振动解：（1）共印振时滋的最骆大振碰幅（2）若驾要使币共振棚时的伪最大朽振幅0.颈01像m单自概由度柿系统移受迫勺振动/简谐翼惯性汇力激贿励的览受迫矩振动偏心吃质量患小结单自滩由度海系统派受迫蒜振动/机械宾阻抗杜和导比纳机械似阻抗掏与导卧纳工程创中常默用机疯械阻机抗来煮分析见结构捉的动弹力特隙性。机械饼阻抗史定义避为简任谐激弦振时额复数庄形式惑的输喉入与爆输出倘之比动力沿学方温程：输入闻：输出矿：代入苏得：根据需定义伐，位壮移阻微抗：单自键由度碗系统株受迫翠振动/机械虫阻抗疮和导我纳位移闹阻抗很与复红频响蓝应函控数互播为倒疏数，H(衫ω问)也称升为导纳输出崭也可环以定湖义为速度或加速犹度，相辩应的聋机械扣阻抗葬称为速度桑阻抗和加速近度阻努抗。速度脖阻抗加速域度阻透抗机械铸阻抗欲的倒什数称贼为机轿械导礼纳，遍相应摸、案、天分踏别有位移钥导纳、速度息导纳和加速浇度导嫌纳机械义阻抗剧和机翻械导桥纳都辩仅仅剑取决幕于系惧统本穴身的墙动力畜特性娃（m，k，c），它们葛都是障复数柴。单自励由度宵系统风受迫金振动/机械团阻抗纱和导苍纳现已掌有多陆种专构门测钥试机境械阻车抗的昆分析锣仪器乳，根围据系定统的格机械眠阻抗爪可以希确定宜和分障析系绩统的趟固有宾频率闹，相骨对阻胆尼系绵数等顷参数慕及其瓜它动耕力特朵征。单自沾由度雅系统梅受迫翅振动/工程曾中的狼受迫膏振动塌问题/惯性咐式测偿振仪惯性忘式测缎振仪基础督位移x为m相对穷于外障壳的找相对持位移动力距方程界：振幅享：当仪屿器的大固有肤频率胁远小喷于外晃壳振恶动频辈率时滋，仪核器读伍数的样幅值A1接近性外壳叠振动桑的振汗幅D低固过有频弱率测抢量仪缠用于坦测量鸣振动刑的位泛移幅全值，远称为位移竿计单自毅由度址系统栋受迫便振动/工程采中的惩受迫防振动庆问题/惯性葬式测列振仪当仪排器的腥固有旋频率执远大墨于外铺壳振雄动频仅率时逢，仪毛器读劫数的罗幅值A1与外忠壳加梅速度至的幅团值成冬正比高固慨有频父率测为量仪巨用于疯测量店振动饿的加出速度料幅值横，称菊为加速脉度计被测倍物体惕的加耐速度身幅值单自君由度逝系统脱受迫盲振动/工程富中的莲受迫慈振动茧问题/惯性热式测妥振仪另一娘种分呈析方峡法基础粮位移辛假定伐为正开弦:x取绝城对位折移，消受力隆图动力签学方缎程：叠加窃原理，解为絮右端绿两项咐解之妙和单自掉由度厉系统浙受迫螺振动/工程店中的案受迫查振动拐问题/惯性毫式测壳振仪和前俯述支承纳运动中的店绝对驶位移拥法结狐果相尿同单自膝由度该系统础受迫形振动/工程遇中的劳受迫检振动城问题/振动喉的隔却离振动绝的隔海离将作末为振唱源的旺机器垮设备徐与地梅基隔胶离，搂以减跟少对发环境耐的影猴响称烛为主动愉隔振主动隔振系数η

＝隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振推后系举统响称应单自稠由度烫系统筛受迫公振动/工程寻中的愚受迫圾振动搏问题/振动锯的隔博离隔振却后通单过k、c传到翁地基弟上的医力：单自构由度蹄系统匹受迫膊振动/工程东中的神受迫轰振动职问题/振动厌的隔贼离单自叶由度溜系统槐受迫渴振动/工程投中的浆受迫冤振动斥问题/振动融的隔碰离解：频率居比：弹性揪支承孕的刚右度：机器捉振动移的振狮幅：主动碰隔振路系数：传到宿地基葛上的闹力幅：单自小由度相系统央受迫鸟振动/工程离中的填受迫技振动饺问题/转子梦的临忌届转仰速转子栋的临忆界转馋速汽轮创机、健发电勾机等眯高速川旋转刘机械车在开秆机或娱停机通过程有中经妥过某退一转询速附家近时渐，支备撑系赔统经呀常会蹲发生极剧烈垦振动临界赖转速在数工值上海很接糟近转茧子横风向振侦动的海固有其频率以单婆盘转桃子为虹例单自继由度扩系统廉受迫抵振动/工程啦中的张受迫厦振动庄问题/转子盘的临保届转圣速单自抢由度曲系统侍受迫巩振动/工程械中的宽受迫松振动厘问题/转子剂的临源届转球速单自巧由度案系统奖受迫洋振动/工程胀中的怜受迫瞎振动荡问题/转子写的临德届转梢速单自闸由度恨系统白受迫蜻振动/工程搞中的傍受迫爽振动关问题/转子染的临宝届转仰速可见业，当啊阻尼撑比较怪小时折，即势使转哈子平启衡得埋很好电（e很小敌），放动挠乐度f也会借相当攀大，槐容易雕使轴师破坏准，这皇样的华转速骂成为临届宝转速，为沾：用每膏分钟银转速批表示蓝：单自矩由度缺系统塘受迫泪振动/工程训中的煤受迫架振动抓问题/转子丝式的临选届转驱速单自态由度掘系统擦受迫触振动/工程舌中的质受迫退振动疾问题/转子瞎的临沉届转这速单自蜜由度威系统锄受迫遣振动/任意此周期植激励鼠的响郊应单自跪由度锈系统滥受迫仍振动/任意苹周期剖激励神的响谢应当卵作忍用于烈系统敢上所茶产生层的静岗变形单自舒由度迎系统帐受迫视振动/任意哪周期告激励框的响科应单自咳由度妇系统罩受迫讽振动/任意竞周期厕激励取的响促应单自理由度砖系统汁受迫梁振动/任意气周期挡激励鞠的响誓应分别惠为第n次谐喝波激盘励所胶对应姜的振防幅放休大因揭子和睡相位堪差单自贱由度固系统沫受迫兄振动/任意铜周期绑激励绵的响袜应单自饼由度帖系统勒受迫稍振动/任意系周期付激励傍的响苍应单自挨由度势系统午受迫案振动/任意抢周期殃激励没的响线应单自访由度发系统深受迫茶振动/任意帖周期闭激励吗的响嚼应单自物由度助系统脊受迫郑振动/非周痛期激疯励的孙响应单自霸由度皂系统恶受迫宝振动/非周著期激凡励的宇响应单自大由度灿系统兽受迫哭振动/非周夜期激惨励的荷响应单自殿由度魂系统废受迫蹲振动/非周质期激尼励的耐响应单自耐由度湖系统弓受迫仇振动/非周负期激熔励的晨响应单自坚由度政系统辩受迫最振动/非周伶期激缓励的困响应系统表的单屋位脉列冲响扒应即巨初始吉位移鲁为零充，而话初始昆速度年为1/塞m的自画由振燃动解为无阻魔尼系解统：若单仰位脉敬冲力挨不是专作用倦在时恢刻t=弯0，而宁是作科用在时刻葵：如果恼系统按在时刻蚀受到泛冲量嘱为I0的任也意脉景冲力他作用微，则耗系统址暂态冤响应警可用庄脉冲邀响应续函数特表示挎为：单自织由度封系统迹受迫昼振动/任意两非周暮期激梅励的认响应任意苗非周湾期激歇励的祸响应当处独于零叶初始况条件依的系长统受眼到任劣意激怀振力遮时，枕可以武将激劣振力F(t)看作复一系队列脉戴冲力崖的叠幅加