【建模教程】-效益与风险问题建模

----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----效益与风险问题建模一、问题分析（—）问题的性质本问题是一个“关于效益与风险的双目标”最优化决策问题。必须在（二）问题的主要因素----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（1）每个方向Si

X；i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（2）S的收益率r与收益R；----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i（3）每个方向Si（4）总收益R；

i的风险率qi

i与风险Q；i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（5）总体风险Q。关键因素为总收益与总体风险。（三）解决问题的难点怎样协调收益与风险之间的矛盾？这是解决该问题的难点。（四）目标函数的确定----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（1）RnRii1

nrXi ii1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（2）总体风险函数Qn

QnqXi i i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（五）数学建模的思路

----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（1）思路1——建立双目标优化模型（2）思路2——建立单目标优化模型（3）思路3——建立多重优化模型对于者来说，有的重视的是收益，而将风险做为第二考虑；有的则----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----重视的是风险，而将收益做为第二考虑。根据这种者的两种特点，我们可以分别建立两种模型。一是建立“先优化收益，再优化风险”的重视收益二重优化模型；二是建立“先优化风险，再优化收益”的重视风险二重优化模型。（4）思路4——建立目标关联函数模型上述两函数揭示了收益和风险的内在关系，我们分别称为收益关于风险的目标关联函数和风险关于收益的目标关联函数，统称为目标关联函数。二、模型建立（一）建模准备（1）总体收益函数和总体风险函数----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----RnRii1

nrXi ii1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----总体风险函数Qn

QnqXi i i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（2）约束条件

----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----设总资金为1个单位，Si

Xi

个单位，则有：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- RnrXi ii1 QnqX i i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- n

i1X 1i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Xi

i,n----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（二）双目标优化模型根据题意，我们以“总体收益函数最大，总体风险函数最小”为目标函数，建立双目标最优化模型。模型1——双目标最优化模型：maxRminQ----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- RnrXi ii1 QnqX i i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- n

i1X 1i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Xi

in----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----定理：对于题目所给数据，上述模型无最优解。证明：显然，方案X X X X X X 1的收益最大，R0.6；1 2 3 4 5 6Q0.6。所以，模型无最优解。由于模型无最优解，如何根据不同者的需要选择方案？成为解决问题的关键。（三）单目标优化模型（1）收益风险权重函数定义1：收益风险权重函数WR(1)Q其中0越大越小越重视风险。(2)2——线性优化模型：maxW)Q RnrXi ii1 QnqX i i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- n

i1X 1i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Xi

in----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1。收益风险注重均衡型：均衡注重收益和风险，此时，1。2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----注重风险忽略收益型：只注重风险，不考虑收益。此时，0。当然，我们可以将者分成更多种类型，并确定权重系数，再求解模型，从而得到该类型者的最佳方案。（四）多重优化模型根据者的两种特点，我们可以分别建立两种模型。一是建立“先优化收益，再优化风险”的重视收益二重优化模型；二是建立“先优化风险，再优化收益”的重视风险二重优化模型。（2）模型3——收益第一风险第二模型：第一重优化maxR RnrXi ii1 QnqX i i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- n

i1X 1i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Xi

in----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----D1第二重优化miQXD1（3）模型4——风险第一收益第二模型：minQ RnrXi ii1 QnqX i i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- n

i1X 1i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Xi

in----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----D1第二重优化maxRXD1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----上述二重优化模型，提供了两类者的最优方案。（五）目标关联函数模型（1）根据选择方案的原则“在固定总体风险的前提下，选择收益最大模型5——固定风险模型maxR RnrXi ii1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- Qn

qX ti i

其中minQtmaxQ----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- i1 n X 1i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Xi

in----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----maxRR(t)（2）根据选择方案的原则“在固定总体收益的前提下，选择风险最小的模型6——固定收益模型minQ RnrX ti ii1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- QnqX i i

其中minRtmaxR----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- n

i1X 1i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Xi

in----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----minQQ(t)56从理论上讲提供了任意类型者的最佳方案。三、模型求解和结果（一）1x1x110x20x30x40x5x61tt,0t1目标函数值0.60.5001t0t,0t1000010000.050.3----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（三）3：模型为线性规划模型，可以直接求解。第一重优化结果R0.6Q0.60.1t, X(0,0,0,0,t,1t，其中0t1。第二重优化结果R0.6,Q0.5, X。（四）4：模型为线性规划模型，可以直接求解。第一重优化结果minQ0.3R0.30.1t, Xt,0,0,0,0，其中0t1。第二重优化结果Q0.3,R0.3, X。（五）5：模型为线性规划模型，可以直接求解或应用数学计算软件求解。对于0.3t0.6分别求解得收益关于风险的目标关联函数0.15 0.3t0.5----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----R(t)

0.6

0.5t0.6----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----固定风险的条件下，相应的最佳相应的方案为(0,2.51.5,0) 0.3t0.5X10t,10t0.5t0.6（六）6：模型为线性规划模型对于0.2t0.6分别求解得风险关于收益的目标关联函数----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2 32

0.2t0.3----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Q(t)

t 0.3t0.63----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----固定收益的条件下，相应的最佳方案为31t1t,) 2t3X(0,210t,0,0,10t1,0) 0.3t0.6 3 3练 习 题----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（1）f(xxx3x24x2

x2

2xx 3xx4x5x

2的极值。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1 2

1 2 3

12 23 1 2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（2）将2008拆成若干个正整数的和，使得它们的乘积最大。证明周长一定的平面曲线围成面积最大的是圆周曲线。（4）用穷举法求解----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----minfx1

2x2

3xx3 4----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- x2x 3x

15----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- 1 2 3----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----s.t.

2xx 5x 201 2 3----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x2x xx 10xii（5）应用单纯形法求解线性规划问题----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----maxx1

x3x3 5----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x xx 2x 6 2 3 4 5 x2x 2x 52 1 2 4----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x x2 4

3xx 85 6----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x0,i1,2,3,4,5,6i（6）应用分枝定界法，求解整数线性规划问题----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----maxz3x1

4x2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- 2x5x

15----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- 1 2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- 2x2x

5 。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- 1 2xx 1 2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（7）风险问题某公司有一定数量的资金进行，现有方向 S,S1

, ,Sn

可供选----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----择。选择和资金分配的原则为：总体收益尽可能大，总体风险尽可能小。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----R已知：收益率ri，其中R为S的收益，XR

为资金；风险----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i X i i ii----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----率qi

Q，其中QiX ii

为Si

的风险；定义总体风险Qn

Qni

qX 。i i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i Si收益率riS10.2S2S3S4S5S6S70.30.30.40.40.50.6S80.6qi0.30.30.40.40.50.50.50.6试建立风险问题的数学模型，并根据上列数据计算选择方向。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（8）在上题中将总体风险定义为Qmax{q1

X, ,q1 n

X}，试建立风险n----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1.运筹学基础何坚勇1.运筹学基础何坚勇编著清华大学出版社20007月2.数学规划的原理何方法俞玉森主编华中理工大学出版社1993年10月3.最优化与最优化控制蔡宣三编著清华大学出版社19831月----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----统计建模与r软件第八章答案r软件-4~9章习题】x-c(0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7)n-length(x)a1-mean(x);m2-(n-1)/n*var(x)a1-1/(1-a1)-2;a1[1]0.3076923极大似然估计f-function(a2){sum(log(x))+n/(1+a2)}out-uniroot(f,c(0,1));a2-out$root;a2[1]0.2111824.2x-c(rep(5,365),rep(15,245),rep(25,150),rep(35,100),rep(45,70),rep(55,45),rep(65,25)) lamda-length(x)/sum(x);lamda[1]0.054.3取均值即可。x-c(rep(0,17),rep(1,20),rep(2,10),rep(3,2),rep(4,1))mean(x)[1]11个。4.4obj-function(x){f-c(-13+x[1]+((5-x[2])*x[2]-2)*x[2],-29+x[1]+((x[2]+1)*x[2]-14)*x[2]);sum(f^2)}x0-c(0.5,-2)nlm(obj,x0)$minimum[1]48.98425$estimate[1]11.4127791-0.8968052$gradient[1] 1.411401e-08-1.493206e-07$code[1]1$iterations----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----[1]164.5x-c(54,67,68,78,70,66,67,70,65,69)t.test(x) #t.test()做单样本正态分布区间估计onesamplet-testdata: xt=35.947,df=9,p-value=4.938e-11alternativehypothesis:truemeanisnotequalto095percentconfidenceinterval:63.158571.6415sampleestimates:meanofx67.4平均脉搏点估计为67.4，95%区间估计为63.158571.6415。t.test(x,alternative=less,mu=72) #t.test()做单样本正态分布单侧区间估计onesamplet-testdata: xt=-2.4534,df=9,p-value=0.01828alternativehypothesis:truemeanislessthan7295percentconfidenceinterval:-inf70.83705sampleestimates:meanofx67.4p0.05，拒绝原假设，平均脉搏低于常人。4.6x-c(140,137,136,140,145,148,140,135,144,141);x[1]140137136140145148140135144141y-c(135,118,115,140,128,131,130,115,131,125);y[1]135118115140128131130115131125t.test(x,y,var.equal=true)twosamplet-testdata: xandyt=4.6287,df=18,p-value=0.0002087alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:7.5362620.06374----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----sampleestimates:meanofxmeanofy140.6 126.8期望差的95%置信区间为7.5362620.06374。4.7x-c(0.143,0.142,0.143,0.137)y-c(0.140,0.142,0.136,0.138,0.140)t.test(x,y,var.equal=true)twosamplet-testdata: xandyt=1.198,df=7,p-value=0.2699alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:-0.001996351 0.006096351sampleestimates:meanofxmeanofy0.141250.13920期望差的的区间估计为-0.001996351 0.0060963514.84.6var.test(x,y)ftesttocomparetwovariancesdata: xandyf=0.2353,numdf=9,denomdf=9,p-value=0.04229alternativehypothesis:trueratioofvariancesisnotequalto195percentconfidenceinterval:0.058452760.94743902sampleestimates:ratioofvariances0.2353305var.test 可做两样本方差比的估计。此结果可认为方差不等，因此，4.6中，计算期望差时应该采取方差不等的参数。t.test(x,y)welchtwosamplet-testdata: xandyt=4.6287,df=13.014,p-value=0.0004712alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----95percentconfidenceinterval:7.35971320.240287sampleestimates:meanofxmeanofy140.6 126.8期望差的95%置信区间为7.35971320.240287。4.9x-c(rep(0,7),rep(1,10),rep(2,12),rep(3,8),rep(4,3),rep(5,2))n-length(x)tmp-sd(x)/sqrt(n)*qnorm(1-0.05/2)mean(x)[1]1.904762mean(x)-tmp;mean(x)+tmp[1]1.494041[1]2.315483平均呼唤次数为1.90.95的置信区间为1.49,2,324.10x-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)t.test(x,alternative=greater)onesamplet-testdata: xt=23.9693,df=9,p-value=9.148e-10alternativehypothesis:truemeanisgreaterthan095percentconfidenceinterval:920.8443infsampleestimates:meanofx997.1灯泡平均寿命置信度95%的单侧置信下限为920.84435.1x-c(220,188,162,230,145,160,238,188,247,113,126,245,164,231,256,183,190,158,224,175)t.test(x,mu=225)###双边检验onesamplet-testdata: xt=-3.4783,df=19,p-value=0.002516alternativehypothesis:truemeanisnotequalto22595percentconfidenceinterval:----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----172.3827211.9173sampleestimates:meanofx192.15p0.05，拒绝原假设，认为油漆工人的血小板计数与正常成年男子有差异。（原假设：油漆工人的血小板计数与正常成年男子无差异；备择假设：油漆工人的血小板计数与正常成年男子有差异。）t.test(x,mu=225,alternative=less)##单边检验（备择假设）onesamplet-testdata: xt=-3.4783,df=19,p-value=0.001258alternativehypothesis:truemeanislessthan22595percentconfidenceinterval:-inf208.4806sampleestimates:meanofx192.15结论：油漆工人的血小板计数小于正常成年男子。5.2pnorm(1000,mean(x),sd(x))[1]0.5087941x[1]1067 9191196 7851126 936 9181156 920 948pnorm(1000,mean(x),sd(x))[1]0.5087941结论：x=1000的概率为0.509,x大于1000的概率为0.491.5.3a-c(113,120,138,120,100,118,138,123)b-c(138,116,125,136,110,132,130,110)t.test(a,b,paired=true)pairedt-testdata: aandbt=-0.6513,df=7,p-value=0.5357alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:-15.628898.87889sampleestimates:----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----meanofthedifferences-3.375p0.05，接受原假设，即两种治疗方法无差异。5.4（1）正态性w检验：x-c(-0.7,-5.6,2,2.8,0.7,3.5,4,5.8,7.1,-0.5,2.5,-1.6,1.7,3,0.4,4.5,4.6,2.5,6,-1.4)y-c(3.7,6.5,5,5.2,0.8,0.2,0.6,3.4,6.6,-1.1,6,3.8,2,1.6,2,2.2,1.2,3.1,1.7,-2) shapiro.test(x)shapiro-wilknormalitytestdata: xw=0.9699,p-value=0.7527shapiro.test(y)shapiro-wilknormalitytestdata: y【篇二：统计建模与r软件课后习题答案2-5章】用薛毅编的《统计建模与r软件》吧，找不出更好的了……工作环境仍是linux。第二章答案：ex2.1x-c(1,2,3)y-c(4,5,6)e-c(1,1,1)z=2*x+y+ez1=crossprod(x,y)#z1x1x2x%*%yz2=tcrossprod(x,y)#z1x1x2x%o%yz;z1;z2要点：基本的列表赋值方法，内积和外积概念。内积为标量，外积为矩阵。ex2.2a-matrix(1:20,c(4,5));ab-matrix(1:20,ow=4,byrow=true);bc=a+b;c#ab这种写法e=a*b;ef-a[1:3,1:3];fh-matrix(c(1,2,4,5),ow=1);h#h起过渡作用，不规则的数组下标g-b[,h];g要点：矩阵赋值方法。默认是byrow=false,数据按列放置。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----取出部分数据的方法。可以用数组作为数组的下标取出数组元素。ex2.3x-c(rep(1,times=5),rep(2,times=3),rep(3,times=4),rep(4,times=2));x#或者省略times=，如下面的形式x-c(rep(1,5),rep(2,3),rep(3,4),rep(4,2));x要点：rep（）的使用方法。rep（a,b）ab次ex2.4n-5;h-array(0,dim=c(n,n))for(iin1:n){for(jin1:n){h[i,j]-1/(i+j-1)}};hgsolve(h);gh的逆矩阵eveigen(h);evh的特征值和特征向量要点：数组初始化；for循环的使用待解决：如何将很长的命令（for循环）用几行打出来再执行？每次想换行的时候一按回车就执行了还没打完的命令...ex2.5studentdata-data.frame(name=c(zhangsan,lisi,wangwu,zhaoliu,dingyi),sex=c(f,m,f,m,f),age=c(14,15,16,14,15),height=c(156,165,157,162,159),weight=c(42,49,41.5,52,45.5));studentdata要点：数据框的使用待解决：ssh登陆linux服务器中文显示乱码。此处用英文代替。ex2.6write.table(studentdata,file=studentdata.txt)#studentdata在工作目录里输出，输出的文件名为studentdata.txt.studentdata_a-read.table(studentdata.txt);studentdata_a#以数据框的形式读取文档studentdata.txt，存入数据框studentdata_a中。write.csv(studentdata_a,studentdata.csv)#把数据框studentdata_a在工作目录里输出，输出的文件名为studentdata.csv,可用excel打开.要点：读写文件。read.table(file)write.table(rdata,file)read.csv(file) write.csv(rdata,file)外部文件，不论是待读入或是要写出的，命令中都得加双引号。ex2.7fun-function(n){----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----if(n=0)list(fail=pleaseinputaintegerabove0!)else{repeat{if(n==1)breakelseif(n%%2==0){n-n/2}elsen-3*n+1}list(sucess!)}linuxr2.7.rrsource(2.7.r)，即打开了这个程序脚本。然后就可以执行函数了。输入fun(67)，显示输入fun(-1)，显示$failpleaseinputaintegerabove0!待解决：source(*.r)rr环r文件呢？ok,自己写的第一个r程序~~第二章答案：ex2.1x-c(1,2,3)y-c(4,5,6)e-c(1,1,1)z=2*x+y+ez1=crossprod(x,y)#z1x1x2x%*%yz2=tcrossprod(x,y)#z1x1x2x%o%yz;z1;z2要点：基本的列表赋值方法，内积和外积概念。内积为标量，外积ex2.2a-matrix(1:20,c(4,5));ab-matrix(1:20,ow=4,byrow=true);bc=a+b;c#ab这种写法e=a*b;ef-a[1:3,1:3];fh-matrix(c(1,2,4,5),ow=1);h----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----#h起过渡作用，不规则的数组下标g-b[,h];gbyrow=false,ex2.3x-c(rep(1,times=5),rep(2,times=3),rep(3,times=4),rep(4,times=2));xtimes=，如下面的形式x-c(rep(1,5),rep(2,3),rep(3,4),rep(4,2));x要点：rep（）的使用方法。rep（a,b）ab次ex2.4n-5;h-array(0,dim=c(n,n))for(iin1:n){for(jin1:n){h[i,j]-1/(i+j-1)}};hgsolve(h);gh的逆矩阵eveigen(h);evh的特征值和特征向量要点：数组初始化；for循环的使用待解决：如何将很长的命令（for循环）用几行打出来再执行？每次想换行的时候一按回车就执行了还没打完的命令...ex2.5studentdata-data.frame(name=c(zhangsan,lisi,wangwu,zhaoliu,dingyi),sex=c(f,m,f,m,f),age=c(14,15,16,14,15),height=c(156,165,157,162,159),weight=c(42,49,41.5,52,45.5));studentdata要点：数据框的使用待解决：ssh登陆linux服务器中文显示乱码。此处用英文代替。ex2.6write.table(studentdata,file=studentdata.txt)#studentdata