高中数学人教高中必修第三章三角恒等变换三角恒等变换与解三角形

解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.真题感悟答案

B答案A由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°<C<90°，1.三角函数公式考点整合2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式热点一三角恒等变换及应用探究提高1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.答案

C热点二正弦定理与余弦定理角度1利用正(余)弦定理进行边角计算

【例2－1】

(2019·郑州调研)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB－bcosA＝0. (1)求角A的大小.解

(1)由asinB－bcosA＝0及正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，即sinB(sinA－cosA)＝0，又B为三角形的内角，知sinB≠0，(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，解由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，当且仅当b＝c时，上式等号成立.探究提高

1.高考的热点是利用正弦定理、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.角度2正、余弦定理的实际应用解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.答案

22.6探究提高1.实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】

某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为(

)解析由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理，得BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420(米).在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，答案B热点三与解三角形相关的交汇问题所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，探究提高1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.2.与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.(2)结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.【训练4】

(2019·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a，3csinB＝4asinC. (1)求cosB的值；解

(1)在△ABC中，由已知及正弦定理得bsinC＝csinB.又3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.①又b＋c＝2a，②1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角