高中数学上教版高二下册圆锥曲线抛物线的性质

2.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【自主预习】抛物线的简单几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图象标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)性质范围____________________________________________对称轴__轴__轴顶点_______x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0xyO(0,0)标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)性质焦点________________________准线________________________离心率e=__12.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于(

)A.4p

B.5p

C.6p

D.8p【解析】选A.因为PQ过焦点,所以|PQ|=x1+x2+p=4p.【知识探究】探究点抛物线的几何性质1.抛物线x2=2py(p>0)有几条对称轴?是不是中心对称图形?提示:有一条对称轴;不是中心对称图形.2.影响抛物线开口大小的量是什么,是如何影响的?提示:参数p影响抛物线开口大小,p值越大,抛物线的开口越开阔,p越小,开口越扁狭.【归纳总结】1.抛物线的焦点弦如图,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切.(2)|AB|=(焦点弦长与中点关系).(3)|AB|=x1+x2+p.(4)若直线AB的倾斜角为α,则|AB|=如当α=90°时,AB叫做抛物线的通径,是所有焦点弦中最短的.(5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1·x2=,y1·y2=-p2.类型一由抛物线的几何性质求标准方程【典例】1.(2016·潍坊高二检测)平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的标准方程是

.【解析】1.由题知线段OA的垂直平分线为4x+2y-5=0,与x轴的交点为所以抛物线的焦点为所以其标准方程是y2=5x.答案:y2=5x【延伸探究】将本例2改为“抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4”,求此抛物线的标准方程.【解析】由题意,设抛物线方程为y2=2mx(m≠0),焦点F,直线l:x=所以A,B两点坐标为所以|AB|=2|m|.因为△OAB的面积为4,所以·2|m|=4,所以m=±2.所以抛物线的标准方程为y2=±4x.【变式训练】已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6,求抛物线的方程.【解析】设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),点P(x0,y0).因为点P到对称轴距离为6,所以y0=±6.因为点P到准线距离为10,所以因为点P在抛物线上,所以36=2ax0.②由①②,得所以所求抛物线的方程为y2=±4x或y2=±36x.类型二焦点弦问题【典例】已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=p,求AB所在直线的方程.【解题探究】本例中|AB|如何表示?提示:|AB|=x1+x2+p.【解析】如图所示,抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,A(x1,y1),B(x2,y2),设A,B到准线的距离分别为dA,dB,由抛物线的定义知,|AF|=dA=x1+,|BF|=dB=x2+,于是|AB|=x1+x2+p=p,x1+x2=p.当x1=x2时,|AB|=2p<p,所以直线AB与Ox不垂直.设直线AB的方程为y=由得k2x2-p(k2+2)x+k2p2=0,x1+x2解得k=±2,所以直线AB的方程为【延伸探究】1.本例条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.【解析】设A,B,M在其准线上的射影分别为A1,B1,M1,由梯形中位线的性质可知|MM1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|=故弦AB的中点M到y轴的距离为|MM1|-=p.2.本例中,若点A,B在其准线上的射影分别为点A1,B1,求∠A1FB1.【解析】方法一:设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线AB的方程为x=my+.消去x得y2-2mpy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2.又所以=(p,-y1),=(p,-y2),则=p2+y1y2=0,即∠A1FB1=90°.方法二:如图所示,因为|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠1=∠2,∠5=∠6.又因为AA1∥BB1∥x轴,所以∠1=∠3,∠6=∠4,所以∠2=∠3,∠4=∠5,所以∠2+∠3+∠4+∠5=2(∠3+∠4)=180°,所以∠3+∠4=90°,即∠A1FB1=90°.【方法技巧】1.抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段.焦半径公式P(x0,y0)为抛物线上一点,F为焦点.①若抛物线y2=2px(p>0),则|PF|=x0+;②若抛物线y2=-2px(p>0),则|PF|=-x0;③若抛物线x2=2py(p>0),则|PF|=y0+;④若抛物线x2=-2py(p>0),则|PF|=-y0.2.过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2