学年高中数学人教A必修四同步辅导与检测：平面向量的实际背景及基本概念

2.1平面向量的实际背景及基本概念

平

面

向

量1．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础．2．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．基础梳理一、向量的概念1．向量的实际背景有下列物理量：位移，路程，速度，速率，力，质量，密度，其中位移，速度，力都是既有________又有________的量．路程，速率都是________的量．2．平面向量是既有________又有________的量，向量________比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？一、1.大小方向只有大小2.大小方向不能练习：位移、力思考应用1．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区别吗？解析：x轴，y轴只有方向，没有大小，因而不是向量．数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，因为力这个向量还和作用点(即起点)有关．二、向量的几何表示1.有向线段是________的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作________．起点要写在终点的前面．有向线段包含三个要素________．2．向量的有向线段表示方法向量常用带箭头的线段表示，它的长短表示向量的________，箭头的指向表示向量的________．二、1.带有方向

起点、方向、长度2.大小方向3．向量也可以用黑体的字母表示，如a，b，c.强调：箭头不能不写，否则表示数量．4．向量的模|

|(或a)表示向量

(或a)的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作0，长度等于1个单位的向量称为单位向量．思考应用2．(1)单位向量是否唯一？有多少个单位向量？解析：(1)单位向量不唯一，因为方向可以不同．有无数个单位向量．(2)若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是________．圆

三、共线向量与相等向量1．平行向量：____________________叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作________．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量，都有________．2．相等向量是__________________________向量，a与b相等，记作________．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的________无关．3．共线向量任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此________也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a与b共线，即a与b平行，记作a________b.三、1.方向相同或相反的非零向量a∥b0∥b2.长度相等且方向相同的a＝b起点3.平行向量a∥b思考应用3．共线向量有几种情况？方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量吗？解析：共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，它们是共线向量．自测自评1．下列各量中不是向量的是()A．浮力B．风速C．位移D．密度2．下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量②向量的模一定是正实数③所有的单位向量都相等④共线向量一定在同一条直线上其中正确的命题有()A．0B．1C．2D．3D

A

3．如图，在圆O中，向量

、

、

是()A．有相同的起点B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量C

4．如图，在四边形ABCD中，

＝，则相等的向量是()D

向量鞠有关惜概念饲的理匹解下列顶结论慕中正盾确的胶是()A．向量的长县度和吗向量的长细度相筛等B．向色量a与b平行傍，则b与a方向幼相同C．两降个有宅共同厦起点昨而长守度相据等的棋向量申，它驻们的欺终点指必相妹同D．若a与b平行艘同向坛，且|a鸽|＞|b戒|，则a＞b解析：A正确抖．B不正铅确．桥共线饭向量埋包括驱方向体相同铃和相逆反．C不正它确．纳共起获点长钉度相灿等的德向量垒方向度不一箩定相僵同．D不正柄确．支向量交不能总比较堪大小彼．答案：A点评：共线旧向量丧包括萍同向胡和反孔向，席向量典相等垃指向怠量的键大小席相等块方向岛相同迁，0与任广意向你量共银线．跟踪雕训练1．下钟列结惰论中巾正确贷的是()A．由蕉于0方向个不确油定，布故0不能轧与任腹意向沉量平尊行B．如誓果|a|＝|b|，则a＝bC．如争果|a|＝|b|，则a与b长度汪相等D．共粘线向电量一织定在废同一君条直不线上解析：向量茅的模棋也就肤是向不量的测长度愤，故C正确施．答案：C相等字向量炊与平杏行向产量的低理解如图妨，设O是正指六边按形AB氏CD改EF的中拴心，荣分别葵写出上图中稳与向当量、、相等脂的向晴量的保向量绑．点评：两个沸向量小相等顾要求词大小攻相等吵且方袭向相锄同，缠缺一种不可汤．跟踪芹训练2．例2中与滚向量共线压的向丈量有械哪些畏？3．在盈下列惩命题膨中：①平行顶向量尼一定假相等泽；②不相受等的茂向量猎一定宋不平择行；③共线炊向量次一定填相等利；④相等棒向量乎一定徒共线蛙；⑤长度胃相等趴的向授量是秧相等榴向量兔；⑥平行慌于同液一个肝向量末的两餐个向缘瑞量是较共线哥向量拳．其中储不正杰确的提命题螺是__界__毙__雹__．①②桃③⑤向量钩在实车际生马活中荡的应梨用一辆测汽车辆从A点出明发向己西行缝驶了10素0千米闻到达B点，朵然后练又改周变方利向向蓄西偏侍北50后°走了20幅0千米亦到达C点，凝最后含又改请变方驾向，街向东择行驶端了10段0千米踏到达D点．(1共)作出固向量，，；(2薯)求||.分析：解答亭本题弦应首饼先确膨定指向标慕，然胖后根婚据行号驶方勺向确炭定出仗有关向盟量，骑从而析求解迈．解析：(1正)如右笨图所稀示(2递)由题次意，增易知与方向罗相反蹄，故与共线研．又||＝||，∴在四优边形AB插CD中，AB綊CD.∴四边晨形AB特CD为平睬行四起边形使．∴||＝||＝20果0(千米)．点评：(1此)准确腰画出项向量严的方砖法是揭先确侍定向乔量的尿起点揭，再膜确定地向量痰的方鞠向，快然后进根据角向量崭的大问小确渔定向怖量的污终点丸．(2萄)要注敬意能的运用蒜向量廊观点夜将实守际问僵题抽吗象成尚数学崖模型切．“数学用建模”能力浓是中蔽学生谋能力悔培养么的一变个重进要方杨向，柱需要夏在平爬时的荡学习洁中积霜累．跟踪碰训练4．一透架飞腊机从A点向殿西北烟飞行20字0迹km到达B点，唯再从B点向毯东飞爷行10撒0翻km到达C点，晋再从C点向周东偏肾南30剩°飞行50纺k钱m到达D点．板问D点在A点的牢什么腾方向耀？D点距A点多辩远？解析：由|BC|＝10腔0，知C在A的正酿北方发向，|AC|＝10配0打.又由|CD|＝50，∠AC瞒D＝60吹°知∠CD练A＝90哪°.即∠DA充C＝30妻°，故的方向看为南棵偏西30惧°，长溪度为50腊km孔.一级燥训练1．下重列关旦于向础量的上说法闷中正牲确的营是()A．长那度相穗等的车两向故量必合相等B．两妈向量洽相等野，其响长度曲不一铅定相羡等C．向朽量的绣大小茄与有浩向线浆段起所点无财关D．两境个向忠量相可等，照则它先们的胖起点煎和终痛点都旦相同2．在△AB基C中，AB＝AC，D、E分别悔是AB、AC的中樱点，舅则()CB1．非冤零向合量相卡等，非必有翼大小罪相等葬且方搭向相储同，巴反之昌也成劫立．2．两疯个非离零向兆量方鹅向相洪同或腰相反竟，则董它们敬共线勇，但响要注匆意零咱向量伪与任炒一向团