创新设计高中理科数学选修

第2讲直线与圆[最新考纲]1．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．2．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知识梳理1．圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论 ①定理：圆上一条弧所对的

等于它所对的

的一半． ②推论：(i)推论1：

所对的圆周角相等；

中，相等的圆周角所对的

也相等． (ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是

；90°的圆周角所对的弦是． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 ．圆周角圆心角同弧或等弧同圆或等圆弧直角直径它所对弧的度数2．弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它

所对的圆周角．3．圆的切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线

经过

的半径． (2)推论： ①推论1：经过

且垂直于切线的直线必经过． ②推论2：经过

且垂直于切线的直线必经过．所夹的弧垂直于切点圆心切点切点圆心4．与圆有关的比例线段PC·PD△BDP

PC·PD△PDB

PB·PC

△PCA

PB∠OPB

5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理1：圆内接四边形的对角． ②定理2：圆内接四边形的外角等于它的． (2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角

，那么这个四边形的四个顶点． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的

，那么这个四边形的四个顶点．互补内角的对角互补共圆对角共圆诊断自测1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________． 解析连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案6.4 答案50°4.(2014·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________. 解析连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°. 答案125°5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径r＝________.【例1】

如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E. (1)求∠DAC的度数； (2)求线段AE的长． 解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°， 由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°， 由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°， 知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(2)法一连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.法二连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.(1)(2)规律方法

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练1】如图搜，△AB组C的角励平分足线AD的延运长线愈交它绩的外张接圆见于点E.【例2】如图侄，PA切⊙O于点A，割跑线PB雾C交⊙O于点B，C，∠AP扣C的角岁平分坟线分次别与AB、AC相交链于点D、E，求验证：(1极)AD＝AE；(2苹)AD2＝DB·EC.规律菌方法涉及荐与圆昂有关煌的等客积线岗段或放成比节例的浑线段悼，常碰利用撤圆周准角或惕弦切固角证激明三脸角形畜相似羡，在馋相似匙三角傅形中阔寻找这比例论线段友；也戚可以框利用破相交供弦定降理、云切割田线定胃理证踩明线漂段成浇比例枯，在绳实际法应用含中，绢一般探涉及何两条仙相交兽弦应绘首先偷考虑肆相交桐弦定握理，跟涉及表两条仍割线冲就要物想到倡割线归定理距，见饼到切院线和筋割线虹时要行注意拦应用裙切割碍线定伤理．【训练2】(20雕13施·天津骗卷)如图总，△AB蛙C为圆雄的内董接三善角形睛，BD为圆填的弦呼，且BD∥AC.过点A作圆撕的切淋线与DB的延章长线败交于焦点E，AD与BC交于牵点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则垄线段CF的长限为__驻__混__料__．考点凑三肾圆内学接四污边形耐的判刃定及演应用【例3】(2幕01服4·银川垂一中艘月考)如图史，已否知AP是⊙O的切缘瑞线，P为切绒点，AC是⊙O的割竖线，榜与⊙O交于B、C两点袍，圆寸心O在∠PA肿C的内邀部，康点M是BC的中鲁点．(1生)证明权：A、P、O、M四点旨共圆槽；(2底)求∠OA翼M＋∠AP倡M的大软小．(1总)证明连接OP，OM，因神为AP与⊙O相切股于点P，所怜以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中鸣点，伴所以OM⊥BC，于是∠OP保A＋∠OM驴A＝18钻0°衡.由圆傅心O在∠PA敏C的内窄部，争可知纵四边温形AP练OM的对样角互另补，所以A、P、O、M四点采共圆甜．(2违)解由(1结)得A、P、O、M四点正共圆策，所以∠OA乐M＝∠OP预M，由(1嚷)得OP⊥AP，因疗为圆倡心O在∠PA衫C的内偿部，所以∠OP蝴M＋∠AP狭M＝90借°，所守以∠OA岁M＋∠AP言M＝90帝°.规律太方法(1薪)如果限四点扫与一惧定点惧距离紧相等彻，那垫么这疤四点勤共圆诞；(2广)如果谷四边则形的醒一组获对角钢互补冻，那宪么这虫个四饺边形垫的四鼠个顶打点共刑圆；(3依)如果网四边厚形的匹一个传外角遣等于往它的葱内对版角，寒那么裳这个拔四边惰形的怕四个毕顶点折共圆琴．【训练3】如图棵，已误知△AB而C的两俊条角跌平分玩线AD和CE相交肢于点H，∠AB令C＝60购°，F在AC上，唐且AE＝AF.求证届：(1脂)B、D、H、E四点赶共圆恳；(2狗)CE平分∠DE园F.证明(1竞)在△AB慰C中，∵∠AB晌C＝60州°，∴∠BA艺C＋∠BC混A＝12情0°耳.∵AD，CE分别既是△AB冲C的角醉平分义线，∴∠HA诞C＋∠HC挂A＝60体°，∴∠AH驶C＝12勒0°望.∴∠EH价D＝∠AH哥C＝12爱0°帝.∴∠EB炭D＋∠EH强D＝18沙0°老.∴B，D，H，E四点障共圆陈．(2斩)连接BH，则BH为∠AB塌C的平博分线垦，∴∠EB泉H＝∠HB数D＝30半°.由(1作)知B，D，H，E四点护共圆抚，∴∠CE秋D＝∠HB菊D＝30慢°，∠HD蚂E＝∠EB下H＝30迟°.∴∠HE侧D＝∠HD棍E＝30宴°.∵AE＝AF，AD平分∠BA亩C，∴EF⊥AD.又∠EH获A＝∠HD伍E＋∠CE器D＝60抖°，∴∠CE邮F＝30色°.∴CE平分∠DE权F.关于副圆的帆综合仇应用【典例】如图状所示裳，已板知⊙O1和⊙O2相交迟于A，B两点勒，过A点作⊙O1的切叠线交⊙O2于点C，过拐点B作两鸣圆的谎割线生，分披别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交肯于点P.(1蛾)求证继：AD∥EC；(2傻)若AD是⊙O2的切似线，扮且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长凝．[审题绍视点](1撇)连接AB，在⊙O1中使览用弦者切角抚定理术，在⊙O2中使堪用圆炊周角慎定理凉，即锻可证察明∠D＝∠E；(2者)根据墓切割罪线定滨理，馒只要路求出BE的长院度即望可，免在⊙O2中根算据相针交弦肯定理汗可得BP·PE，根录据(1漏)中△AD歉P∽△CE悬P，又录可得BP，PE的一到个方椒程，乖解方缘瑞程组部求出BP，PE的长台度即春可．(1苹)证明连接AB，如变图所钩示．∵AC是⊙O1的切景线，∴∠BA拐C＝∠D.又∵∠BA粉C＝∠E.∴∠D＝∠E.∴AD∥EC.[反思