新教材人教B版必修第一册第二章2.2.1第2课时不等式的性质作业

第2课时不等式的性质1．假设a>b，b≥0，那么a>0.()2．假设eq\f(1,2)<3，那么eq\f(1,2)a<3a.()3．假设a<－5，那么a2>25.()4．假设m＋n<e＋f且m<e，那么n<f.()5．假设b<0，a＋b>0那么a－b<0.()【解析】1.√2．提示：×.当a>0时，eq\f(1,2)a<3a；当a＝0时，eq\f(1,2)a＝3a；当a<0时，eq\f(1,2)a>3a.3．√4．提示：×.例如5＋7<10＋5，5<10，但7>5.5．提示：×.由于b<0，a＋b>0，a>－b>0，所以a－b>0.·题组一利用不等式的性质推断真假1．以下命题正确的选项是()A．假设a2＞b2，那么a＞bB．假设eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，那么a＜bC．假设ac＞bc，那么a＞bD．假设eq\r(a)＜eq\r(b)，那么a＜b【解析】选D.A错，例如(－3)2＞22；B错，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.2．与a>b等价的不等式是()A．|a|>|b|B．a2>b2C．eq\f(a,b)>1D．a3>b3【解析】选D.可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，那么A，B正确而不满意a>b.再令a＝－3，b＝－1，那么C正确而不满意a>b，应选D.3．a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，以下不等式恒成立的是()A．ac＞bcB．ab＞acC．a|b|＞c|b|D．a2＞b2＞c2【解析】选B.由于a＋b＋c＝0且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，所以A不正确．对于B，ab＞ac⇔a(b－c)＞0，又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确，假设a＝2，b＝1，c＝－3，明显a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．4．(2021·株洲高三模拟)对以下不等式的推论中：①a>b⇒c－a>c－b；②a>b＋c⇒(a－c)2>b2；③a>b⇒ac>bc；④a>b>c>0⇒(a－c)b>(b－c)b；⑤a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)⇒a>0，b<0其中正确的个数是()A．2B．3C．4D．5【解析】选A.由于a>b，所以－a<－b，所以c－a<c－b，所以①不正确；由②可推出a－c>－b，但不能推出(a－c)2>(－b)2＝b2；③中必需c>0才成立；④正确，由于a>b>c>0时，a－c>b－c>0，b>0，所以(a－c)b>(b－c)b，⑤正确．5．实数a，b，c满意c<b<a且ac<0，那么以下选项中不肯定成立的是()A．ab>acB．c(b－a)>0C．ac(a－c)<0D．cb2<ab2【解析】选D.由于c<b<a且ac<0，故c<0，a>0，所以ab>ac，故A正确；又b－a<0，故c(b－a)>0，故B正确；而a－c>0，ac<0，故ac(a－c)<0，故C正确；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2<ab2，故cb2<ab2不肯定成立．·题组二利用不等式的性质比拟大小1．a＋b<0，且a>0，那么a2，－ab，b2的大小关系为________.【解析】由条件a＋b<0，且a>0，可得b<0，0<a<－b，所以0<a2<－ab，0<a(－b)<(－b)2，那么0<a2<－ab<b2.答案：a2<－ab<b22．假设a>b>0，0<c<d，那么eq\f(a,c)与eq\f(b,d)的大小关系是________．【解析】eq\f(1,cd)>0.所以0<eq\f(1,cd)·c<eq\f(1,cd)·d，即eq\f(1,c)>eq\f(1,d)>0.又a>b>0，所以eq\f(a,c)>eq\f(b,d).答案：eq\f(a,c)>eq\f(b,d)3．假设bc－ad≥0，bd>0，那么eq\f(a＋b,b)与eq\f(c＋d,d)的大小关系为________．【解析】由于bc－ad≥0，所以bc≥ad，所以bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)，又bd>0，两边同除以bd得，eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).答案：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)4．a>b，e>f，c>0，那么f－ac与e－bc的大小关系为________．【解析】由于a>b，c>0，所以ac>bc，－ac<－bc，又e>f，即f<e，故f－ac<e－bc.答案：f－ac<e－bc·题组三利用不等式的性质确定范围1．(2021·兖州高三模拟)假设－1<α<β<1，那么α－β的范围是()A．－2<α－β<0B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0D．－1<α－β<1【解析】选A.由于－1<β<1，所以－1<－β<1，－2<α－β<2，又由于α<β，所以α－β<0，故－2<α－β<0.2．(2021·厦门高三模拟)实数x，y满意，－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，那么9x－y的取值范围是()A．－7≤9x－y≤26B．－1≤9x－y≤20C．4≤9x－y≤15D．1≤9x－y≤15【解析】选B.令m＝x－y，n＝4x－y，那么z＝9x－y＝eq\f(8,3)n－eq\f(5,3)m，得－1≤z≤20.3．(2020·盐城高三模拟)设1<a<7，1<b<2，那么eq\f(a,b)的取值范围为________．【解题思路】由1<b<2的范围，利用倒数的性质可得eq\f(1,2)<eq\f(1,b)<1，由于1<a<7，利用同向不等式的可乘性即得．【解析】由1<b<2，得eq\f(1,2)<eq\f(1,b)<1，又1<a<7，所以eq\f(1,2)<eq\f(a,b)<7.答案：eq\f(1,2)<eq\f(a,b)<74．－6<a<8，2<b<3，那么eq\f(a,b)的取值范围为________．【解析】由于2<b<3，所以eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，(1)当0≤a<8时，0≤eq\f(a,b)<4；(2)当－6≤a<0时，－3<eq\f(a,b)<0，由(1)(2)可得－3<eq\f(a,b)<4.答案：－3<eq\f(a,b)<4易错点一无视不等式性质应用条件致误1．假设a，b∈R，那么以下命题正确的选项是()A．假设a>b，那么a2>b2B．假设a>|b|，那么a2>b2C．假设|a|>b，那么a2>b2D．假设a>b，那么a2<b2【解析】选B.由于a>|b|≥0，所以a2>b2.2．给出以下命题：①假设a<b<0，那么0<eq\f(b,a)<1；②假设a<b<0，那么eq\f(b,a)>eq\f(a,b)；③假设a<b<0，那么ab<b2；④a<0且－1<b<0⇒a<ab<ab2.其中不正确的序号是________．【解析】a<b<0时，两边同除以a，不等号转变方向，故①正确；当a＝－2，b＝－1时，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，此时eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，故②不正确；两边同乘以b，不等号要转变方向，故③不正确；a<0且－1<b<0，那么ab>ab2，故④不正确．综上知②③④错误；①正确．答案：②③④【易错误区】在使用不等式的性质时特殊留意它们成立的前提条件，不行强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．易错点二在求范围时无视不等式的性质致误1．假设1≤a≤5，－3＜b≤2，那么a＋b2的取值范围是________，eq\f(b2,a)的取值范围是________．【解析】由于－3＜b≤2，所以0≤b2＜9.又由于1≤a≤5，所以1≤a＋b2＜14.eq\f(1,5)≤eq\f(1,a)≤1，所以0≤eq\f(b2,a)＜9.答案：[1，14)[0，9)2．设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，那么f(－2)的取值范围为________．【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f〔1〕＝a＋b,f〔－1〕＝a－b))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝f〔1〕＋f〔－1〕,2b＝f〔1〕－f〔－1〕))，从而f(－2)＝4a－2b＝f(1)＋3f(－1)，得5≤f(－2)≤10.答案：5≤f(－2)≤10【易错误区】利用不等式性质求代数式的范围时，应留意：(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．(2)运用不等式的性质时，要切实留意不等式性质的前提条件，切不行用没有依据的，或用好像很明显的理由来代替不等式的性质．(3)精确?????使用不等式的性质，防止消失同向不等式相减、相除的错误．限时30分钟分值60分战报得分______一、选择题(每题5分，共30分)1．a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系为()A．a＞b＞－b＞－aB．a＞－b＞－a＞bC．a＞－b＞b＞－aD．a＞b＞－a＞－b【解析】选C.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋b>0⇒a>－b,b<0⇒－b>0))⇒a＞－b＞0⇒－a＜b＜0.所以选C.【一题多解】选C.可取特值检验．由于a＋b>0，b<0，所以可取a＝2，b＝－1，所以－a＝－2，－b＝1，所以－a<b<－b<a，排解A，B，D，所以选C.2．(2021·丰台高三模拟)设a>1>b>－1，那么以下不等式中恒成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a2>2bD．a>b2【解析】选D.A错，例如a＝2，b＝－eq\f(1,2)时，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－2，此时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；B错，例如a＝2，b＝eq\f(1,2)时，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝2，此时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；C错，例如a＝eq\f(5,4)，b＝eq\f(15,16)时，a2＝eq\f(25,16)，2b＝eq\f(30,16)，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正确．3．(金榜原创题)a>b，那么以下不等式：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a).其中成立的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】选A.虽然a>b，但并不知道a，b的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，故①错；2>－3⇒eq\f(1,2)>－eq\f(1,3)，②错；假设有a＝1，b＝－2，那么eq\f(1,a－b)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a)＝1，故③错．4．(2021·三亚高三模拟)假设α，β满意－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，那么2α－β的取值范围是()A．－π＜2α－β＜0B．－π＜2α－β＜πC．－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2)D．0＜2α－β＜π【解析】选C.由于－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2)，所以－π＜2α＜π.由于－eq\f(π,2)＜β＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,2)＜－β＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(3π,2).又α－β＜0，α＜eq\f(π,2)，所以2α－β＜eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2).5．(2021·沈阳高三模拟)假设abcd<0，且a>0，b>c，d<0，那么()A．b<0，c<0B．b>0，c>0C．b>0，c<0D．0<c<b或c<b<0【解析】选D.由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又由于b>c，所以0<c<b或c<b<0.【变式备选】a<0，－1<b<0，那么以下各式正确的选项是()A．a>ab>ab2B．ab>a>ab2C．ab2>ab>aD．ab>ab2>a【解析】选D.由于－1<b<0，所以1>b2>0>b>－1，即b<b2<1，两边同乘以a得，ab>ab2>a.6．设x<a<0，那么以下不等式肯定成立的是()A．x2<ax<a2B．x2>ax>a2C．x2<a2<axD．x2>a2>ax【解析】选B.由于x<a<0，所以x2>a2.由于x2－ax＝x(x－a)>0，所以x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，所以ax>a2.所以x2>ax>a2.二、填空题(每题5分，共20分)7．(2021·吉林高三模拟)假设a<b<0，那么a2________ab.(填>或<)【解析】由不等式的性质可得，a<b<0，a<0⇒a2>ab.答案：>【变式备选】设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的挨次排列为：________．【解析】由于－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，所以y＜－y，又x＞1，所以y＜－y＜x.答案：y＜－y＜x8．(金榜原创题)假设－2<c<－1<a<b<1，那么(c－a)(a－b)的取值范围为________．【解析】应首先把(c－a)(a－b)写成(a－c)(b－a)，而0<a－c<3，0<b－a<2，所以0<(a－c)(b－a)<6，即0<(c－a)(a－b)<6.答案：0<(c－a)(a－b)<69．(2021·浦东高三模拟)给出以下四个结论：①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)；④a＜b＜0⇒eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a).其中正确结论的序号是________．【解析】①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，所以an＞bn成立；③a＜b＜0，得eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，④不成立．答案：②③【变式备选】假如a，b，c满意c<b<a，且ac<0，那么以下结论中能成立的序号是________．①ab>ac②bc>ac③cb2<ab2④ac(a－c)<0【解析】由于c<b<a，且ac<0，所以a>0，c<0.所以ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，所以①，②，④均正确．由于b可能等于0，也可能不等于0，所以cb2<ab2不肯定成立，故③不肯定成立．答案：①②④10．(双空)12<a<60，15<b<36，那么a－b的取值范围为________，eq\f(a,b)的取值范围为________．【解析】由于15<b<36，所以－36<－b<－15，又12<a<60，所以－24<a－b<45；由于15<b<36，所以eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，又12<a<60，所以eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.答案：－24<a－b<45eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4三、解答题11．(10分)：3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求以下各式的取值范围．(1)a；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).【解析】(1)由于3＜a＋b＜4，又由于0＜b＜1，所以－1＜－b＜0，所以2＜a＋b＋(－b)＜4，即2＜a＜4.(2)由于0＜b＜1，所以－1＜－b＜0.又由于2＜a＜4，所以1＜a－b＜4.(3)由于0＜b＜1，所以eq\f(1,b)＞1，又由于2＜a＜4，所以eq\f(a,b)＞2.－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围．【解析】由于－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，两式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).由于－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).所以－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4).所以－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2)，又知α＜β，所以eq\f(α－β,2)＜0.故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.【变式备选】1.：a，b，c，d∈R，那么以下命题中必成立的是()A．假设a＞b，c＞b，那么a＞cB．假设a＞－b，那么c－a＜c＋bC．假设a＞b，c＜d，那么eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．假设a2＞b2，那么－a＜－b【解析】选B.选项A，假设a＝4，b＝2，c＝5，明显不成立，选项C不满意倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以，否那么如a＝－1，b＝0时不成立．2．设a，b是非零实数，假设a<b，那么以下不等式成立的是()A．a2<b2B．ab2<a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)【解析】选C.当a<0，b>0时，a2<b2不肯定成立，故A错