立体几何空间向量及其应用

高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)空间向量及其应用一、考纲解读1.空间向量及其运算.(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(3)掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2.空间向量的应用.(1)理解直线的方向向量与平面的法向量；(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.3.相等向量与相反向量高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)二、命题趋势探究立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法 (非向量法)证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.三、知识点精讲(一).空间向量及其加减运算在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的2.零向量与单位向量高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为一a.4.空间向量的加法和减法运算(2)空间向量的加法运算满足交换律及结合律(二).空间向量的数乘运算是a的长度的入倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这4.共线向量定理5.直线的方向向量对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP=OA+ta①，其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取AB=a，22于平面a或在平面a内，则说明向量a平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)aaOAaa8-1547.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条该式称为空间平面ABC的向量表达式.(2)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关反之也成立.(三).空间向量的数量积运算，通常规定0，通常规定0高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)几几22.数量积定义.,.,.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，ababab22四、空间向量的坐标运算及应用123123112233112233123112233112233112233111222212121高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)向线段的终点的坐标减起点的坐标.(3)两个向量的夹角及两点间的距离公式.1231231232b=b2=b+b2+b2；2123112233112233123123②已知A(x,y,z)，B(x,y,z)，则AB=(xx)2+(yy)2+(zz)2,11222121212或者d(A,B)=AB.其中d(A,B)表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.b=.(4)向量a在向量b上的射影为acosa,bb=.(5)设n(n0)是平面M的一个法向量，AB，CD是M内的两条相交(6)利用空间向量证明线面平行：设n是平面的一个法向量，l为高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)(7)利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各(8)利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.nnla8-155(9)证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.(10)空间角公式.①异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线l，l上的方向向12abananan1211212nn或1212..112(11)点A到平面a的距离为d，B仁a，n为平面a的法向量，则dn五、解答题题型总结核心考点一:存在、最值问题11111111【解析】【解析】⑴因A在底面ABC上的射影恰为B点，则AB」底面ABC．11所所以三AAB就是AA与底面ABC所成的角．111114高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)14如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则CCB(0，2，0)，A(0，2，2)，B(0，4，2)，C(2，2，2)，1111C1xPCA1zB1ABy1AABC32211其其坐标为11nn.n5521215故二面角高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)PABCDABCD1且PA」ABCDPCPCEzPPABCDEADyBPCxABEDCEFAEFABCx11x1111V=入V=入x.=.=.≤.E一BCDP一BCD2.3x2+26626x+2x12=224.x，故三棱锥故三棱锥的体积取最大值时，四棱锥的高为BEAF」PC【解析】【解析】P菱中为的2PAEF6，，BPFADAEH2【解析【解析】⑴由四边形因为因为E为BC的中点，所以AE」BC．因为因为平面平面，所以PHFSPHFSDOCAEB所以所以⑵⑵法一：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．此时此时tan三EHA=AE=3=6，AHAH2因为因为平面平面所以平所以平面平面过过E作EO」AC于O，则EO」过过O作OS」AF于S，连接ES，则则三ESO为二面角EAFC22高考数学二轮复习最新优质专题训练(理)4O484332SE30554EHEH与平面PAD所成最大角的正切值为6，等价于最大角的正弦值255直角坐标系直角坐标系，所以3.3+y2+z25minmBBm.BDlmAF0((，取xy+z=02111|1l所以所以BD」平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．((也可直接设出法向量，由方程求解)==zPAExFDC5MxAM111aa；ACB1MACBAMDBAMDBx 6AMBC【解析【解析】⑴设BC的中点为D，连结在在正中，易知又侧面又侧面BCC与底面ABC