必修四平面向量常考知识点和复习典型高考例题分析

两个不为零的向量a，b平行，①ab(0)②如果a,b能够用直角坐标系的坐标表示，那么设a(m,n),b(p,q)，那么mqnp③如果a,b能够用两个不共线的基向量c,d表示，比如说amcnd，bpcqd，那么基向量前面的系数成比率，也就是mqnp在这里强调其实后边两点是同样的，因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的两个垂直的单位向量i,j，比方a(m,n)，也即是aminj，为了方便，我们写成坐标形式，而③这点其实是②的一般形式，就是③讲两个基向量推广到了不垂直的情况。用这个知识点的例题比方说：【例一】设a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b2a)共线，则的值为．【解析】要求的两个向量就是用a与b作为基底的，那么这两个向量共线能够获得前面的系数成比率，也即是1，也即1221【例二】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延伸线与CDuuurruuurruuur交于点F，若ACa，BDb，则AF=（）A．1r1rB．2r1rab3ab4232rC．1r1rD．1rabab2433F点的地点，其在DC中的地点比【解析】比方说运用这个知识点首先此题的难点在于例，所以首先要确定其地点在哪里，所以，我们设DFDC那么我们就能够用一个A,E,F共线来确定的值所以我们能够用AE,AF用相同基向量表示这两个向量，然后用系数比率的关系求出这个的值AE1AO1AD1AC1AD1(ADAB)1AD3AD1AB22424244AFADDFADDCADAB311则4413AFAD1AB(BOOC)1(AOOB)33242121BOOCACBDab333333【例三】如图，在△ABC中，点M为BC的中点，A、B、C三点坐标分别为（2，﹣2）、（5，2）、（﹣3，0），点N在AC上，且AN2NC，AM与BN的交点为P，求：1）点P分向量AM所成的比的值；2）P点坐标．【解析】这题例题也是同样的道理，（1）主要求P点，假定APAM,因为B,P,N三点共线，所以BP,BN用基向量BA,BC表示，再用待定系数法求得λ的值。BPBMMP1(1)AM11)(ACAB)BCBC(111222BC)(ABBCAB)BC(1)AB2(122BNBCCNBC1ACBC1(ABBC)2BC1AB3333所以2(1)2(1)4，所以分向量AM所成的比的值为12125432）用比率的方法能够获得P(6,2)55（★★总结方法：在图中有未知线段的比率不知道，就能够先设其线段比率为利用一个三点共线的两向量平行来求解的值。）

，然后知识点2：★重要定理（此定理在

2013年高考取多省份考到这个知识点）

：假定平面上有三点P,Q,C

,且这三点共线，此外有不在这条直线上的点

O点，能够获得OCOPOQ,1证明这个定理：证明：能够由P,Q,C三点共线能够假定PC

tPQ

，OC也即

OP(11

PCt)OPt,

OPtOQt

tPQ

OP1

t(PO

OQ)不难得出：①如果C在PQ线段之间是能够获得01,01,1②如果C在PQ延伸线上时，1,0,1③如果C在QP延伸线上时，1,0,1例题解说【例四】如下列图所示，两射线OA与OB交于点O，下列5个向量中，①2OAOB，②3OA1OB，③3OA1OB，④1OA1OB,434523⑤3OA1OB若以O为起点，终点落在阴影地区内（含边界）的45向量有（）个．A．1B．2C．3D．4【解析】可得①在BA的延伸线上，怎样运用上面的定理主要靠转变成定理的形式，比方说3OA1OB(3OA1OB)1OB，那么4344123OA1OB的终点在AB线段上，如图1，那43411么OB就会在如图的阴影部4412分内。同理能够将③3OA1OB转变为3OA1OB3OA1OB1OB43454420将④1OA1OB转变为1OA1OB1OA1OB1OB2323226将⑤3OA1OB转变为3OA1OB3OA1OB9OB45454420【例五】（2013安徽卷理9）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满|OA||OB|OAOB2,则点集{P|OPOAOB,||||1,,R}所表示的地区面积是(A)22(B)23(C)42(D)43【解析】|OA||OB|OAOB2，能够获得|OA||OB|2，且两个向量的夹角为60°，如图能够将两个向量放到半径为2的圆内，如图2。且由||||1，可得0||1,01，那么当01,01时，可知P点形成的地区为图中灰色地区当01,01，将问题转变为OPOAOBAOOB,那么P点形成的地区则是紫色的地区当01,01，将问题转变为OPOAOBAOBO那么P点形成的地区是红色的地区当01,01，将问题转变为OPOAOBOABO那么P点形成的地区是黄色的地区所以，综上所述可得P点形成的地区为一个长为23，宽为2的矩形地区，即面积为3，所以答案选D。知识点3：向量的基本要素求解：一般求解向量的基本要素，主要分为求解向量之间的夹角和向量的模长。那么要求这几个要素必须要理解其可求解的途径：①求解模长）如果向量a的坐标(x,y)已知（前提是在直角坐标系下的坐标），那么便可以直接采用勾股定理求解ax2y2）如果向量a的坐标不知道，可是a用两个已知的基向量表示出来，并且已知基向量的模长，基向量之间的夹角，那么能够经过对模长平方来求解，比方：已知cm,dn,且cdr，如果apcqd，则2222pqcd(qd)2p2m22pqrq2n2apcqd(pc)一般在不知道坐标的情况下都能够进行平方求解。3）能够用公式求解cos

mnmn②夹角求解mn1）能够用公式求解cosmn2）★★两向量夹角的范围0，两向量的夹角与三角形中角的种类的判断有着亲密的联系：若0，则该角为锐角0cos1当a0,b0时，ab02若，则该角为直角cos0当a0,b0时，ab02若，则该角为钝角1cos0当a0,b0，ab02知识点4：1）向量的点积ababcos，如果向量有坐标，a(x1,y1),b(x2,y2)，则abx1x2y1y2。2）向量a在向量b上的投影为acos（投影能够是负的），向量在基向量上分解，平行四边形原则。uuur2uuur【例六】如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，APAB则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．5

1uuurAC5

uuur2uuur1uuur，AQ＝3AB＋4AC，【解析】此题考察的是向量的平行四边形法例分uuur2uuur1uuuruuur2uuur1uuur解，已知APABAC，AQ＝3AB＋4AC，如下55

CQNPAMBuuuur2uuuruuur1uuuruuuruuuuruuurNP∥AB，图，设AMAB，ANAC，则APAMAN，由平行四边形法例，知55uuurSABQ1所以SABPAN＝1SABCuuur5，同理可得，ACSABC4故SABP4．SABQ5【例七】（2013浙江卷理7）设ABC,P0是边AB上一定点，知足P0B1AB，且关于边4AB上任一点P，恒有PB?PCP0B?P0C。则（）A.ABC900B.BAC900C.ABACD.ACBC【解析】此题考察向量的几何意义，也就是投影。过C点作CHAB，并且此处记PBPHHB,且若P点在HB之间时，记PH为负，P点在AH之间时，PH为正，所以PBPCPBPH，此处的PH与上述的PH相同，所以PBPCPBPH(PHHB)PHPH2HBPH(PHHB)2(HB)222当三角形确定此后，HB就为常数能够定下来，而PH为一个变量，所有把它当作一个函数，可知，当PHHB时，P