高等代数专插本试卷总汇

试题一

1.若整系数多项式/(X)在有理数域可约，则/(X)一定有有理根.()

2.若p(x)、q(x)均为不可约多项式，且(p(x),q(x))#l,则存在非零常数c,使得

p(x)=c、q(x).()

3.对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.()

4.若矩阵A的所有r+1级的子式全为零，则A的秩为r.()

5.若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数.()

6.若向量组,.a?,…,a,(s〉l)线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合.()

7.若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.()

8.若矩阵4、8满足AB=O,且A/0,则8=0.()

9.4称为对称矩阵是指A'=A.若A与3都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵.()

10.设〃级方阵A、B、。满足=E为单位矩阵，则CAB=E.()

得分

二、填空题：(每小题2分，共20分)

1.设g(x)|/(x),则/(x)与g(x)的最大公因式为.

2.设。工0,用g(x)=ax-b除了(x)所得的余式是函数值____________.

3.多项式/(x)、g(x)互素的充要条件是存在多项式“(X)、以外使得

4.一个〃级矩阵A的行(或列)向量组线性无关，则A的秩为.

5.线性方程组有解的充分必要条件是.

6.设矩阵A可逆，且|A|=1,则A的伴随矩阵A*的逆矩阵为.

7.设4、8为”阶方阵，则(A+B)2=A2+2A8+B2的充要条件是.

8.设P、。都是可逆矩阵，若PXQ=B,则乂=.

9.若%+a?+…+a,=0,贝iJ向量组a,,a2,•••,«.,.必线性.

10.一个齐次线性方程组中共有勺个线性方程、％个未知量，其系数矩阵的秩为人，若它有非零解，则

它的基础解系所含解的个数为.

得分I

h——三、计算题(每小题5分，共20分)

1.求多项式/(x)=X，+x?+2x-4与g(x)=丁+2x?-4x+l的最大公因式.

\+a1…1

1\+a,•,1

2.（n级）

11…1+0

700、

3.设A=ba0,给出A可逆的充分必要条件，并在A可逆时求其逆.

Jb%

4.求向量组a=(l,l,l)、4=(1,2,3)、7=(3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向量

表为该极大线性无关组的线性组合.

四、设向量组名,。2,…,见线性无关，而向量组万

线性相关，证明：夕可以由名,%,…,火线性表出，且表示法唯一.

B(本大题10分)

得分五、设A是一个秩为「的“X”矩阵，证明：存在一个秩为”一「的

〃x(〃一r)矩阵8,使A6=0.(本大题10分)

得分六（10分）设A，B

3b2…b,J

（1）计算A8及BA；

（2）证明：BA可逆的充分必要条件是（力《）（七2）。〃$＞也；

（3）证明：当〃〉2时，AB不可逆.（本大题10分）

得分七、设线性方程组为

玉+工2+工3+工4=1

玉+ZX2+七+匕=2

为+%+几%3+/=3

—

玉+%++（几1）工4=1

讨论4为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解

（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）.（本大题10分）

试题一

参考答案及评分标准

课程名称：高等代数(下)执笔人：胡付高

一、判断题(每小题2分，共20分)

(1)X；(2)V；(3)V；(4)X；(5)V；

(6)V；(7)X；(8)X；(9)X；(10)V.

二、填空题(每小题2分，共20分)

(1)g(x)；(2)/(—)；(3)«(x)/(x)+v(x)g(x)=1；(4)n；

a

(5)系数矩阵与增广矩阵的秩相等；(6)A；(7)AB=BA；

(8)P'BQ'x(9)相关；(10)4一〃3

三、计算题(每小题5分，共20分)

1-(/(x),g(x))=x-1•

注：本题一般用辗转相除法求出最大公因式，如果分解因式〃x)=(x-l)(x2+2x+4),

g(x)=(x-l)(x2+3x—1)得到最大公因式，也给满分.

2.解：原式=(〃+a)a"，

3.解：因为|4|=苏，所以A可逆的充分必要条件是aw0.

(2分)

a200]

A的伴随矩阵A*=-aba20.......................(4分)

b2—ac-aba2

17

(a200、

故」A*=二

-aba10.......................(5分)

h2-ac-aha2

\

注：本题在得到A可逆时，求其逆矩阵可以采用初等变换法.

院系负责人签字

’113、(102、

4.由124-011，可知a,，为向量组的一个极大线性无关组,

V1°

u300,

（3分）

且有/=2。+6.（5分）

注：本题也可以先说明其秩为2,故任意两个向量都是极大线性无关组（容易看出任意

两个向量线性无关），或其它方法均可.

四、证明（1）由%,%，…,见，£线性相关，存在不全为零的数左，右使

ktat+k2a2+•••+krar+kr+xft=0

..............（2分）

又由%线性无关，得（+]/0（否则，%,。?，…,见线性相关，矛盾），于是有

............(5分)

(2)设夕=4%+c2a2T--Hcrar,(3-/,«,+l2a2----1-lrar,则

c.a,+---+crar=/仔］+…+4。,，即(q-/()a,+(c2-/2)a2+•••+(<?,-lr)ar=0,

............(8分)

由于…线性无关，故=°,，2-，2=°，…，-/r=0，即J=4(Z=1,2,•••,f).

............(10分)

五、证明考虑齐次线性方程组Ax=0,因为秩（A）=r,故存在基础解系4,§2，…,，作〃X5-r）

矩阵8=（。,$,…看,〜），则A8=0，.............（6分）

由于8的〃-r个列向量线性无关，故有秩（B）=〃—r.

..............（10分）

（E0、

注：本题的另一证法是：由秩（A）=r,存在可逆矩阵P,Q使巴4。=[展I,即

.（E0>,「01

A=pfrQ-',取B=Q,则AB=0.（8的取法不唯一）.

I。oj

，1+〃自1+a}b2•・1+他、

nE%

1+61力[1+a2b2・-1+a2b2

六(1)AB=,BA=i=l

力支她

J+*1+。也--1+a也,ti=l/=17

..............（4分）

（2）由于忸川=〃£她一（£4）（£々），故员4可逆的充分必要条件是忸山工0,即

/=1/=1/=1

这生)(力>〃£岫..............(7分)

i=l/=!»=1

（3）当〃>2时，由于R（A6）〈R（A）W2<〃，故A8不可逆.

..............（10分）

注：对（3）直接证明MM=O的，只要方法正确，也给满分.

七、解由于系数行列式|川=（2-1）2（4-2）（2分）

（1）由克莱姆法则知，当/LKI且2x2时.，方程组有唯一解；.........……（4分）

<1111nfl1111)

1111200001

(2)当4=1时,->,方程组无解；

1111300002

J

1101000-20)

................

p1111]1111)

1211201001

(3)当2=2时，-1

1121300102

b1J10

1100007

方程组有无穷多解:.…....•..（..8...分...）...

-n

与10

—+k.…...•...（..1..0..分....）.

工320

10；d

H11ii、pilln

1211202-1001

注：直接作初等变换—),然后讨论

11213002-102

Ui^0002-2oj

1；,Tb

方程组解的情况亦可，根据相应步骤给分.

试题二

一、判断题：（在括号里打“J”或“X”，每小题2分，共20分）

1.任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1.（X）

a+4

1

2.4(X)

〃+

3

3.若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数.（J）

4.若矩阵A的秩是广，则A的所有，级的子式全不等于零.(X)

5.若矩阵A经过初等变换化为矩阵8,则|川=忸|.(X)

6.若一组向量的和为零向量，则它们必线性相关.(V)

7.任一线性方程组有解O它的导出组有解.(X)

8.若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.(X)

9.若向量组四,。?，…,《（s〉l）线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合.（X）

10.一个非齐次线性方程组的两个解（向量）之差一定是它的导出组的解.（J）

二、填空题（每小题2分，共20分）

»（/?-!）

1.排列〃（〃—1）…321的逆序数为一--.

2.五级行列式。中的一项3a32a45a54在£＞中的符号为负.

3.〃级行列式。按第j列展开公式是D=+a2jA2j+--+anjAnj.

4.已知非零向量组a、/3、/两两线性相关，则该向量组的秩为1.

5.线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩•

6.若矩阵A中有一个厂级子式不为零，则秩（A）2r.

7.一个齐次线性方程组中共有s个线性方程、f个未知量，其系数矩阵的秩为p,若它有非零解，则

它的基础解系所含解的个数等于f-p.

8.一个非齐次线性方程组记为（I）,它的导出组记为（H）,则（I）的一个解与（II）的一个解

的差是（I）的解.

9.一个〃级矩阵A的行（或列）向量组线性相关，则A的行列式等于0.

10.两个向量组等价是指它们可以相互线性表出.

三、计算下列行列式（每小题5分，共20分）.

18276412333431111

1491612232421234

(1)解原式=—=12

123412341223242

111111111233343

注：其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分.

abc1

bca1

(2)cab1解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式=0

b+cc+aa+h

1

222

注：本题也可以从第4行提取公因子,，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为

2

元素全为零，故原式=0.

解将所有列全加到第1列并提起公因子，得

1

«2…1a2a”

1a+x・•・a0x0

原式=（x+Z《）2„=(x+Zq)

,=11=1

a+X

1a2・•・n00X

=(X+£《)X"T

i=l1=1

q+xX…X

xa1+x…x

(4)

«•••••••••••(W0)

XX…%+X

解将所有行减去第1行，化为爪形行列式，得

%+XX••X—X・••X

i=\%a

-0n]

一。1a2.

原式==0a2•0=(q+。/£一吊2…

%

_40•,%

00•,,a„

〃1

=(\+xY—)ala,---an.注：本题也可以用加边法化为爪形行列式计算.

,=1%-

X,+x2+x3+x4=1

%1+AX+x3+x4=1

四、设线性方程组为:2试讨论下列问题:

x+x++x=1

x2AX34

X1+%2+9+(2—1)X4=2

(1)当；l取什么值时,线性方程组有唯•解？

(2)当；I取什么值时,线性方程组无解？

(3)当力取什么值时,线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解.(要求用导出组的基础解

系及它的特解形式表示其通解)(共15分)

解线性方程组的系数行列式为

11111111

1A10A—100

(2-1)2(2-2)

11A1002-10

1112-10002-2

(1)当(2-1)2(4-2)#0,即4w1且4。2时，线性方程组有唯一解；

(2)当；1=2时,

q111111P

1211101000

-)

1121100100

2)10

1110001,

线性方程组无解;

(3)当；1=1时

’11111、"11111、q1102、

11111000000001-1

T—>

111110000000000

J1102；^000-11>、o0000,

线性方程组有无穷多解，且其通解为

(x„x2,^,X4)=^,(-1,1,0,0)+^2(-1,0,1,0)+(2,0,0,-1).

五（1）设向量%,%，由线性无关，证明：向量%+。3，。3+%线性无关；

（2）证明：对任意4个向量，向量组/+%,%+%，%+%，%+。1都线性相

关.（共15分）

证明（1）设占（%+%）+&（%+%）+%3（。3+必）=。，即

（占+氏3）%+（匕+%2）。2+（氏2+k3）%=。由于%%，%线性无关，故有

氏1+&=0

<&+%2=0解之得，匕=幺=&=0

k2+%=。

故/+%，%+%，%+。1也线性无关........（8）

（2）由（%+。2）-（。2+。3）+（。3+。4）一（。4+，）=0得，a\+。2，22+03，。3+。4，仪4+/线性相

关.

六、设向量组。［,%，…，火线性无关，而外,%，…，％，民7线性相关，但夕不能由…，线

性表出，证明：/可以由%,％，…，氏线性表出，且表示法唯一.（10分）

证明（1）先证/可以由…，%线性表出：

因为％,%，…，%，△/线性相关，所以存在不全为零的数占次2,…，（+2,使得

k}a］+k2a?+・••+krar+kr+］/3+kr+2y=0.

由于夕不能由四,见，…，%，/线性表出，故必有（+1=0,下证（+2。0.用反证法：若（+2=0,贝IJ

kxax+k2a2+-••+krar=0,由于2［，女?，…，勺+2不全为零，故匕/2,…，勺不全为零，与％,%，…，火线

性无关的假设矛盾，于是％,+2/0，得到7=一4-/一上。2...........

&y+2&y+2&>+2

（2）次证表示法唯一：设7=4。］+c2a2+..•+1%，/=/］%+/2a2+•..+//■/•，则

+c2a2+•••+*%.=/［。［+/2«2+•・・+/,az.,即（q-1［）a1+（c2-l2）a2+---+（cr-lr）ar=0»

由于%,%，…，火线性无关，故《一4=0,。2一/2=°，.・・，。/一/r=0,即Cj=.（i=l,2,・・・.）,于是表示

法唯一.

七、（附加题）证明或否定下面命题：若三个向量两两线性无关，则a,民/线性无关.并说明

在三维矢量空间中的几何意义.（10分）

解本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面.很明显该结论是错误的，

例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面.

注否定上述结论时，也可构造反例，如a=（1,0,0）,尸=（0,1,0）,y=（1,1,0）等,或构造三个二维向量,

使它们两两线性无关.

试题四

题号—■二三四五六七八总分

得分

得分

一、判断题（每小题2分，共20分）

1.集合A={a+b拒Ia）为整数}是一个数域；（）

2.设在数域P上（x-a,/（x））=l,则一定有/（a）HO；（）

3.若整系数多项式/（x）无有理根，则/（x）在有理数域上一定不可约；（）

4.设A是〃级矩阵，々是任意常数，则|公|=攵同或|到=一修4|；（）

5.设"cd是一个4级排列，则Hcd与badc的奇偶性相同：（）

6.设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0,

则该线性方程组无解；（）

7.任意等价向量组中所含向量的个数相等；（）

8.任何齐次线性方程组都存在基础解系；（）

9.设a,尸都是〃维列向量，则=（）

10.设A,B都是〃级对称矩阵，且则A与5在复数域上合同.（）

得分

二、填空题：（每小题2分，共14分）

1.设a,民/是多项式/（x）=/+bx+c的三个根，则ay=

2.四阶行列式中，项。23%2&外4的符号为.

3.设矩阵A可逆，且|川=1,则缶*尸

4.设A、8为〃阶方阵，则04+3）04-8）=42—82的充要条件是,

5.设A为sxt矩阵，则齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是：秩（A）

6.设a,。,c,4是互异常数，则线性方程组

玉+X2+=1

<ax1+bx2+cxi=d的解向量中分量占=.

222

a~xx+bx2+CX3=d

7.二次型/（X|,X2，X3）=X；+2X；+%X；+2〃》2工3是正定的充分必要条件是义与〃满

足•

得分

三、计算（每小题6分，共12分）

111l+a

11l+a1

（〃级）

11+a11

l+a111

'abc、

2.设A=0ab,给出A可逆的充分必要条件，并在A可逆时求其逆.

、00a)

得分四、（共10分）化二次型

/（xpx2,x3）=x；+2X（X2+4x,x3+x；+4x；-3x2x3

为标准形，写出所作的非退化的线性替换.并回答下列问题：

（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？

（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？

（14分）当4为何值时，下面线性方程组有解？并求解.

%+/+W=1

%+%+目+%=3

%++尤3+(丸—1)工4=1

六（10分）设向量夕可以由。］,%，…，&，/线性表出，但不能由,，火，…，。、线

」性表出.证明：（1）/可由向量组

6,线性表出；（2）/不能由4,%,・・•,见线性表出.

七（10分）设A是一个秩为r的〃x〃矩阵，证明：存在一个秩为〃-r的〃x〃矩阵3,

使A8=0.

A(10分)证明：如果(/(x),g(x))=l,(/(x),h(x))=1,!I!iJ(f(x\g(x)h(x))=1.

参考答案及评分标准（试题四）

判断题(每小题2分)

1.X；2.V；3.X；4.X；5.J；6.X；7.X；8.X；9.V；10.V.

填空题（每小题2分，共14分）

(c-d)(c-b)(b-d)

1.—ci;2.负号；3.A；4.AB=BA；7.2几—fj.~>0.

(c-a)(c-b)(b-a)

三.计算（每小题6分，共12分）

11•••1111­••11

11­­•1+。100•••a0

1.原式=(〃+〃)«••・・・•••・•••••二(〃+〃)•••••••••・・••••

1\+a•••110a•••00

1+41­­•11a0…00

.......（2分）.......（4分）

=(-1)2(〃+〃)a〃T（6分）

2.因为|川二。3,所以A可逆的充分必要条件是.....（3分）

（（T-abb*2-acy

且Oa2-ab.....（6分）

M=X]+工2+2%3

2X，则/=4一7y2y3.......(2分)

四.f=（X1+x2+2X3）-7X2X3,令<%=2

73=

必=Z|

再令，必=Z2+Z3，贝iJ/=z；-7z；+7z；（4分）

.%=Z2-Z3

且所作的非退化的线性替换为

fl-1-2、rv)fl-1-2Y1

X2=010为=0100

kX32、00、001>、0

—

（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差分别是2,1,1.•••(8分)

（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是

f—++Wj与/=vv；+-Wj（10分）

(\1111、’11111、

1z1120/I—1001

五.解-»（2分）

11213002-102

J11A.—1、000A-2o>

（1）当；IHl且;IH2时，方程组有唯一解（4分）

2-4

.....（7分）

-2-1

（2）当；1=1时，方程组无解；.....（9分）

（3）当；1=2时，方程组有无穷多解:.....（II分）

.....（14分）

六.证明（1）因为/可以由%,。2,线性表出，所以存在不全为零的数勺

（2分）

使夕=%乌+k2a2+…+ksas+ks+}y，

若配1=0,则万可以由囚,。2,…，巴线性表出，矛盾.故配产0，.....（4分）

kkkI

从而有y=---—at,---=—<z2—•,-----—£ZVH----/3......(5分)

Liks+lks+i-ks+l

（2）（反证法）若y可由因,。2,…,见线性表出，又由于用可以由4,7线性表出，得万可

以由.,。2,…,见线性表出，矛盾.故/不能由/,02,…,a,线性表出.

...（10分）

七.证明考虑齐次线性方程组Ar=0,因为秩（A）=r,故存在基础解系。看…看,一，作

“X”矩阵5=6*2,…，配,0,…,0),则45=0,且秩(§)=〃—「.......(10分)

注1在构造矩阵3时，3的后面，列未必一定要取零向量，事实上，只要说明8中每列都是线性方

程组Ax=0的解，且8中含〃-r个线性无关的列向量即可.

（E01

注2本题的另一证法是：由秩（A）=r,存在可逆矩阵尸,。使24。=0oI,即

、,<00、

°，取8二Q八则A8=0

E“-ry

八.证明由(/(x),g(x))=l及(/(x),/?(x))=l,存在多项式/(x),匕(x)(i=l,2),使

M,(x)/(x)+vl(x)g(x)=l,M2(X)/(X)+v2(x)/i(x)=1,（4分）

两式相乘得，（“I4/+”1丫2〃+“2匕8）/+（匕匕）8力=1（8分）

所以有(/(x),g(x)〃(x))=l.（10分）

试题六

挈

1口;1.如果dim、=町，dim^=m2,dimCV,+V2)=m3,则dim(Kc%)=•

砧;2.两个有限维线性空间匕、匕同构的充分必要条件是.

3.用L(V)表示〃维线性空间V的所有线性变换构成的线性空间，则dimL(V)=

：4.若AeP"",且A2=E,则A的特征值为.

：5.设欧氏空间的正交变换幺在一组标准正交基下的矩阵是U,则|U|=.

本

i6.设丫是•个〃维欧氏空间，awO是丫中非零向量，卬=伊|9,万)=0,万€叫，则

4:dimIV=.

段5(111、

：7.矩阵4=111的最小多项式为_______________.

:[ill,

aa

•\\\2〃13

a

：8.已知线性变换/在基弓,£2，£3下的矩阵为2\。22%3，则建在基与下的

•。32〃33)

容矩阵为.

j9.在口x]“中，线性变换。/(x))=/'(x),则/在基l,x,K,…,下的矩阵为—

j10.设6级矩阵A的不变因子是1,1,1,1,(丸一2),(/1-2)2(/1-3)3,则A的若尔当标准形是

二、选择题（每小题3分，共15分）

1.下列集合构成P"*"的子空间的是（）

a.｛川AG尸?同卜b.（A|AeP,,xn,|A|=0｝；c.｛A|AeP"*",A'=4

2.”维线性空间V的线性变换X可以对角化的充要条件是（）

a.人有”个互不相同的特征向量；b.X有〃个互不相同的特征根；

c.人有“个线性无关的特征向量.

3.对子空间乂，匕，匕，匕+匕+匕为直和的充要条件是（）

a..eV2c匕=｛0｝；b.一=匕+匕+匕;c.匕c（Z匕）=｛。｝，«=1,2,3.

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4.下列类型的矩阵A一定相似于对角矩阵（）

a.正交矩阵；b.特征值皆为实数的矩阵：c.主对角元两两互异的上三角矩阵.

5.A〜B的充要条件是（）

a.A.8具有相同的特征值；b.|A|=|fi|；c.A、8具有相同的不变因子.

三、（共15分）设,,£2，£3为V的基，且线性变换X在此基下的矩阵为

'111、

A=111

J1I

（1）求女的特征值与特征向量；

(2)A是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T使得7一