二元一次不等式组与平面区域与线性规划中求最值的问题

二元一次不等式（组）

与平面区域人教A版必修5§3.3.1问题在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0将平面分成几部分呢？?不等式x+y-1＞0对应平面内哪部分的点呢？答：分成三部分:（2）点在直线的右上方（3）点在直线的左下方0xy11x+y-1=0想一想？（1）点在直线上右上方点左下方点区域内的点x+y-1值的正负代入点的坐标（1,1）（2,0）（0,0）（2,1）（-1,1）（-1,0）（-1,-1）（2,2）直线上的点的坐标满足x+y-1=0，那么直线两侧的点的坐标代入x+y-1中，也等于0吗?先完成下表，再观察有何规律呢？探索规律自主探究0xy11x+y-1=0同侧同号，异侧异号规律：正负1、点集{(x,y)|x+y-1>0}表示直线x+y－1=0右上方的平面区域；2、点集{(x,y)|x+y-1<0}表示直线x+y－1=0

左下方的平面区域。3、直线x+y-1=0叫做这两个区域的边界。一般地，在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线,以表示区域不包含边界;不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。1、由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

2、方法总结：画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：1、线定界（注意边界的虚实）2、点定域（代入特殊点验证）特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。x+4y>4x-y-4>0x-y-4<0典例精析题型一：画二元一次不等式表示的区域例1、画出x+4y<4表示的平面区域x+4y=4x+4y<4oxy变式：（1）x+4y>4（2）x-y-4<0（3）x-y-4>0oxyx-y-4=0例2、画出不等式组表示的平面区域。题型二：画二元一次不等式组表示的区域由于所求平面区域的点的坐标需同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的区域是各个不等式表示的区域的交集，即公共部分。分析：画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：总结：2.点定域3.交定区1.线定界

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3xoy4-55x-y+5=0x+y=0x=3跟踪练习能力提升如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)＞0的点(x,y)所在区域应为：()By12χO(C)y12χO(D)y12χO(A)y12χO(B)(0,1)(-4,-1)(2,-1)xy题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）例3、写出表示下面区域的二元一次不等式组解析：边界直线方程为x+y-1=0代入原点（0，0)得0+0-1＜0即所求不等式为x+y-1≤0典例精析题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）例3、写出表示下面区域的二元一次不等式xy-2o11-1x-2y+2＞0y≥-1绿色区域蓝色区域x-2y+2＞0y≥-1x+y-1≤0x+y-1≤0紫色区域黄色区域根据平面区域写出二元一次不等式（组）的步骤：方法总结求边界直线的方程1代入区域内的点定号2写出不等式（组）3题型五：综合应用解析：由于在异侧，则（1，2）和（1，1）代入3x-y+m所得数值异号，则有（3-2+m）（3-1+m）<0所以（m+1）(m+2)<0即：-2<m<-1试确定m的范围，使点（1，2）和（1，1）在3x-y+m=0的异侧。例4、变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？解析：由于在同侧，则（1，2）和（1，1）代入3x-y+m所得数值同号，则有（3-2+m）（3-1+m）＞

0所以（m+1）(m+2)＞

0即：m<-2或m＞-1题型四：综合应用求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积例5、x-y+5≥0y≥2

0≤x≤22xoy-55DCBAx-y+5=0x=2y=22如图，平面区域为直角梯形,易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以AD=3,AB=2,BC=5故所求区域的面积为S=解析：题型四：综合应用若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围变式：x-y+5≥0y≥a

0≤x≤2变式训练题型四：综合应用若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围变式：x-y+5≥0y≥a

0≤x≤22xoy5DCx-y+5=0x=2-5y=ay=ay=ay=5y=77数形结合思想答案:5≤a<7

求z=2x-y最大值与最小值

。设x,y满足约束条件：①作可行域（如图）③因此z在A（2，-1）处取得最大值，即Zmax=2×2+1=5；在B（-1，-1）处取得最小值，即Zmin=2×（-1）-（-1）=-1。②由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动直线y=2x，若直线截距-z取得最大值，则z取得最小值；截距-z取得最小值，则z取得最大值.④综上,z最大值为5；z最小值为-1.举一反三x-y≥0x+y-1≤

0y≥-1解：y=-1x-y=0x+y=1(-1,-1)xy011ABC（2，-1）y=2x作出狱下列锦不等极式组璃的所等表示均的平斩面区趴域问题树思考23x营+5凳y≤兼25x-4y浆≤-3x≥艇1在该平面区域上

问题1：ｘ有无最大(小)值？问题２：ｙ有无啦最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1问题３：2ｘ+ｙ有无歌最大(小)值？CAB二.提出焦问题把上昨面两茎个问尼题综射合起唐来:设z=华2x皮+y害,求满花足时,求z的最闻大值删和最未小值.55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy直线L越往孤右平微移,t随之诸增大.以经拨过点A(闪5,遗2)的直条线所惜对应象的t值最湖大;经过务点B(怖1,不1)的直除线所照对应钥的t值最菜小.设z=2x+y,求满足时,求z的最大值和最小值.线性毯目标诊函数线性稍约束间条件线性罚规划渡问题任何俘一个娇满足化不等姜式组书的（x,耽y）可行谎解可行富域所有稍的最优揭解有关颤概念由x，y的不臣等式(或方饺程)组成桨的不资等式慨组称同为x，y的约束德条件。关刮于x，y的一曾次不杰等式识或方裕程组筒成的场不等舍式组纵称为x，y的线性戴约束懂条件。欲恰达到眯最大盼值或贺最小荣值所蝇涉及胖的变龙量x，y的解身析式嚼称为目标摸函数。关赵于x，y的一烟次目益标函胀数称爬为线性令目标沟函数。求非线性酒目标狭函数量在线逮性约局束条耍件下欣的最桂大值今或最盏小值车问题后称为线性左规划轻问题。满包足线痕性约遵束条舅件的甘解（x，y）称返为可行损解。所苗有可洁行解锦组成嫩的集葬合称配为可行种域。使她目标笼函数见取得借最大盯值或夸最小捧值的性可行扇解称身为最优友解。B

Cxyox－4y=－33x+5y=25x=1Ａ例1：设z＝2x－y,式中替变量x、y满足旱下列粗条件求ｚ具的最出大值撇和最礼小值芦。3x+5y≤25x

－4y≤－3x≥1解：米作出立可行叙域如皮图：当ｚ基＝0时，蝴设直稻线l0：2x－y＝0当l0经过鄙可行押域上雨点A时，－z最小刺，即ｚ最大熔。当l0经过秀可行壁域上尝点C时，－ｚ最大角，即ｚ最小夏。由得A点坐标_____；

x－4y＝－3

3x＋5y＝25由得C点坐标_______；

x=1

3x＋5y＝25∴zma炕x＝2×捷5－2＝8兴zmi虽n＝2×拿1－4.4＝－2.4(5,2)(5报,2垄)(1房诚,4惹.4叙)(1,4.4)平移l0，平移l0，(5,2)2x－y＝0(1,4.4)(5,2)(1,4.4)典例拿讲评解线腿性规森划问立题的券步骤送：2、间在线遗性目导标函确数所呼表示尾的一谁组平栗行线中，缺用平剖移的知方法干找出店与可火行域尤有公共点洁且纵熔截距祖最大炼或最驼小的途直线弄；3、肚通过沸解方渣程组财求出抽最优佳解；4、盖作出蜡答案犁。1、霸画出脾线性伶约束尸条件学所表圣示的己可行懂域；画移求答例2某工旷厂生折产甲疾、乙脆两种亡产品货，生蓄产1t甲种膝产品投需要A种原贯料4t、B种原汇料12暑t，产察生的垫利润峰为2万元筑；生否产1t乙种玻产品条需要A种原误料1t、B种原山料9t，产姥生的唱利润顺为1万元撤。现但有库叶存A种原低料10坐t、B种原模料60骆t，如豆何安要排生辰产才税能使朝利润箩最大砍？A种原料B种原料利润甲种产品4122乙种产品191现有库存1060

在关曾数据约列表剥如下挎：设生娃产甲蹦、乙贝两种税产品跃的吨哀数分别槽为x、y利润何时尘达到工最大刘？三、漂当堂净检测已知（1）求z=鞭2x厦+y的最戴大值芹和最镇小值谅。（2）求z=侨2x窝+y的最根优解美。551Oxyy-五x=蹄0x+锄y-鸣1=燃01-1y+坦1=蜜0A(圣2,晨-1伏)B(得-1赠,-远1)2x眼+y碑=0知识杠小结1．线印性规泉划问屡题的法有关尿概念;2.用图息解法稳解线圾性规奶划问予题的围一般定步骤雹：1）设颈出未咬知数雨，列陈出约抓束条鸦件，颗确定孕目标捏函数2）作胁出可退行域3）作薯平行匙线挠使直棒线与贵可行的域有条交点4）求洽出最推优解谦并作奋答求z=脾-x葱-y最大壶值与裁最小诸值。设x,踏y满足痒约束慢条件扫：①作室可行尾域（膀如图租）