三角函数的图像与性质

第四节三角函数的图象与性质(2)基础梳理1.作

的图象主要有以下两种方法：(1)用“五点法”作图．用“五点法”作

的简图，主要是通过变量代换，设

，由z取________，________，________，________，________来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)由函数y=sinx的图象通过变换得到

的图象．有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．0

方法一：先平移后伸缩y=sinx

平移个单位纵坐标不变横坐标不变方法二：先伸缩后平移y=sinx

纵坐标不变平移个单位y=sinx

横坐标不变A叫________，叫________，叫________，x=0时的相位

称为________．上述概念是在A>0且w>0的前提下的定义，否则，若A<0或w<0，则F就不能称为相位．叫________，振幅周期频率相位初相基础达标1.为了得到函数y=3sin的图象，只需将函数y=3sinx上的所有点________________．解析：将函数y=3sinx上的所有点向右平移个单位可得函数y=3sin的图象．2.将函数y=sinx的图象，先向上平移一个单位，再将纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变，所得图象的解析式为________．x∈[0，+∞)表示一个振动量时，解析：将y=sinx的图象先向上平移1个单位得到函数y=sinx+1的图象，再把纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数y=2sinx+2的图象．3.(必修4P48第13题改编)已知函数的部分图象如图所示，则解析：由图象可知

，则

由五点作图法知三星学科,教师助手,学生帮手,家长朋友！4.设点P是函数

的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是最小正周期是________．则f(x)的解析：∵

的图象的一个对称中心与相邻的对称轴的距离为5.已知函数

的图象如图所示，则f(0)=________.解析：又∵是函数的一个上升段的零点，求得代入得A=经典例题【例1】已知函数y=2sin(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到．分析：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决．(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点．(3)只要看清由谁变换得到谁即可．解：(1)y=2sin的振幅A=2，周期T初相(2)令x′=2x+则y=2sin=2sinx′.列表，并描点画出图象：0-20200-1010y=sinx′

0x′x(3)方法一：把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y=2sin的图象．方法二：将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位，得到的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象．题型二三角函数

的解析式【例2】(2010天津改编)下图是函数在区间上的图象．(1)求此函数的解析式；(2)为了得到这个函数的图象，应如何移动y=sinx

(x∈R)的图象上所有的点？分析：根据图象可求出A，

，

，比较两函数解析式可知该如何移动．解：(1)由给出的三角函数图象知，A=1，解得

=2，又所以即原函数解析式为y=sin(2)将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点先向左平移个单位长度，再把所有各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变即可得到函数y=sin的图象．变式2-1

(2011重庆南开中学月考)已知函数的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为且图象上一个最高点(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间．解析：(1)由相邻两个交点间的距离为可得T=由最高点为得A=2，且sin又

(2)令即

∴f(x)的单调增区间为同理，f(x)的单调减区间为变式2-2

(2010徐州三模)若函数部分图象如图所示．则此函数解析式为解析：由图象可知而由图象知A=2，设y=2sin将(-1,0)代入，可得2sin又

题型三三角函数

模型【例3】如图，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．分析：在实际背景中抽象出基本的数学关系是解题的关键所在．解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的的半个周期的图象．将x=8，y=30代入上式，解得∴所求解析式为y=10sin+40，x∈[8,14]．图象是变式3-晓1下图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一周，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动

角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与

之间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式．解析：(1)由已知作图，过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点，当时，

∴h=|OA|+0.8+|BM|=4.8sin+5.6，经验证，当时，上述关系也成立．(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是(已知60秒转动一周)，∴t秒转过的弧度数为t.∴h=4.8sin+5.6，t∈[0，+∞)．链接射高考时取得最大值4.(2010广东)已知函数在x=(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若求sin.知识准备：1.三角函数的周期公式T=；2.三角函数的性质；3.