世纪金榜第二章第十二节

第十二节函数模型及其应用1.三种函数模型性质比较y=ax(a>1)

y=logax(a>1)

y=xn(n>0)

在(0，+∞)上的单调性

单调___函数

单调___函数

单调___函数

增长速度

越来越___

越来越___

相对平稳

图象的变化

随x值增大，图象与__轴接近平行

随x值增大，图象与x轴接近_____

随n值变化而不同增增增快慢y平行2.常见的几种函数模型(1)直线模型:一次函数模型_____________,图象增长特点是直线式上升(x的系数k＞0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=kx(k＞0).(2)反比例函数模型:_____(k＞0)型,增长特点是y随x的增大而减小.(3)指数函数模型:y=a·bx+c(b＞0,b≠1,a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b＞1,a＞0)，常形象地称为指数爆炸.y=kx+b(k≠0)(4)对数函数模型，即y=mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a＞1,m＞0).(5)幂函数模型,即y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型:__________(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a＞0).y=ax2+bx+c(6)分段函数模型：其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围不同.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.()(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b＞0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.()(3)幂函数增长比直线增长更快.()(4)不存在x0，使()【解析】(1)错误.当x∈(2,4)时,x2＞2x.(2)错误.增长越来越快的指数型函数是y=a·bx+c(a＞0,b＞1).(3)错误.幂函数y=xn(0＜n＜1,x＞1)的增长速度比直线y=x(x＞1)的增长速度慢.(4)错误.当0＜a＜1时，存在x0,有答案：(1)×(2)×(3)×(4)×1.国际上钻石的质量计量单位为克拉，已知某种钻石价值V(美元)与其质量w(克拉)的平方成正比，若把一颗钻石切割成质量分别为m,n(m>n)的两颗钻石，且价值损失的百分率=×100%(切割中质量损耗不计)，则价值损失的百分率的最大值为______.【解析】由题意V=Kw2,∵质量分别为m，n,∴价值损失的百分率=答案：50%2.一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的_______(填序号).【解析】由题意知h=20-5t(0≤t≤4).答案：②3.拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=0.5×［m］+1(单位：元)，其中m＞0，［m］表示不大于m的最大整数(如［3.62］=3,［4］=4)，当m∈［0.5,3.2］时，函数f(m)的值域是________.【解析】当m∈［0.5,3.2］时,［m］所有可能值为0,1,2,3共4个，故f(m)的值域为{1,1.5,2,2.5}.答案：{1,1.5,2,2.5}4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=(万元).一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______.【解析】利润L(x)=20x-C(x)=当x=18时，L(x)有最大值.答案：18万件考向1

一次函数与二次函数模型

【典例1】某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润(万元).当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为:在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售,也在外地销售，在外地销售的投资收益为:每年投入x万元，可获利润Q=(万元).问从10年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值?【思路点拨】计算实施规划前后10年的总利润.通过比较总利润的大小,判断规划方案是否具有实施价值.【规范解答】在实施规划前,由题设(万元)知，每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元.则10年的总利润为W1=100×10=1000(万元).实施规划后的前5年中,修建公路的费用为30×5=150(万元),又由题设知，每年投入30万元时,利润(万元).前5年的利润和为(万元).设在渗公路鸟通车辫后的5年中岩，每逼年用x万元扁投资文于本挪地的独销售案，而用剩贵下的(6痰0-虽x)万元繁投资鲜于外女地的众销售罗，则舟其总美利润汗为W2=当x=令30时,(蓝W2)ma历x=4呆9波50申(万元).从而10年的愈总利辽润为故该扩方案菌有极陡大实踢施价搅值.【拓展浇提升】一次途函数墨与二触次函短数模嫂型应桨注意筝的问锦题(1摄)二次灿函数鹊的最痰值一巴般利不用配勒方法邪与函区数的展单调旁性解曲决，竭但一美定要仁密切连注意傲函数堵的定巾义域哪，否很则极灰易出羞错.(2厚)确定兆一次宿函数吩模型昼时,一般吃是借联助两哈个点疾来确角定,常用竿待定允系数阴法.(3盛)解决竞函数欲应用谋问题葬时，香最后柄要还寒原到舅实际生问题.【变式五训练】某企劣业生郑产A,汗B两种拳产品筑，根住据市户场调樱查与俩预测凡，A产品侍的利差润与达投资慨成正待比，述其关阀系如处图1;铺B产品喉的利步润与虹投资敞的算散术平棒方根授成正参比，咏其关创系如恋图2(注：喂利润剥和投初资单特位:万元).(1丈)分别植将A,鞋B两种痕产品珍的利替润表无示为傲投资红的函佣数关捆系式.(2嫁)已知踪蝶该企芦业已饥筹集忆到18万元户资金者，并完将全晴部投彼入A,肌B两种汁产品猫的生蜡产.①若平荐均投畜入生掏产两攻种产榨品，逐可获朋得多橡少利喘润?②问:如果域你是汤厂长,怎样沿分配转这18万元状投资顶，才漫能使隔该企爬业获萄得最母大利辈润?其最卡大利俯润约飘为多疮少万习元?【解析】(1月)设A,铅B两种丙产品鹊分别章投资x万元,x万元堪，x≥筋0，所获利音润分蚊别为f(颗x)万元经、g(释x)万元.由题茶意可禾设f(食x)=绵k1x,章g(龟x)荷=根据组图象艘可解枯得f(土x)=挥0.拘25醉x(锻x≥躲0)材.g(围x)=堂(x宗≥0已).(2脱)①由(1欢)得f(翅9)料=2惩.2弄5,骆g(灵9)腐=∴总利辽润y=州8.冒25万元.②设B产品驴投入x万元,A产品挂投入(1预8-舟x)万元,该企哄业可淘获总号利润为y万元.则令则∴当t=业4时,yma沿x=此时x=开16律,18壳-x侨=2去.∴当A,收B两种父产品客分别妖投入2万元倚、16万元兰时，血可使鹊该企鉴业获驻得最大常利润红约为8.皆5万元.考向2指数考函数隐模型【典例2】一片括森林召原来筐面积桂为a,计划么每年捏砍伐怨一些邪树，吹且每年砍缠伐面弃积的粪百分友比相宴等，遣当砍稍伐到薯面积爸的一说半时泪，所杏用时鹅间是10年，洞为保请护生趣态环水境，统森林掀面积丢至少拐要保嫌留原禾面积洞的已知姥到今督年为牢止，耕森林添剩余娃面积地为原惑来的(1感)求每咳年砍四伐面磨积的勒百分筛比.(2派)到今挽年为谷止，水该森示林已愧砍伐房诚了多意少年?(3决)今后岸最多细还能企砍伐瓦多少臂年?【思路故点拨】(1显)根据10年的旧砍伐仰面积真为原别来的菊一半闹，列战方程求解.(2领)根据搏到今乌年为态止，善森林傅剩余捎面积续为原予来的霸列方桐程求那解.(3劝)求出谊第n年后瞎森林倡剩余奥面积晴，根趴据森竿林面愁积至桂少要浙保留孙原面积的徐列孟不等呆式求口解.【规范鹊解答】(1乡丰)设每费年砍兔伐面汽积的盯百分梯比为x(等0＜x＜1)，则即(1卸-x桂)10=解得(2功)设经广过m年剩壁余面枯积为删原来栽的催则解得m=铃5.故到框今年赏为止岭，已输砍伐评了5年.(3飞)设从答今年似开始,以后无砍了n年,则n年后许剩余劳面积慕为令管即(1撑-x将)n≥解得n≤住15色.故今彼后最些多还孕能砍伙伐15年.【拓展急提升】应用桌指数剖函数拖模型喊应注财意的夕问题(1论)指数袋函数植模型化，常糠与增洽长率晓相结租合进烧行考术查，挺在实殊际问右题中贱有人姿口增伯长、犁银行霉利率翠、细冷胞分览裂等常增长新问题糟可以丛利用方指数笔函数丸模型河来表售示.(2痰)应用篇指数抖函数桐模型星时，弯关键闻是对狭模型斜的判般断，耀先设吧定模率型,再将嘴已知副有关与数据馆代入性验证汉，确吧定参开数，帜从而加确定阵函数螺模型.(3早)y吓=a捉(1雹+x率)n通常研利用吃指数袭运算习与对如数函墨数的亩性质渗求解.【提醒】解指闭数不蓬等式句时，磨一定炊要化悲为同杆底的臂，且露注意根对应油函数糖的单猴调性.【变式子训练】某医么药研相究所投开发析的一弄种新药，蹦如果寇成年涌人按食规定蚕的剂红量服蜂用，协据监测：咳服药适后每线毫升演血液货中的股含药似量y(微克)与时染间t(小时)之间槐近似秀满足吨如图应所示可的曲晴线.(1岂)写出惰第一释次服怠药后y与t之间算的函阅数关怒系式.(2赢)据进漠一步厕测定输：每刺毫升弊血液械中含赚药量复不少勤于0.傲25微克青时，弦治疗白有效.求服奔药一俭次后挡治疗淋有效破的时毒间是企多长?【解析】(1舱)设当t=皇1时，淋由y=切4,得k=恶4,由童得a=阔3.则(2学)由y≥锻0.豪25，得解得因此,服药稻一次踢后治盐疗有偏效的击时间敲是(小时).考向3分段亏函数支模型【典例3】提高朵过江熔大桥罗的车毕辆通泳行能体力可介改善径整个代城市蹲的交遥通状专况.在一止般情梯况下,大桥贸上的盖车流慈速度v(单位:千米/小时)是车糊流密责度x(单位:辆/千米)的函碍数.当桥昨上的胞车流蓝密度耍达到20将0辆/千米母时,造成花堵塞,此时贩车流汤速度需为0千米/小时;当车惭流密录度不射超过20辆/千米郊时,车流静速度漆为60千米/小时.研究赖表明:当20猾≤x葬≤2桃00时,车流壁速度v是车暴流密覆度x的一惊次函怎数.(1嚷)当0≤顷x≤它20画0时,求函陷数v(帅x)的表驴达式.(2董)当车撕流密鲜度x为多喷大时,车流少量(单位御时间券内通券过桥逼上某酬观测伶点的哀车辆椅数,单位:辆/小时)f(彻x)=x·肚v(沉x)可以妻达到胶最大抓，并甘求出向最大餐值(精确渴到1辆/小时).【思路牢点拨】(1艰)当20魔≤x滤≤2讲00时，缴运用心待定廉系数及法求v(浴x)的表哄达式愤，进竿而确汗定当0≤亲x≤眼20凳0时，阅分段补函数v(导x).(2软)根据(1益)求出f(面x)，再造根据齿函数狸的单毙调性兵与基流本不怨等式奴求最把值.【规范仓解答】(1普)由题主意:当0≤瞎x≤绑20时,v(锯x)=稼60青;当20陡≤x升≤2炉00时,设v(稻x)=ax滤+b.由已危知得解得故函法数v(秒x)的表巩达式罪为(2讽)依题顾意并笋由(1雁)可得当0≤里x≤高20时,f(忆x)为增移函数颈，故霜当x=椅20时,其最糟大值材为60弓×2盾0=滥1血20晋0;当20＜x≤钉20婚0时,f(终x)=≤当且精仅当x=凭20鸣0-街x，即x=孕10这0时,等号揪成立.所以寺当x=鞋10而0时,f(己x)在区非间(2亦0,租20伍0］上钥取得巧最大药值.综上,当x=责10桥0时,f(锣x)在区颗间［0,杜20巧0］上隆取得菊最大碌值f(帖x)ma顺x=即当良车流比密度司为10闸0辆/千米换时，妄车流叙量可溜以达绵到最桐大，浓最大丢值约为3止33滋3辆/小时.【拓展山提升】应用良分段评函数斗模型躺应注电意的核问题(1么)实际学问题达中有从些变舰量间蛋的关茎系不太能用苍同一虏个关庭系式呢给出铺，而险是由喊几个抄不同皆的关到系式少构成集，如烫出租淘车票尸价与屈路程朝之间渗的关愿系，匙应构弃建分活段函脱数模廊型求暮解.(2尿)构造恨分段振函数君时，危要力梢求准占确、杜简洁滚，做嫂到分春段合冠理不热重不拔漏.【变式满训练】据气登象中丈心观和察和蜘预测:发生族于M地的祖沙尘骆暴一症直向承正南趴方向剖移动,其移章动速度v(汇km匆/h)与时榨间t(璃h)的函贱数图还象如贸图所月示,过线讽段OC上一框点T(补t,腐0)作横局轴的煮垂线l,梯形OA芬BC在直责线l左侧蛛部分聋的面病积即笑为t(寒h)内沙报尘暴折所经鲁过的都路程s(尘km).(1携)当t=资4时,求s的值.(2答)将s随t变化香的规鹊律用留数学慎关系铅式表欣示出话来.(3信)若N城位蛾于M地正玻南方喝向,且距M地65炭0融km丸,试判厘断这塔场沙益尘暴是否城会侵恭袭到N城,如果忌会,在沙锈尘暴谁发生滥后多张长时至间它裂将侵耽袭到N城?如果召不会,请说冈明理规由.【解析】(1谱)由图等象可木知:当t=斩4时,v陷=3铃×4僵=1逃2,∴s觉=堡×格4×稿12仍=2昌4(破km肃).(2今)当0≤巷t≤狸10时,当10＜t≤章20时，s=奏×1穿0伴×3棵0+御30蠢(t轿-1停0)沙=3亭0t衰-1灿50故;当20＜t≤验35时，s=搏×1忍0×绕30谁+1童0×栋30值+(番t-南20项)×双30酬-姨×可(t键-20尺)×异2(拘t-杨20坚)=肝-t2+7均0t垮-5谋50友.综上易，可润知(3领)沙尘扰暴会冻侵袭孟到N城.∵t山∈［0,柴10］时,sma澡x=t∈搭(1柳0,董20］时物，sma浩x=3换0×茅20阵-1齐50柴=4肢50＜65愿0,∴当t∈剧(2评0,就35］时现，令-t2+7摧0t碧-5功50者=6区50午.解得t1=3艘0,池t2=4辟0.懒∵2删0＜t≤装35榴,∴贩t=某30剃.∴沙尘兆暴发轰生30抱h后将毅侵袭脊到N城.【满分愿指导】函数节建模鄙在实漆际问恭题中胆的应绘用【典例】(1机4分)(陷20筹12霞·江苏疼高考)如图声，建立萄平面蜻直角巴坐标大系xO浪y，x轴在坝地平障面上，y轴垂个直于忽地平障面，喊单位识长度相为1千米.某炮细位于贤坐标悦原点.已知丧炮弹庭发射鹊后的华轨迹榨在函克数y=kx-(1渡+k2)x2(k模>0唯)表示畜的曲膜线上洁，其轨中k与发律射方学向有市关.炮的射程竞是指眉炮弹休落地趁点的饺横坐戚标.(1放)求炮烘的最摇大射本程.(2路)设在局第一旋象限心有一楚飞行规物(忽略鞠其大芦小)，其待飞行介高度罢为3.上2千米痕，试般问它票的横右坐标a不超驶过多并少时谷，炮谷弹可狭以击夕中它皱？请辰说明赢理由.【思路皆点拨】【规范脊解答】(1使)令y=俩0，得kx-玻(1佛+k2)x2=0①,由实凝际意奖义和题设拼条件崇知x＞0,慎k＞0,墓……粥……签……缺……完……问……灭……衫2分故终当殊且仅啄当k=腐1时取厚等号.所以淘炮的赛最大口射程油为10千米.…朱……押……戴……渴……刊……寸…6分(2流)因为a＞0，所艇以,炮弹丝式可击扁中目拘标⇔存在k＞0,使3.租2=厚ka透-糟(1济+k2)a2成立.……煮……清……吩……炸……泪……筛……跟……货……担……世……亏……播10分即关于k的方赴程a2k2-2腹0a酿k+虽a2+6详4=聋0有正绕根②……带……惯……足……珍……蓬……数……健……突……龙……墙……磨……把12分∴判别罪式Δ=圆(-禽20票a)2-4驴a2(a2+6脏4)苹≥0③，解警得a≤奴6.所以朽当a不超端过6千米摩时,可击玩中目弊标.…飞……江……沫……班…1服4分【失分屡警示】(下文器①②傲③见饰规范筐解答烂过程)1.属(2东01测3·南通枕模拟)小孟舒进了皆一批细水果货，如蔬果他界以每踢千克1.探2元的界价格姓出售,那他兔就会洽赔4元；搏如果牧他以架每千讲克1.震5元的蠢价格出售,一共冠可赚8元.现在烛小孟欺想将访这批彼水果蚁尽快膏出手疏，以贪不赔不赚现的价先格卖豪出，耽那么缸每千假克水零果应哗定价拆为__状__挨__元.【解析】设水县果的婶成本言价为x元/千克,共有a千克洲，由第题意跨知解得x=衡1.腾3,则每补千克蜓水果拐应定归价1.干3元.答案猎：1.像32.叨(2突01焰3·镇江骨模拟)如图榨，直蛋角梯槽形OA者BC位于杯直线x=邻t(粪0≤蜡t≤鼻5)右侧悔的图微形面沾积为f(掀t),则函队数f(俊t)=率__边__创__讲__驼_.【解析】由题盘意可接知：较当0≤阻t≤顽2时，f(骨t)=隆2+均2×策3-危t2=8印-t2,当2<撕t≤评5时,f(网t)=弯2(控5-他t)他=1肺0-针2t券;所以答案个：3.蹲(2称01标3·扬州谨模拟)麋鹿剃是国痰家一浴级保灯护动军物，音位于师江苏丸省中超部黄刊海之党滨的伶江苏农大丰舅麋鹿斤国家院级自崖然保款护区块成立桨于19负86年，希第一乞年(即19彻86年)只有始麋鹿10窄0头，煤由于岸科学漫的人央工培遣育，赞这种谋当初闷快要建灭绝够的动规物只屋数y(只)与时递间x(年)的关央系可甩近似剑地由针关系腥式y=扇al更og2(x陕+1室)给出枣，则蓄到20鬼16年时纽奉，预押测麋涝鹿的合只数酷约为__跑__律__压_.【解析】由题雨意知(1，10络0)是函庸数图份象上独的一趣点，故有10坚0=业al呆og2(1跃+1王)=a,刘∴y=1肃00喝lo愿g2(x的+1遍).19滑86年到20目16年共款经过31个年蛮头，圈即x=盲31巷,到20规16年时鼓，预信测麋秃鹿的具只数蛇约为y=深10斗0l惹og2(3颗1+散1)冶=5地00材.答案压：50捷04.茂(2蚊01升3·苏州走模拟)某学太校开棉展研汉究性役学习押活动于，一边组同扬学获得了左下面鞋的一旗组试伍验数退据：现有魄如下5个模秀拟函时数：①y=胆0.惨58辫x-厌0.敲16愉;②仰y=本2x-3野.0衫2;贸③y谨=x2-5票.5针x+款8;千④y赛=l像og2x;⑤y播=请从苏中选爪择一按个模挎拟函和数，锹使它浆比较岩近似颤地反枣应这屈些数惯据的宗规律，翻应选__正__辰__叛_.【解析】直线般是单熊调递君增的仆，而坊且变缺量每黑增加妥一个扑单位召，函稳数值也横相应紧地每烘次增悼加相斜同的红单位纷，故衔①不栗