三次样条曲线

CAD/CAM技术基础闫崇京机电学院航空宇航制造工程系三次样条曲线主要内容1.插值问题和样条函数2.三次样条的理论基础1.插值问题和样条函数1.1插值问题1.2样条函数的工程背景1.3三次样条函数的数学定义1.1插值问题插值

给定一组有序的数据点(xi,yi,zi),i=0,1,…,n，要求构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（interpolation），所构造的曲线称为插值曲线。逼近

构造一条曲线使之在某种意义下最为接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近（approximation），所构造的曲线称为逼近曲线。拟合 插值和逼近统称为拟合（fitting）。线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线性函数：y=ax+b，近似代替，称为f(x)的线性插值函数。抛物线插值:已知在三个互异点的函数值为，要求构造一个函数

使抛物线在结点处与在处的值相等线性插值与抛物线插值1.1

插值问题已知n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一插值点处的插值节点可视为由产生,表达式复杂,或无封闭形式,或未知。求解插值问题的基本思路

构造一个(相对简单的)函数通过全部节点,即再用计算插值，即几种常用插值方法分段线性插值：收敛性良好只用两个节点，且线性，简单实用曲线不光滑三次样条插值:(*)曲线2阶光滑，收敛性有保证实际中应用广泛误差估计较难B样条插值：曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证实际中应用广泛理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐分段线性插值三次样条插值两种插值方式的图例1.2样条函数的工程背景飞机、船体、汽车外形的放样（设计）模线绘制的一般过程打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上描线：用“压子”使“样条”通过型值点放样现场模线的形状特征分段：两个“压子”之间可以认为是一段。数学本质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同光滑：不象每两点之间连线那样有明显的棱角。数学本质是整条曲线具有连续的导函数模线递的力仗学实挡质由于M(x)是线配性函辛数，烦所以y(x)是三碌次多肌项式开。欧拉喜公式平面揉曲线附的曲嫂率1.傻3章三次课样条差函数槐的数谣学定绒义定义给定唤［a,b］的分屈划：a=x0<x1<…<xn=b,如果汉函数s(x)在区蝴间［a,b］上满窃足以凯下条略件：劫（1）在乔每一互个子衰区间宁（xi,xi+漫1）(i=0蹄,1混,…,n-1年)上s(x)是三效次多讽项式榴；肃（2）s(x)在区天间［a,b］上具宣有二禁阶连蕉续导努数；（3）s(xi)=yi(i=0晕,1包,…,n),s'(x0)=y'0,s′(xn)=y'n。我们之就称s(x)为三靠次样讲条函晓数。xyxi-1

xiabyiyi-12.三次主样条作的理蛮论基蜻础2.漆1He白rm得it玻e基远函忌数2.眠2三切底矢方沿程2.蹄3三次引样条倚插值堵的局阀限性Ch从ar钢le须sHe居rm顶it什e（18纺22－19涂01）法国莫洛林捏（Lo伯rr叛ai介ne）巴黎章综合库工科笋技术妖学院曾任谋法兰宿西学尽院、政巴黎牌高等陕师范扇学校眯、巴蔬黎大娇学教择授。疲法兰个西科怠学院拿院士伤。在函晓数论雅、高委等代种数、而微分工方程日等方跳面都论有重星要发柄现。18其58年利毕用椭召圆函坚数首暴先得赛出五牢次方叉程的添解。18碧73年证井明了授自然搞对数惕的底e的超剩越性棍。在鞋现代苏数学晒各分除支中纷以他烤姓氏六命名克的概筑念（品表示踩某种鹅对称犯性）武很多衔，如毕“He涂rm帮it毯e二次受型”采、“He岂rm音te算子垒”等馒。2.四1He钻rm挥it灶e基粉函屑数问题居：自变辽量为u,区间[0,1]上两页端点且的，构造波三次超曲线缝满足兰条件我：y1y0y(智u)中系碎数ai的确辜定系数y(瓦u)中系吵数ai的确渣定y(悦u)中系盏数ai的确遣定He乡丰rm隙it榆e基函旅数的里性质埃尔拣米特汗基函贞数或三次识混合常函数少，其中称为例题求过奴0,季1两锋点构妇造一港个三忆次插较值多得项式染,满派足条敢件：f(原0)府=1冒,爪f尚'(沫0)览=1放/2读,孙f贱(1凳)=云2,杀f增'珠(1全)用=1饮/2解：2.珍2三氧切展矢察方帽程xyxi-1xiabyiyi-1问题热：设图降中的y(x)是三政次样疮条曲是线，概区间[xi-佳1,梢xi]两端撑的函助数值yi-启1,yi,和一稿阶导波数mi-漏1,mi已知干，如辽何将红该区阁间内著的曲献线用He衣rm普it具e基函件数表皱示？自变软量取x，取区盆间宽状度hi=xi-xi-攻1,则记矩阵弓表达绕式三切糊矢方附程三切格矢方齿程的生普通陡表达轿形式如何穷求解视：（n-袖1）个线纽奉性方籍程，内节庸点的m1、m2、…、由mn-宇1未知三切毅矢方光程的边界块条件①耕已知m0和mn②已知贡两端换点处矩的二坊阶导粉数。③棍未知精①、日②相邻寄三个肥节点钢拟合找抛物简线，圈并数察值微阿分求半端点简的一堵阶导惕数。三切语矢方徒程的求解两个脉边界母条件追赶霸法求骄解xyxi-1

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