2023年北京市各地九年级数学中考一模试题分类选编：一元二次方程(含解析)

参考答案：1．B【分析】由，配方可得，进而可得的值，然后代入，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出的值．2．A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．3．C【分析】利用根的判别式和一元二次方程的定义计算判断即可．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴．，解得且，故选C．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．4．B【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可．【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．．5．A【分析】根据有两个不相等的实数根即可得到，即可得到答案．【详解】解：∵x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，满足题意，故选：A【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．6．D【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0．7．B【分析】根据“关于x的方程有实数根”可得此方程的根的判别式，据此求解可得．【详解】由题意得：此方程的根的判别式解得故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式是解题关键．8．A【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可得．【详解】由题意得：此方程的根的判别式解得观察四个选项可知，只有A选项符合题意故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．9．【分析】关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，根据判别式，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式．解题的关键在于理解题意．10．14【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式求出a与c的关系，再写出一组符合题意的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴符合题意的一组值可以为，故答案为：1，4（答案不唯一，满足且即可）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．11．【分析】根据一元二次方程的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．【详解】根据题意得，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．解决本题的关键是根据解得情况列出不等式．12．【分析】两边同时平方，然后解方程即可．【详解】解：两边平方得：，解方程得：，，检验：当时，方程的左边右边，为原方程的根当时，原方程无意义，故舍去．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件及一元二次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键．13．【分析】根据根的判别式，即可得出，求解可得出的取值范围．【详解】解：∵关于的方程有有两个不相等的实数根，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次函数根的判别的应用，根据根的情况列出判别式，求解不等式即可．14．9【分析】直接利用根的判别式进行判断即可．【详解】解：由题可知：“△=0”，即；∴；故答案为：9．【点睛】本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记：△>0时，该方程有两个不相等的实数根；△=0时，该方程有两个相等的实数根；△<0时，该方程无实数根．15．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根，可知△>0，据此进行计算即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根，∴△>0，∴[2(k−1)]2−4(k2−1)>0，∴k2−2k+1−k2+1>0，整理得，−2k+2>0，解得k<1.故实数k的取值范围为k<1.【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式的计算及使用方法.16．，3【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．【详解】解：，∵a是方程的一个根，∴，即．

∴原式．【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．17．(1)见解析(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论；（2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解．【详解】（1）证明：无论m取何值，，∴方程总有两个实数根．（2）解：由原方程得：，解得，，∵方程有一个根为正数，，，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键．18．(1)见解析(2)【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为，即可证明结论；（2）根据题意得到是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．【详解】（1）证明：由得，，∵，∴方程总有两个实数根；（2）∵，∴，∴，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴m的最小值为．【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．19．(1)证明见详解；(2)2或．【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可；（2）不妨设方程的两实数根为且，则，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，进而变形即可求解．【详解】（1）解：关于的一元二次方程的根的判别式，不论取任何实数，都有即成立；当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根；故该方程总有两个实数根；（2）解：不妨设方程的两实数根为且，则，，又，，或，故的值为2或．【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式以及直接开平方求解一元二次方程等知识，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系的应用是解答此题的关键．20．(1)见解析(2)【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．【详解】（1）解：∴方程总有两个实数根；（2）解：原方程可化为：或解得：，由题意可得：解得：【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．21．(1)(2)k=2，方程的两个根为，【分析】(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可求得；(2)首先根据(1)可知，k的值只能是1或2，分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可解答．【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根解得故k的取值范围为（2）解：且k为正整数k的值只能是1或2当k=1时，方程为解得方程的两个根均为整数k=1不合题意，舍去当k=2时，方程为解得，

方程的两个根均为整数，符合题意故k=2，方程的两个根为，【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．22．（1）见解析；（2）【分析】（1）直接利用根的判别式，判断△≥0即可；（2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即可．【详解】（1）证明：，∵无论m取何值时，，∴此方程总有两个实数根．（2）解：，．．∵此方程有一个根小于1，且．．．【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根．23．不存在，理由见解析【分析】根据方程有实数根结合根的判