1.2-有理数讲义-学生版

第1章有理数1.2有理数学习要求1、掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小．2、掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义．知识点一：有理数的概念例1．下列说法正确的是（）A．有理数是指整数、分数、零、正有理数、负有理数这五类B．一个有理数不是正数就是负数C．一个有理数不是整数就是分数D．以上说法都正确变式1．下列说法正确的是（）A．非负数包括零和整数 B．正整数包括自然数和零C．零是最小的整数 D．整数和分数统称为有理数变式2．下列说法不正确的是（）A．0既不是正数，也不是负数B．0的绝对值是0C．一个有理数不是整数就是分数D．1是绝对值最小的正数知识点二：有理数的分类例2．下列八个有理数：﹣2、35、﹣0.2、、0、﹣、3.14、2；其中分数共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个变式1．在﹣2，π，15，0，﹣，0.555…六个数中，整数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4变式2．把下列各数分别填在相应的集合内：﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9分数集：．负数集：．有理数集：．变式3．下列各数：2，﹣5，0，﹣0.06，+，20%，0.1，其中分数有个．变式4．把下列各数填在相应的大括号内5，﹣2，1.4，﹣，0，﹣3.14．正数：{…}；非负整数：{…}；整数：{…}；负分数：{…}．变式5．将下列各数分别填入相应的大括号里：5，﹣，2013，﹣0.2，6.8，0，﹣，﹣10，，﹣2．正数集合{}整数集{}负数集合{}分数集{}．变式6．把下列各数填在相应的大括号内．15；﹣；0.81；﹣3；﹣3.1；17；0；3.14正数集合{}；负数集合{}；整数集合{}；分数集合{}．有理数集合{}．知识点三：数轴例3．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）A． B． C． D．变式1．已知蜗牛从A点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“+”，向负半轴运动记作“﹣”，从开始到结束爬行的各段路程（单位：cm）依次为：+7，﹣5，﹣10，﹣8，+9，﹣6，+12，+4（1）若A点在数轴上表示的数为﹣3，则蜗牛停在数轴上何处，请通过计算加以说明；（2）若蜗牛的爬行速度为每秒，请问蜗牛一共爬行了多少秒？知识点四：相反数例4．﹣5的相反数是（）A．5 B．﹣5 C． D．变式1．已知m，n互为相反数，则3+m+n=．变式2．的相反数是．变式3．3﹣π的相反数是．知识点五：绝对值例5．若|a|=2，则a的值是（）A．﹣2 B．2 C． D．±2变式1．下列说法正确的是（）A．有理数的绝对值一定是正数B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等C．如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是它的相反数D．绝对值越大，这个数就越大变式2．已知a的相反数是5，|b|=4，求|a+b|﹣|a﹣b|的值．变式3．已知|x|=3，|y|=7．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若xy＜0，求x﹣y的值．知识点六：有理数的大小比较例6．把如图的直线补充成一条数轴，并表示下列各数：0，﹣（+4），3，﹣（﹣2），|﹣3|，+（﹣5），并用“＜”号连接．变式1．（1）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来：﹣3.5，0，﹣2，2，1.6，﹣．（2）小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B）、书店（记为C）依次坐落再一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边50米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了70米达到D处．如果把这条大街看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请用数轴表示上述A，B，C，D的位置．变式2．在数轴上表示下列有理数：﹣2.5，﹣（+1），﹣（﹣2），﹣|﹣3|，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接起来．变式3．把32，（﹣2）3，0，|﹣|，﹣（2﹣5），+（﹣1）表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序排列．变式4．比较下列各组数的大小．（1）与；（2），，，0．拓展点一：有理数的数集问题例7．如图，两个圈分别表示负数集和整数集，请你从﹣3，9，0，﹣10%，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填在这两个圈的重叠部分．变式1．将下列各数填在相应的圆圈里：+6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%，，﹣2006，﹣1.8；﹣变式2．把下列各数填入大括号：﹣2.4，3，2.004，﹣，1，﹣，0，π，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣4|，﹣2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0）正有理数集合：（…）；整数集合：（…）；负分数集合：（…）；无理数集合：（…）．拓展点二：符号化简问题例8．化简：（1）﹣{+[﹣（+3）]}；（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．变式1．化简：（1）+（﹣0.5）（2）﹣（+10.1）（3）+（+7）（4）﹣（﹣20）（5）+[﹣（﹣10）]（6）﹣[﹣（﹣）]．拓展点三：利用数轴解决问题例9．在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“＜”号连接起来：﹣，﹣2，，﹣|﹣5|，﹣（﹣5）变式1．如下图在数轴上有三个点A，B，C，请回答：（1）将点B向左移动3个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？（2）将点A向右移动4个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？（3）将C点向左移动6个单位后，这时B点所表示的数比C点表示的数大多少？变式2．数轴上的点A、B、C、D、O分别表示、﹣5、2、、0．（1）在如图所示的数轴上画出点A、B、C、D、O；（2）比较这五点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；（3）有同学说：“B、D两点间的距离恰好是A、C两点间的距离的3倍”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．变式3．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B村，然后向西骑行9km到C村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有多远？（3）若摩托车每1km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？变式4．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题：（1）将A点向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是．（2）怎样移动A、B、C的其中一个点，才能使点C恰好是线段AB的中点？请写出三种移动的方法．方法一：，方法二：，方法三：．拓展点四：互为相反数的性质例10．已知2x与﹣6互为相反数，求x的值．变式1．如果a，b表示有理数，a的相反数是2a+1，b的相反数是3a+1，求2a﹣b的值．变式2．已知|x﹣3|=0，|2y|=4，求x﹣y的值．拓展点五：利用绝对值得性质解决问题例11．已知|a|=7，|b|=3，求a+b的值．变式1．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点．求|a+b|++|a+1|的值．变式2．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若|x﹣3|=|x+1|，则x=；（2）式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为；（3）请说出|x﹣3|+|x+1|=7所表示的几何意义，并求出x的值．变式3．已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下：序号12345直径长度（mm）+0.1﹣0.150