与三角形有关的角 省赛获奖

11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角三角形内角和定理的证明

012345012345678910012345678910012345678012345012345

在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。

同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢?言必有“据”:

三角形的内角和等于1800.如果不实际移动角,那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗?言必有“据”:你的拼法有哪些呢？说说你这样做理由。证法1：延长BC到CD，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，

∵∠1=∠A∴CE∥BA(内错角相等，两直线平行)∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA

三角形的内角和等于1800.注意:辅助线应该用虚线表示证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，

∵

CE∥BA∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA

三角形的内角和等于1800.证法3：过A作EF∥BA，

∵EF∥BA∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)

∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)

又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA

三角形的内角和等于1800.开启智慧你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM（ABCEDF（（1234（图5）AE）12BCD图6…………三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.三角形内角和定理的几种变形:∠A=1800

–(∠B+∠C).∠B=1800

–(∠A+∠C).∠C=1800

–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.

ABC我是最棒的直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请说明你的结论.

随堂练习结论:

直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用.ACBABC

三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形。（）2一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（

）3一个等腰三角形一定是锐角三角形。（）4一个三角形最少有一个角不大于。（）动脑筋：×√√√DCBAE已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.

求∠ADE的度数。模型应用解：∵DE∥BC且∠C=70°

∴∠AED=∠C=70°(两直线平行,同位角相等)∵在△

ADE中∠A=60°∠A+∠ADE+∠AED=180°(三角形内角和定理)∴∠ADE=180°－60°－70°＝50°11.2.2三角形的外角温故引新

1、请你从顶点C处画出下列各三角形的外角。ABC∟ABCABC2PABCD12、观察下图，比一比，看谁说的好图(1)（1）∠1是哪个三角形的外角？（2）∠2是哪个三角形的外角？∠1是△ABD的外角∠2是△PDC的外角

拼一拼，比谁拼的快，拼的好3、同学们！在小学我们已经知道了三角形的内角和等于180°.你还能想起是怎样得到的吗？尽力想一想，你能想出多少种拼法?ABC问题：三角形的外角与内角有什么关系？发现：∠ACD+∠ACB＝180°∠ACD＝∠A+∠B（相邻）（不相邻）提出问题首先，从相等关系出发，观察我们最熟悉的这个三角板1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；ABCDABCD∟ABCDABCD怎样用数学说理的方法来推导这个结论呢？探索1180°－∠ABC∵∠A+∠C+∠ABC=180°(三角形的内角和为180°)∴∠A+∠C=_______________∵∠ABC+∠CBD=180°（邻补角）∴∠CBD=______________180°－∠ABC∴∠CBD＝∠A+∠CDCAB三角形外角与内角有怎样的不等关系呢？2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。说出下列各图中∠1的度数。初试身手130°60°（1）35°1120°（2）145°50°（3）如图：D是ABC的BC边上一点，B＝BAD，ADC＝80°，BAC＝70°．求：（１）B的度数；（２）C的度数．试一试

AD平分∠BAC你能用“＜”表示∠1、∠A的关系么？试试看。你还能用“＜”表示∠1、∠2、∠A的关系么？再试试看。2PABCD1再试身手探索2如图，∵∠1+_______=180°∠2+_______=180°∠3+_______=180°∴∠1+∠2+∠3+______+______+______=______°又∵∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°∴∠1+∠2+∠3=______°∠ABC∠BAC∠ACB∠ABC∠BAC∠ACB360540归纳结论：

三角形的外角和等于360°归纳结论：

三角形的外角和等于360°说出下列各图中∠1的度数。大展身手ABCD30°35°40°12(4)ABCD下图是某工厂生产的一种零件，如果三个锐角的和为135°，则说明该零件合格，工人师傅却只测量∠ADC的度数就能判断零件是否合格，你能解释其中的道理么?生活中离不开数学

E课堂小结这节课你有哪些收获？１、三角形的外角性质．２、三角形的外角和．３、应用．1、如图所示，AB//CD，∠A＝37°,∠F＝26°，那么∠C等于（）FABECDA、26°B、63°C、37°D、60°课堂检测2、如图所示，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F等于（）FABECDA、26°B、63°C