第九章习题欧几里德空间

第九章空习R4中，指定标准内积．＝（1，．求2解：2设欧氏空间VV14(,)14

2

21422222214证 12R2中，对于任意的向量x12

),(y1,

证明()R2的内积

(,)x1y1x1y2x2y14x2 1y1 证明

(,)(x1,x2

4

y2

A

A4(x1,

),(y1,

R2（1）(,)(,)（2）k,lR,

(z1,

)R2．(kl,)k(,)l(,

x1（3）A正定，故存在可逆矩阵C

A

C．从而(,)(x1x2A

0．而2x

T

x

x

x(,)0(x,

)CT

1

1

10，即

10，故

10，从而0xxxx xxxx2

2

x2

2

2设C是一个nRnX,Y(X,Y)XTCTX,YRn证明A是一个nRnX,Y(X,Y)XT１）X,YRn ２）Rn的基(1,0,,0)T,,(0,,0,1)T的度量矩阵． 1）A

．由(i

ijj)Tijj

(i,j1,2,n，故1,

,,

G(,

)(, a

j

ijA

，X(x1,

,,

12)T，Y(y,12

,,

)TRnnn(X,Y)＝XTAY＝ai,

xiyj，

(XTAX)

(aiji,j1

nxixn

)2，Y1(YTAY)

n(ayy)nijii,j故Rn中关于如此定义的内积的—不等式 aIJxiy

(aijxixj)2(aijyiyj)i,j

i,j

i,jX,Y x2R上的线性变换，使XxRX)xXR2

(X,(X))

2

1 x2证明Xx

，由X)

2 1(X,(X))x1x2x2x171,2,,mn维欧氏空间V的一个向量组．证明：1,2,,m的度量矩阵G(1,2,,m)可逆当且仅当1,2,,m线性无关证明设k11k22kmm0．等式两边分别与1,2,,mk1(i,1)k2(i,2)km(i,m)0

i1,2,,即k1 G(

k2 m) km从而1,2,,m线性无关线性方程组（1）r(G(1,2,,m))m1,2,,m的度量矩阵G(1,2,,m)可逆设欧氏空间VV为d(,)1）当d()02）d(,)d(,)3）,,V，d(,)d(,)d(,) 若V为n维欧氏空间，1,2,,n是V的一个基，aiibiiV d(,)2(ab,ab,,ab)G(,,,)(ab,ab,,ab

1）2）3）,,V，d(,)

()(

d(,)d(,n4）d(,)2(,)n

b),(ab)nin

(ab,ab,,

b)G(

)(ab,ab,,ab

设abc是正数且abc1.试证1119 证明R3R3abcR3a(a

,1

1)，(a,b,cbc则()292111bc

2abc1．故由—不等式111 习设1,2,33氏空间V的一个标准正交基．证明1

2

31

23是V

1

2

23证明

(1,

,

)1(

,3) 1

222故

G(1,2

,

)19

2

G(1,

,

)

2 2 1 2 1T 19

2

23 21 23从而123是V的标准正交基

R4的

412解112

1212

)，2

66

63

6)， (3

33

3)3

4即为R4的标准正交基3维欧氏空间V的基1,2,3的度量矩阵1 1 1A 1求V

41解11 1

2,3

即为V设1,2,,n是n维欧氏空间V1,2,,n是V aiibiiV，均有(aibi

证明必要性.由于G(1,2,,n)En.故对aiibiiV (,)(a1,a2,,an)G(1,2(a,a,,a)(b,b,,

)Ta

inn充分性.由i010i1iG(1,

,,

nij故1,2,,n是Vij设1,2,3,44V的标准正交基．将V121223，22124，323，4123化成V解1

5 5，

7525

5， 53 3

15

3 则1,2,3,4为V的标准正交基设1,2,,m是n维欧氏空间V的一个标准正交向量组．证明：对Vmm

(,)2imim(,i)i证明由于mn,将1,2,,m扩充为V的标准正交基1,2,,m,m1,,n.对Vnnkjjj2j

kj

nn,j

k

)(k,k,,k)G(,,,)(k,k,,k jk2k2(,)2jj

mm(,i

1,2,,mV的一个标准正交向量组,上述不等式变为mm

(,)2

,即等号成立.反之,若不等式等号成立,则由上述不等式证明过程可知i ikm1kn0kjjkjj,有(,i)(kjj,i)ki,i1,2,j

j

mm(,i)i设ARnn．证明：A是正交矩阵当且仅当A的列向量构成Rn的一个标准正交基证明必要性.A的列向量分别为1,2,,nATAEnT1ATA

T

(, 2 2

Tn 即G(,,,)EA A的列向量1,2,,n满足G(1,2,,n)EnT1ATA

T

G(

)2 2

TA

n习设n(n1维欧氏空间V中的非零向量．证明：１）WxxV,(x,0是V的子空间．２）dimWn证 1)易证令UL(.由0,故dimU1.下证WUxW(x,0kU(x)k(x,0xUWU反之UkU(kk(,0的任意性可知(,0从而W,故UW,从而WUdimWdimUndimUn1设V是n维欧氏空间，W，W1,W2均为V1）(W)W 若WW，则WW 3）(WW)WW 4）(WW)WW 证

WW()0的任意性可得WWW.设dimWm故(WW2)WW(,)0WWW

(,)0,即W.故WW WWWWW,WW且W可得 (,)0(,)0(,)(,)(,)(,)1故1

W),从而WW

W)2121221212

(WW),则WW,有(0.从而WWW

(,)0 12121W.同理可得W,故WW.从而12121

W)WW2123212

121212(WW)(W)(W)W121212故WW[(WW)](WW 设关于标准内积构成的欧氏空间R4的子空W(a,b,c,d)a,b,c,d

2abc求W解 dW,由2abc0,故c2ab,

2a

11,0,2,0),20,1,1,0),30,0,0,1W中的线性无关向量,故1,2,3 dimW3,故dimW1.从而

wW,则由(,),),)0x2zyzw

x，故ywz

1,

0．从而WL(

1,

ARmn．证明线性方程组AXb有解的充要条件是mb与齐次线性方程组ATY0 证明XAXb的任一解．则bAXATY0的NAT，则YNATATY0 0(b,Y)bTYXTATY0即bNATYNAT，由条件得bTY0ATY0AT ATY Y bT bTY AT从而齐次线性方程组ATY0与 Y0同解，bT AT r(A,b)r(AT)r(bT AXb设W1,W2是n维欧氏空间V的两个子空间，且dimW1dim(W2．证明：存在0W2证明W1的一组标准正交基1,2,,m,将其扩充为V的标准正交基1,2,,mm1,,n.令UL(m1,,n),则UW1且dimUnm.设dimW2rrm

W2)dimUdimW2dim(UW2)(nm)rn可得存在0UW2,从而0W2,又U且UW1,故W1习R2关于内

记这个欧氏空间为WR2到W 解R2中取标准正交基1,0),0,1.由,W,故可将, 121,0), aaW,令()aa12

.则R2到W 1 2 1 2证R2到W设W为所有n阶实称矩阵关于内(A,B)1tr(ABT)，A,B2构成的欧氏空间．R3到W a2(a1,

,a3

a302 023证明：R3到W的一个同构映射，并求W证明显然R3到W的一个双射aaa),bbbR3klR，则 (kl)k()l(又

a2

b2

b 2

3

3

0 0

1b1

2

a1b1 而()ababab

a1b1a2b2((),())(R3到W1 2 3 由1,0,0),0,1,0),0,0,1R3

000(1)1 000

0，(2)

0，(3)

00 00即为W

1

1 设是欧氏空间V到W的线性映射．证明：是V到W的同构映射的充要条件是将V正交基1,2,,n变成W的标准正交基(1),(2),,(n证明必要性．由是V到W的同构映射，故dimVdimWn．又1,2,,n是V的一个标准正交基，故(iWi1,2,n．且

),

j))(i

)1,i 0,i

，i,j1,2,,j故(1),(2),,(n是W 充分性．由是欧氏空间V到W的线性映射，故aiiV，则()ai(i)n n(1),(2),,(n)W的标准正交基，从而VW的满射．又biiV，令 ()(，则ai(i)bi(i，即(aibi)(i)0aibi,i1,2,n．从而

是V到W的单射．故是V到W((),())(a,a,,a)G((),(),,())(b,b,,b (a,a,,a)(b,b,,b (a,

,,

)G(

)(b,b,,b

故是V到W

习在关于标准内积构成的欧氏空间R3中，定义线性变证明：R3

(a1,a2,a3

2 2 6(a1,a2,a3 61212 证 令A112112

R3的标准正交基

11

1(1)1

,1

)，(2)

)，(3)

1,1,123636236故在1,2,3下的矩阵23636236B

11 1BTB

EB为正交矩阵，从而R33设是n维欧氏空间V的单位向量．定义V3证明是V证明V(,)4(,)2(,)4(,)2(,()，故是V由是V的单位向量，故将扩充为V的一个标准正交基,2,3,,n()，(i)i2(,i)i，i2,3,,则在,2,3,,nAdiag(1,1,,1A1，故是V3．设是n维欧氏空间V上的变换，若V(()是V证 由的定义，V，令0，则()0，

且(0)0()()()故是V设是n维欧氏空间V1）保持向量的正交性不变，即V且，则()( 存在一个正数k，使V()k证 1)2)设1,2,,n是V的标准正交基．则ij,i

jij1,2,n1）得(i(j，即((i),(j0i

nnjij1,2,n．从而aiiV，2(,)而

ai

nn,

ai

nnai)ai()2((),())

ai(

nn),

ai(

nn))

a2()

ii又(ijij，iji,j1,2,n(ij(ij((ij),(ij))0iiiji,j1,2,n．

((),())()2() (2(2()()iji,j1,2,nk(i1,2,n． ik0且（１）

i()2k2i

a2k2()k2)

()k，即((),())k2,，故V((),())k2(,)，((),())k2(,((),())k2(,故((),())2((),())((),())k2(,)2k2(,)k2(,((),())k2(,若，即()0，故((),())k2)0，从而()(设是n维欧氏空间Vl为Vl当n为偶数时，l证 1）设在V的标准正交基1,2,,n下的矩阵为A．则A为正交矩阵且A1．又在V的标准正交基1,2,,nAEnnAn

A0，即l

A

A(AE

A由１）可得l在V的标准正交基1,2,,nAEnA

A

A(E

EA(1)n1An 由nAn

A

A

0，故l1证 设A为n阶正交矩阵，为A的实特征值，为A的属于的特征向量．则0，0A，故T

T

TATT

ATAAT，即AT，两边取共轭得AT，故TATTTAT1T比较(1),(2)得T1T．由T0，故1，即21，故1或1． 习A，求正交矩阵U，使UTAU 4 1）A 24 44 2）A1 1 1

122 0 A

0

2

4 35

U 2

355 533 533 UTAU UTAU

0

2 B3）BB

，则A

．令U

5UT

diag

6

20

T

55 55 U

，则U即为所求，且U1

AU 6, 设是n维欧氏空间V2V的一个标准正交基,,,，使在1,2,,n r为

r r 设1,2,,n为V的标准正交基，在1,2,,n下的矩阵为A．则由条件得A为实对称矩阵且满足A2A．若设为A的特征值，则由A2A得2，故0或１．从而存在正交阵U

r rUTAU rrA即为

(1,2,,n)(1,2,,n则1,2,,n为V1 2 n 1 2 n 1 2 2 n(,,,)(,,,)U(,,,)1 2 n 1 2 n 1 2 2 n11 nr 从而在1,2,,n下的矩阵为nr r 证 设A为n阶实对称矩阵，1,2,,n是A的全部特征值．则iR,i1,2,,n且存在正矩阵U

12UTAUdiag(,12

,,n12A正定的充要条件是UTAUdiag(12

,,

正定，故

0,i1,2,,nASAS2证 设1,2,,n是A的全部特征值．由A是正定矩阵，故i0,i1,2,,n．且存在正交阵U

12AUTdiag(,12

,,

令SUT

)USAS2A是正定矩阵．证明：对任意的自然数kAkAA证 设1,2,,n是A的全部特征值．由A是正定矩阵，故i0,i1,2,,n．且存在正交阵U

12AUTdiag(,12

,,n故对任意的自然数kAkUTdiag(k,k,,ki而i

0i1,2,nAk

nnAi0A

AA1UTdiag AA1AA

AnAA 0,i1,2,,n，故A是正定矩阵AA为n阶可逆实对称矩阵，12,nA的全部特征值．证明：存在秩为１的n阶实对称P1P2,PnA1P12P2nPn证 由条件知i0,i1,2,,n且存在正交矩阵U，12AUTdiag(,12

,,nUdiagTi

iUTdiag(0,,0,1,0,,0)UP(i1,2,n为秩为１的niA1P12P2nAB均为nABABn证 由条件知存在可逆矩阵C，使CTACE．又CTBC为n阶正定矩阵，则存在正交矩阵Un使12UTCTBCUdiag(,12

,,n其中1,

,,

是CTBC

0,i1,2,,iPCUPinnPTAPUTEUnn

，PTBPdiag(,

,,n12故12nP2ABPTAPPTndiag(11,12,,1n)(1i112nEndiag(1,2,,nPTAP

PT

P2(ABP20，故ABAB补充题证明：欧氏空间V中的向量正交的充要条件是对tRt证 必要性．由(,)0．故tR，t2(t,t(,)2t(,)t2(,)2(t)2ttt2(,)2t(,)由tt22t(的判别式4()20，故()0，即向量设是欧氏空间V上的一个非零向量，1,2,,mV且满足１）(i,)0,i1,2,m；２）(i,j0i,j1,2,mij，证明：1,2,,m线性无关．mm证 设kii0，且不妨设ki0(1ir)，kj0(r1

jm，其中0rm kiikj jr (,)(kii,kjj)kikj(i,j)

jr

i1jr 而()0kiikjj0 jr (kii,)ki(i,)0，(kjj,)kj(j,)

jr

jrki(i,)0,i1,2,rkj(j,)0,jr1,mki(i,)0,i1,2,,r，kj(j,)0,jr1,,从而由条件１）ki0,i1,2,rkj0,jr1,m，即1,2,,m设,n(n3维欧氏空间V中的线性无关向量．证明：１）WxxV,(x,xx,0是V的子空间．２）dimWn3．证

0W，从而W是欧氏空间Vx,yWklR(kxly,)k(x,)l(y,)同理(kxly)0(kxly,)0．故kxlyW．从而W是V２）令VL(,)，由,线性无关，故,是V的基且dimV3．下证WV xW，则(x,xx,0．故k1k2k3V1，(x,)k1(x,)k2(x,)k3(x,)故V，从而WV．反之V，则对,V，有(,,0， W，从而VW．故WV．从而

n 41,2,,n1n维欧氏空间V中的线性无关向量组，V中的向量12均与i(i1,2,n112证

WL(1,2

．则1,2,,

W的基且dimWn1．令V1L(1,2)

k11k22

lii

12i(i1,2,n1 (,)k1li(1,i)k2li(2,i) 1故W，即1

dimWndimW1

11212不全为零，则由dimV11，故dimV1112112m设1,2,,m是n维欧氏空间VmG(1,2,,m)(i,i且（１）等号成立的充要条件是1,2,,m是V 对m施行数学归纳法．当m1时，结论显然成立．m1

(1,1

(1,m1

(1,mG(1,2,,m)(m,m)Dm1

,1

m1

(m1,m(m,1 (m,m1 Dm1G(1,2,,m1) (i,i

(1,1

(1,m1 f(x1,x2,,xm1)

,1

m1

X (1,1

(1,m1)

1x1

其中A

，X

．由条件知1,2,,m1A

,1

)m1)

xm1xP

A1XP PAP

XTA1X故f(x1,

,,

Am1)X

XA(XTA1X)12AA1XTA1X0f(x12

,,

0(1,1

(1,m1

(1,m

f((

),,

,))

,1

m1

(m1,m

(m,1 (m,m1 G(1,2,,m)(m,m)Dm1(m,m)(i,i)(i,i 设（１）等号成立．当m1时，1为正交向量组．归纳假设（１）等号成立时1,2,,m1交向量组．此时（２）

(1,1

(1,m

mm)

(i,i)

m1

m1

(m1,mm(m,1 (m,m1 mG(1,2,,m)(i,i(1,1 (m,1

(m,m1)

(1,m 0(m1,m)0即m1(,XTA1X 0

(i,i故(i,m)0,i1,2,m1．从而此时1,2,,m是V中的正交向量组．反之，若1,2,,m是V中的正交向量组，则G(1,2,,m)

mm(1,100(1,1000 00(m,m即（１）AB均为nABAB证 由

A1,

B1AB

nA(EATB)n

nnAEATnnnB(EATnAB0AB

B(EBTA)A设V是n维欧氏空间．证明：对于任意一个nA，存在V的一个基1,2,,nAG(1,2,,n证明A

任意一个n阶正定矩阵，则存在n阶实可逆矩阵CACTC．又设1,2,,n为V(1,2,,n)(1,2,,n则1,2,,n是V的一组基，且由G(1,2,,n)En1 1 2 nG(,,,)CTG(,,,)C1 1 2 n设1,2,,m1,2,,m是欧氏空间V中的两个向量组且满(i,j)(i,j),i,j1,2,,证明：由1,2,,m1,2,,m生成的V的两个子空间同构证 设V1L(1,2,,m)，V2L(1,2,,m)的基，即为1,2,,m的一个极大无关组．

dimV1r且不妨设1,2,,r为G(,,,

)(,

(, G(

)

12,r线性无关．又对k(rkmG(,,,,

)(,

(, G(

,,

)

j(r1)(r

j(r1)(r

12,rk12,r12,m的一个极大无关组．故dimV2r．从而V1,V2同构．设1,2,,m12,m是n维欧氏空间V中的两个向量组．证明：存在V(i)i,i1,2,,的充要条件是(i,jiji,j1,2,m证 必要性．由是V上的正交变换，故((i),(j))(i,j),i,j1,2,,m．从(i,j)((i),(j))(i,j),i,j1,2,,充分性．设1,2,,mr，不妨设1,2,,r为1,2,,mG(,,,

)(,

(, G(

)

12,r线性无关．又对k(rkmG(,,,,

)(,

(, G(

,,

)

j(r1)(r

j(r1)(r

12,rk线性相关从而12,r1,2,,m的一个极大无关组1,2,,mri(i1,2,mik11k22krril11l22lrr则将ii分别与1,2,,r12,rk1

(i,1)

(i,1)

l1 G(

k2(i,2)(i,2)G(,

,,

l2 r)

r) (,

(, r

r r

rk1 l1 由G(,

)G(,,,

可逆，故k2l2

kr

lr将1,2,,r标准正交化为1,2,,r存在可逆矩阵T(1,2,,r)(1,2,,r)T而(1,2,,r)(12,r)T也是标准正交向量组，将它们分别扩充为V的标准正交基r1,,n和1,2,,r,r1,,n．(i)i，i1,2,,则是V (,,,)(,,,)T1(,,, 从而对i(i1,2,m(i)k1(1)k2(2)kr(r)k11k22krr

是n维欧氏空间V上的两个线性变换，1,2,,n是V的一个基，A,B分别为在1,2,,n下的矩阵．若V()()PATPABT证 由((1),(2),,(n))(1,2,,n)A，((1),(2),,(n))(1,2,,n故 G((),(),,())ATG(, G((),(),,())BTG( 由对V()()及((i),(j))((i),(j)),i,j1,2,,故G((1),(2),,(n))G((1),(2),,(n ATG(,,,)ABTG( PG(,,,)，故P为正定矩阵，且有ATPABT 设RnRn中定义变换()k(,证明：Rn求k，使Rn

Rn,k证 2）由Rn上的正交变换的充要条件是V()，即((),(,(k(,),k(,))(,k(k2)(,)20．由的任意性，取，则由(,)21，故k(k2)0kk2A为nS和正交矩阵UAUS证明A为nATA0XRnAX0A可逆，故X0，此为，故0AXRn．从而XTATAX(AX)T(AX)0，即ATA为正定矩阵．故存SATAS2A(AT)1令UAT)1SU

((AT)1S)T(AT)1SST(ATA)1SS(S2)1Sn故UAUSnA为n阶实可逆矩阵．证明：存在正交矩阵U1,U2AUTdiag(,)U1，其中

0,i1,2,,n 2证 由A为n阶实可逆矩阵，故ATA为正定矩阵．故存在正交矩阵U，2ATAUdiag(,,,)U U

,,

)diag(1,

,,

0,i

,i1,2,n．令U

(AT

2diag(1,

,,

1A(AT1

2diag(1,

,,

)diag(1,

,