自动控制原理课后习题答案(王建辉、顾树生编)清华大学出版社

2-1什么是系统的数学模型?在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些？

用来描述系统因果关系的数学表达式，称为系统的数学模型。

常见的数学模型形式有：微分方程、传递函数、状态方程、传递矩阵、结构框图和信号流图。

2-2简要说明用解析法编写自动控制系统动态微分方程的步骤。

2-3什么是小偏差线性化？这种方法能够解决哪类问题？

在非线性曲线(方程)中的某一个工作点附近，取工作点的一阶导数，作为直线的斜率，来

线性化非线性曲线的方法。

2-4什么是传递函数？定义传递函数的前提条件是什么？为什么要附加这个条件？传递函

数有哪些特点？

传递函数：在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

定义传递函数的前提条件：当初始条件为零。

为什么要附加这个条件：在零初始条件下，传递函数与微分方程一致。

传递函数有哪些特点：

1.传递函数是复变量S的有理真分式，具有复变函数的所有性质；加〈〃且所有系数均为

实数。

2.传递函数是一种有系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或

元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。

3.传递函数与微分方程有相通性。

4.传递函数W(s)的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。

2-5列写出传递函数三种常用的表达形式。并说明什么是系统的阶数、零点、极点和放大倍

数。

卬⑸=如:+如*+-+鼠/超

n

aQsH------an_{s+an

中(串+1),

W(s)=/J--------其中K

M+i)

j=l

"I

K.n(s+z,),

W(s)=T^-------其中

n(s+p)'

j=i

传递函数分母S的最高阶次即为系统的阶数，-z：为系统的零点，-p,为系统的极点。K

为传递函数的放大倍数，Kg为传递函数的根轨迹放大倍数。

2-6自动控制系统有哪几种典型环节？它们的传递函数是什么样的？

1.比例环节

Ri

―[

Uro.

Ro

n4-

2.惯性环节

1/Cs

4.微分环节

R

1/Cs

Uro

HHA

5.振荡环节

RL

UrUc

6.时滞环节

2-7二阶系统是一个振荡环节，这种说法对么？为什么？

当阻尼比0＜《＜1时是一个振荡环节，否则不是一个振荡环节。

2-8什么是系统的动态结构图？它等效变换的原则是什么？系统的动态结构图有哪几种典

型的连接？将它们用图形的形式表示出来，并列写出典型连接的传递函数。

2-9什么是系统的开环传递函数？什么是系统的闭环传递函数？当给定量和扰动量同时作

用于系统时，如何计算系统的输出量？

答：系统的开环传递函数为前向通路传递函数与反馈通路传递函数之积。

系统的闭环传递函数为输出的拉氏变换与输入拉氏变换之比。

当给定量和扰动量同时作用于系统时，通过叠加原理计算系统的输出量。

2-10列写出梅逊增益公式的表达形式，并对公式中的符号进行简要说明。

2-11对于一个确定的自动控制系统，它的微分方程、传递函数和结构图的形式都将是唯一

的。这种说法对么吗？为什么？

答：不对。

2-12试比较微分方程、传递函数、结构图和信号流图的特点于适用范围。列出求系统传递

函数的几种方法。

2-13试求出图P2-1中各电路的传递函数W(s尸Uc(s)/Ur(s)。

---------—

o-------।।_I_।

RJ_R

Ur--C2

O----------------------------------

(c)

解：(a)解法1：首先将上图转换为复阻抗图,

图2-1(a-s)

由欧姆定律得：

I(s尸(Ur-Uc)/(R+Ls)

由此得结构图：

嬖)

Ur>0~1/(R+Ls)

Uc

Uc=I(s)(l/Cs)

由此得结构图:

整个系统结构图如下:

Ur―►€)—1/(R+Ls)——►1/Cs

根据系统结构图可以求得传递函数为：

WB(s)=Uc/Ur=[[l/(R+Ls)](l/Cs)]/[1+[1/(R+Ls)](l/Cs)]

22

=l/[LCs+RCs+1]=1/[TLTCS+TCS+1]

其中：TL=L/R;TC=RC

解法2：由复阻抗图得到：

/G)=­a.G)=/G)1U,(s)U,(s)

n.T.1CsLes2+RCs+1

R+Ls+K十LS~\----

CsCs

所以：4©

所以：——=——-------------

U,.(s)Les2+RCs+1

解：(b)解法1：首先将上图转换为复阻抗图,

根据电路分流公式如下:

U,(S)

/(s)=其中：Z=(l/Cs)〃4代入z

Z+R)

11

(aCs+l)

1&Cs+l

中，则2=CsCs

CsR[Cs+2

1

7,(5)=/(5)-~3~-/(s)----------

与Cs+2

--+R.+

Cs'Cs

Uc(s)=/|(s)3+/(s)/?2U，(s)11।U,(s)

Z+R、R、Cs+2CsZ+R,

u，G)________i____LU,.G)

R

1H1Cs+l।RR、Cs+2石1RQs+12

2+R2

CsRtCs+2CsRyCs+2

ug।U,⑶(R1CS+2)CSR

RCs+1+Ri(&Cs+2)CsR、Cs+1+R,(/?!Cs+2)Cs-

所以：

U,G)__________1__________R2(RtCs+2)Cs

UrG)-R|Cs+1+&(R】Cs+2)C$++1+&(&Cs+2)Cs

%R2c2s2+2R?Cs+l

7?iR-,C~s~+&Cs+2R,Cs+1

解法2：首先将上图转换为复阻抗图（如解法1图）

AG)"。)&Cs=/(s)(R|Cs+l)

/(S)=4(S)+，2(S)

U,(S)=/|G4+/(S)R2

画出其结构图如下:

化简上面的结构图如下:

应用梅逊增益公式:

其中：\=\-La-Lh

小谭（R©+2）、4=-怠

所以△=1+2低仆+2）+—=NC'+&Cs（RC'+2）+l

鸟、&C$R0

7]=。优0+2）、A）=l

1

A2=1

R、Cs

所以：

，（凡Cs+2）+」一/、

U,（s）R/&CsaCs（H|Cs+2）+]

U,.（s）~~^+R2cs（RCs+2）+1-RCs+R2cs（KCs+2）+1

RCs

./?2。气2+2/?2。5+1

R\R）C~s~+R】Cs+2R>Cs+1

解：(c)解法与(b)相同，只是参数不同。

2-14试求出图P2-2中各有源网络的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)o

(a)

解：(a)

U,(s)_Z1

其中

有TNZ,=/?1+-L=-L(/?]C15+I)=-L(T15+I)

I»|Ij|J

R()—

—牛==7%7其中：4=R£、"=&c。

Z°=4C°〃SR°=R+]&/。10$+14s+1

°C°s

所以：需:一是如+阵+D

(a)

解：（b）如图:

将滑动电阻分为R2和/?3,

A)=11

[_U人S)up)&

其中

°F1=~-----------r

“R.+R,+

31C,s

R——/、

}C|S_p._7?2(&。1S+1)+R]

二一八-)'a——

,1R[C]S+1叫。]5+1

1

U,(s)[(凡+R，)qs+1]

所以:氏(qGs+l)+R』

U,G)4HoK&G2s2

解：(c)解法与(b)相同。

2-15求图P2-3所示各机械运动系统的传递函数。

(1)求图(a)的X，G)=?(2)求图(b)的幺。=?

X,(s)Ar(5)

X2(s)

(3)求图(c)的-9(4)求图(c)的

X1(s)

Ixr(t)

Xc⑴

(b)

Xi(t)

X?⑴

(c)

2-16如图P2-4所示为一个带阻尼的质量弹簧系统，求其数学模型。

7

7

7

7

7

7

7

2-17图P2-4所示为一齿轮传动系统。设此机构无间隙、无变形。

(1)列出以力矩Mr为输入量，转角为输出量的运动方程式，并求其传递函数。

(2)列出以力矩Mr为输入量，转角91为输出量的运动方程式，并求出其传递函数。

2-18图P2-6所示为一磁场控制的直流电动机。设工作时电枢电流不变，控制电压加在励磁

绕组上，输出为电机位移，求传递函数卬(5)=0立。

U,.(s)

2-19图P2-7所示为一用作放大器的直流发电机，原电机以恒定转速运行。试确定传递函数

"9=W"),假设不计发电机的电枢电感和电阻.

%(s)

图P2-7

2-20图P2-8所示为串联液位系统，求其数学模型。

2-21一台生产过程设备是由液容为Ci和C2的两个液箱组成，如图P2-9所示。图中。为稳

态液体流量(m3/$)@为液箱1输入流量对稳态值得微小变化(相3/s),q2为液箱1到液箱2

流量对稳态值得微小变化7s),q3为液箱2输出流量对稳态值得微小变化(加3/s),而

为液箱1的稳态液面高度(m),%为液箱1液面高度对其稳态值的微小变化(m),“2为液

箱2的稳态液面高度(m),h2为液箱2液面高度对其稳态值的微小变化(m),心为液箱1输

出管的液阻(m/(，〃3/s)),R2为液箱2输出管的液阻(布/(m3/£))。

(1)试确定以为输入量、为输出量时该液面系统的传递函数；

⑵试确定以为输入，以为输出时该液面系统的传递函数。(提示：流量(Q尸液高(H)/液阻(R),

液箱的液容等于液箱的截面面积，液阻(R)=液面差变化(h)/流量变化(q)。)

图P2-9

2-22图P2-10所示为一个电加热器的示意图。该加热器的输入量为加热电压ui,输出量为加

热器内的温度To,qi为加到加热器的热量，qo为加热器向外散发的热量，笛为加热器周围的

温度。设加热器的热阻和热容已知，试求加热器的传递函数G(s)="(s)/U,(s)。

图P2-10

2-23热交换器如图P2-11所示，利用夹套中的蒸汽加热罐中的热体。设夹套中的蒸汽的温

度为Ti；输入到罐中热体的流量为Q”温度为T”由罐内输出的热体的流量为Q2,温度为

T2；罐内液体的体积为V,温度为To(由于有搅拌作用，可以认为罐内液体的温度是均匀的),

并且假设T2=T°,Q2=Ql=Q(Q为液体的流量)。求当以夹套蒸汽温度的变化为输入量、以流

出液体的温度变化为输出量时系统的传递函数(设流入液体的温度保持不变)。

图P2-I1

2-24已知一系列由如下方程组成，试绘制系统方框图，并求出闭环传递函数。

X|(s)=X,⑸叱(s)-吗(s)[W7(s)-卬8(S)K(5)

X2(s)=(S)[X,(5)-W；(s)X3(5)]

X3(s)=[X2(s)-Xc(s)W5(s)]^3(s)

Xc(s)=W4(s)X3(s)

解：由以上四个方程式，可以得到以下四个子结构图

1.

X,(s)=Xr(s)WI(s)-W](s)[W7(s)-W8(s)]Xc(s)

X。)

2.

X2(s)=W2(s)[X)(s)-W6(s)X3(s)]

3.

X3(s)=[X2(s)-Xc(s)W5(s)]W3(s)

⑸

X2(s)X3

W3(s)

W5(s)

Xc(s)

4.

Xc(s)=W4(s)X3(s)

X(s)X(s)

3一c

----►W4(s)

将以上四个子框图按相同的信号线依次相连，可以得到整个系统的框图如下:

利用梅逊公式可以求出闭环传递函数为：

Ln=-Wi(s)W2(s)W3(s)W4(s)[W7(s)-W8(s)]

Ll2=-W3(s)W4(S)W5(S)

LI3=-W2(S)W3(S)W6(S)

L2=O

TI-WI(S)W2(S)W3(S)W4(S)

△1=1

△=1+Wi(s)W2(s)W3(s)W4(s)[W7(s)-W8(s)]+W3(s)W4(s)W5(s)+W2(s)W3(s)W6(s)

W(s)=2^=g

X,.(s)A

______________叱弘」也_____________

-1+叱％卬3也[%—也]+吗也%

2-25试分别化简图P2-12和图P2-13所示结构图，并求出相应的传递函数。

图P2-12

图P2-13

解：化简图P2-12如下:

图P2-12

继续化简如下:

图P2-12

所以：

_________

l+WlW2（Hl+H2-1/弘）-1+叱（卬2”1+卬2”2-1）

解：化简图P2-12如下:

图P2-13

进一步化简如下：

所以：

叱弘卬3

X—（1+叱％）（1+%/）_的3

X，/此2>”2（1+%〃山+卬月，）+皿，儿

（i+w内达+%%）叱吗

=______________叱卬2%_______________

-l+W}H]+W2H2+WiH2+W,HiW3H2

2-26求如图P2-14所示系统的传递函数叱（5）='但，忆（$）=辽立

X,（s）X*）

图P2-14

解：

I.求Wi(s尸Xc(s)/Xr(s)的等效电路如下(主要利用线性电路叠加原理，令Xd=O)

上图可以化简为下图

由此得到传递函数为：

Wi(s)=Xc(s)/Xr(s)=[W1W2MI-W2H2+W1W2H3]

2.应用梅逊增益公式：

Ad△k=l

其中：△=1一4-4，Lu=-W1W2H3,Lh=W2H2

^^l+WlW2Hy-W2H2

T}=吗A=l,T2=-W}W2H],^2=1

所以：

Xc_必-叱怩"

Xd1+叱弘/-卬2卬2

2-27求如图P2-15所示系统的传递函数。

应用梅逊增益公式:

Ar△左=1

其中：\=\-La-Lh-Lc-Ld-Le

（=一叱/，Lh=-W2H2，4=一卬2%"3，4=一叱吗%卬4”4

Ld=-W2W3W4W5H4

刀=叱卬2吗%，Al=1-4=卬2卬3也叫，色=1+叱4|

所以：

^.=lyrA=___________________叱叱卬3%+%-吗卬5（1+一兄）____________

k

X,△台k1+W,771+W2H2+W2W3/73+W.W.W.W.H,+W2W3W4lV5774

2-28求如图P2-16所示系统的闭环传递函数。

图P2-16

解:

将上述电路用复阻抗表示后，利用运算放大器反向放大电路的基本知识，即可求解如下:

由上图可以求出：

Ui(s)=-[Zi/R0](Ur(s)+Uc(s))

U2(S)=-UI(S)/[R2C2S]

Uc(s)=-fR4/R3]U2(s)

根据以上三式可以得出系统结构图如下:

其中：Z!=R|//(1/C|S)=R|/[T|S+1]TI=R|CI

令：R2c2=T2R1/RO=K|OR4/R3=K43

得到传递函数为：

WB(s>Ur/Uc=-[KioK43]/[T2s(Tls+l)+K10K43]

2-29图P2-17所示为一位置随动系统，如果电机电枢电感很小可忽略不计，并且不计系统

的负载和黏性摩擦，设与=£%,町=£见.，其中%、纥分别为位置给定电位计及反馈电

位计的转角，减速器的各齿轮的齿数以Ni表示之。试绘制系统的结构图并求系统的传递函

数。

图P2-17

2-30画出图P2-18所示结构图的信号流图，用梅逊增益公式来求传递函数@,

X，(s)

图P2-18

解：应用梅逊增益公式：

X1'I

叱⑸

Ar△k=l

其中：A=m，La=-WtW2W3H2H3,Lh=-W2W.H2H3,LC=-W3H3,

^=l+WiW^H2H3+W2W3H2H?i+W3Hi,7；=叱弘W,,A(=1,T2=W4,

4=1+叱吗%也4+%%%/+%%

所以：

W(S)==，叱W3+吗(1+，％W3H2也+%吗H2H3+吗83)

八-Xr(S)~1+叱卬2叫"2"3+卬2生”2"3+叫”3

V1〃

%")中=隹3

Ad△A=1

其中：\=\-La-Lb-Lc,La=-WtW2W3H2H3,Lb=-W2W3H2H.,LC=-W3H3,

/^=l+W]W2W3H2Hi+W2W3H2Hi+WiHi,Ti=Wi,A,=1

所以：

“，小X,(s)也

Wj(s)——

dX*)1+W]W2W3H2H3+W2W3H2H3+W3H3

2-31画出图P2-I9所示系统的信号流图，并分别求出两个系统的传递函数4

X”(s)

X,2(s)

X,2(s)°

(b)

3-1控制系统的时域如何定义？

3-2系统的动态过程与系统的极点有什么对应关系？

3-3系统的时间常数对其动态过程有何影响？

3-4提高系统的阻尼比对系统有什么影响？

3-5什么是主导极点？主导极点在系统分析中起什么作用？

3-6系统的稳定的条件是什么？

3-7系统的稳定性与什么有关？

3-8系统的稳态误差与哪些因素有关？

3-9如何减小系统的稳态误差？

3-10一单位反馈控制系统的开环传递函数为W«(s)=」一

s(s+l)

(1)系统的单位阶跃响应及性能指标b%,%a和〃；

(2)输入量Xr(t)=t时，系统的输出响应；

(3)输入量Xr(t)为单位脉冲函数时，系统的输出响应。

1_a

s(s+l)s(s+2g)

比较系数：得至lj4=1%=1,2物“=1,4=0.5

二5-0.5-

o-%=e^x100%=x100%=16.3%

tr=—兀、°其中：/3=arccos^=arccos0.5=1.0472(ra<7)

7T-p3.14-1.0472

所以o=2.42(5)

-Vl-o.52

33

-^-=—=6(5)(5%)

包0.5

//=—其中：----:兀=2-一=7.255(s)所以〃==0.827

tff叫加了0.866尸

解(2)输入量Xr(t)=t时，X,(s)=4,这时；

s

X,(s)=^F—欧——r，应用部分分式法

CS2s2+2弧S+成

。、ABCs+D

七⑶丁丁

s+2Jg广+。“

A*+A2J%s+A说+&G++①;)+Cs，+Ds1

2(s2+2gs+式)

(B+Cl+(A+。+62匏+(A2购,+Ba)；)s+A。；

52($2+2g,S+4)

通过比较系数得到：A=l,B=-A=-1,C=1,D=()

所以:X(S)=­z----1彳-----------7=—;----1------

sss"+2物〃S+①〃SSS+5+1

2e-o&sinKif+6O。、

所以:x(t)=t-1+

c百

解(3)当天(f)=3⑺时，X,.(s)=l,这时，X*s)=——

s+s+l

9"A

所以xe=te-°&sin—r+60°

J32.

3-11一单位反馈控制系统的开环传递函数为W*(s)=」^其单位阶跃响

"S(TS+1)

应曲线如图所示，图中的Xm=1.25tm=1.5s。试确定系统参数kk及T值。

”2

KkT说

解:

sS+Ds（s+s（s+2g）

比较系数得到：成二”,2M

T

由图得到：b%=25%=e得到g=0.4

7i_3.1415926343

—=1.5,所以q=2.287

2

①,尺1-$®Jl-0.43.

1------1------=0.547

所以T=

荻2x0.4x2.287

2

Kk=侬：=0.547x2.287=2.861

2

3-12一单位反馈控制系统的开环传递函数为叫(s)=—%——-已知系统的

s(s+2g)

Xr(t)=1(t)，误差时间函数为附=1.4"皿-0.46-3叫，求系统的阻尼比

&、自然振荡角频率以，系统的开环传递函数和闭环传递函数、系统的稳态

误差。

解：单位反馈控制系统的结构图如下:

3214s2+2g3周渣

由此得到误差传递函数为:

叫(S)==----------——=s-+2gq.S

X,(s)]।成S2+2^„S+^

2

s+2^cons

因为输入为单位阶跃输入，所以

+2Mss"+2Ms1_S+24①“

*7,rI'')~~**))~~o、

s+2^a>ns+a>ns+2^a)ns+conss+2^cons+a>n

对e(t)=1.4^l07/-Oder，取拉变得到

〜、1.40.40.4s+4.8

A।rJ—____________________—_______________________—_______________

5+1.075+3.73-(s+1.07)(s+3.73)-一+4.8S+4

比较两个误差传函的系数可以得到：

叱=4%=2

2切“=4.8<=1.2

4

系统的开环传递函数为跌")==------

K$2+4.8s

4

系统的闭环传递函数为唯(s)=>-------------

5'+4.8.V+4

系统的稳态误差为：

1.£■(℃)=limsE(s)=lims,s+4.8——=。

s^Os^O§+4.8s+4

2.£(oc)=lime(f)=lim[1.4eT°7J0.4eH31=

/->x1Toe0

2

3-13已知单位反馈控制系统的开环传递函数为M(s)=—色——，试选择

s(s+2M)

心及T值以满足下列指标：

(1)当Xr(t)=t时,系统的稳态误差e,(00)W0.02；

(2)当Xr(t)=1(t)时，系统的0%W30%,ts(5%)<0.3so

解：

1.芍«)=，时，由于该系统为1型系统，所以:

11

k=limSWK(S)=山s----=KK

10105(CT+1)

e(oc)=—<0.02得出KK250

KK

2.因为要求当芍(，)=1⑺时，系统的6%430%,f,(5%)40.3s。

-5-5

所以，5%=”可<0.3取3%=6斤=0.3

第10

e=—尸_=lnW=].242/=122(1—记)

371TF3

1-22

铲(%2+1.22)=1.22

与一丁+1.22J=0.357

3

由4(5%)"上MO.3s得出物,,N10

她

因为，阻尼比越大,超调量越小。取4=0.4

由…上

5(5+1/r)s(s+2gq)

所以：区=◎;“1

2M=-

TT

所以工220

7W0.05取7=0.05

T

因为KKN50，取KK=50得到区=0；=1000con=31.6

3

当自=0.4,/“=31.6时满足物“N10即满足4(5%)a——40.3s

所以，最后取=50,r=0.05

2

3-14已知单位反馈控制系统的闭环传递函数为叱(s)=%彳，试画出

s'+2&a)“s+a>n

以以为常数、&为变数时，系统特征方程式的根在s平面上的分布轨迹。

3-15一系统的动态结构图如图P3-2,求在不同的KK值下(例如，治=1，%=3,

心=7)系统的闭环极点、单位阶跃响应、动态性能指标及稳态误差。

X(s)

---r----->

(0.25+1)(0.45+1)

图P3-2题3-15的系统结构图

解：该系统的特征方程为：

(0.25+1X0.45+1)+^=0

即S2+7.5S+12.5+12.5KK=0

当KK=1时，系统的特征方程为：

5*2+*5B7.55+25=0,此时,系统的闭环极点为S]2=-3.75±/3.3

系统开环传递函数为：W(s)=-———

Ks+7.5s+12.5

12.5

系统闭环传递函数为：%(s)二,—

B?+7.55+25

3-16一闭环反馈控制系统的动态结构如图P3-3,

(1)试求当o%W20%,ts(5%)=1.8s时，系统的参数匕及T值。

(2)求上述系统的位置稳态误差系数与、速度稳态误差系数Kv、加速

度稳态误差系数Ka及其相应的稳态误差。

图P3-3题3-16的系统结构图

解：(1)将图P3-3的内部闭环反馈等效一个环节，如下图

由上图得到=叫

根据系统性能指标的要求：5%420%,4(5%)=1.85可以得出

当6%=20%时-，取3%=e*=0.2

斤=16(12)

4=0.454

当4(5%)=1.8s时，4(5%卜上3-=1.8s=—3=—10

她1.86

10:10

=3.67

至-6x0.454

由得到K1=3.67?=13.5

,_“，0刈2物“2X0.454X3.67„_

由2#cy“=KR得到T==-------------=0.247

“1(3.672

(2)由(1)得到系统的开环传递函数为:

vvK-----------

s(s+K}T)S(S+3.33)

所以：

对应的x(t)=IQ)时e(cc)=-—=0

kn=limWK($)-山口--------=«r

P.10K-0s(s+K/)1+勺，

Ki

!

k=limsWK(s)=lim-------=—对应的xr(t)=，时e(oc)=—=T

'.2o八STO(S+KR)rk.

wK

2!对应的芍⑺=L时e(cc)=—=cc

limsWK(s)=lim----——二0

IO长D(5+KR)2ka

3-17一系统的动态结构图如图，

试求(1)T1=0,T2=0.1时，系统的。%,ts(5%)；

(2)T1=0.1,T2=0时，系统的。％,ts(5%)；

(3)比较上述两种校正情况下的动态性能指标及稳态性能。

图P3-4题3-17的系统结构图

解：

(1)I1=0,T2=0.1时系统框图如下:

图P3-4题3-17的系统结构图

进一步化简结构图如下：

八2

与二阶系统标准传递函数比较取⑶=—%一得到

s(s+2g)

0；=1(),co=V10=3.16.2物“=2,=-J—-=0.316

"Vio

-5

b%=eQ=0.3512=35.12%,“5%)“二-=3s

她

(2)解(2)Ti=0.1,T2=0时系统框图如下:

图P3-4题3-17的系统结构图

解上述系统输出表达式为：

3-18如图P3-5中，Wg(s)为被控对象的传递函数，Wc(s)为调节器的传递

函数。如果被控对象为％(s)=------------，TI>T,系统要求的指标

(7]s+l)(%s+l)2

为：位置稳态误差为零，调节时间最短，超调量。％W4.3%,问下述三种

调节器中哪一种能满足上述指标？其参数应具备什么条件？

T]S+，

(a)Wc(5)=K;(b)/(s)=K至担;(c)叱,(s)=K.

sr25+1

r?+1

解：三种调节器中，(b)调节器能够满足要求，即叱=。

s

校正后的传递函数为W(s)=此(s)叱(s)=—(勺阮+1)_

gcs(7Js+D(7>+l)

这时满足位置稳态误差为零。如果还要满足调节时间最短，超调量。％・4.3%,

KK

则应该使7=小此时传递函数为w(s)=W,(s)W,(s)=—=J

S(T2S+1)

应该使_1=2《勺,，此时为二阶最佳系统，超调量。％=4.3%,调节时间为

4(5%)=4.14(

3-19有闭环系统的特征方程式如下，试用劳斯判断系统的稳定性，并说明特

征根在复平面上的分布。

(1)53+20.v2+4.v+50=0

(2)53+20.v2+4.v+100=0

(3)54+2.v3+652+8.y+8=0

(4)2s$+/-15s3+25/+25-7=0

(5)56+3s$+9/+18s3+22s2+12s+12=0

解：(1)列劳斯表如下：

5314

522050

512/3

5°50

由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。

(2)列劳斯表如下：

5314

5220100

3-1

5°100

由此得到系统不稳定，在S平面的右半部有两个根。

(3)列劳斯表如下：

54168

J28

5228

514

5°8

由此得到系统稳定，在S平面的右半部没有根。

(4)列劳斯表如下：

552-152

54125-7

53-6516

21641

S-7

65

i55831

1641

5°-7

由此得到系统不稳定，在S平面的右半部有三个根。

(5)列劳斯表如下：

$6192212

5531812

5431812

531236

52912

20

s012

由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。

3-20单位反馈系统的开环传递函数为叫(s)=—K)°与J_求使

系统稳定的KK值范围。

解：系统特征方程为：

2

s(s+1)(0.55+s+1)+“(0.5s+1)=0

42

即：0.5s+1.5?+2S+S+KKQ.5S+KK=0

将最高项系数化为1得到

42

5+3s3+4.v+25+KKS+2KK=0

列劳斯表如下：

4

.y142KK

3

532+Kk

/2KK

s'—1居+10“-20]

系统稳定的条件为劳斯表的第一列大于零，即

1(10-^)>0

得出KK<10

——[K\+IOKK-20]>0得出KK>—5+屈

K

所以，系统稳定的取值范围为

-5+V45<KK<10

3-21已知系统的结构图如图P3-6所示，试用劳斯判据确定使系统稳定的

Kf值范围。

图P3-6题3-17的系统结构图

解：该系统的特征方程为

/+$2+ios+10K/S+10=0

列劳斯表如下：

s3110+10K/

52110

51lOKf

s°10

根据劳斯判据，系统稳定，劳斯表第一列必须大于零。

所以得到系统稳定条件为Kf>0

3-22如果采用图P3-7所示系统，问T取何值时，系统方能稳定？

图P3-5题3-18的系统结构图

解：该系统的特征方程为

53+?+10OT+10=0

列劳斯表如下：

53110r

s2110

5110(r-l)

s°10

根据劳斯判据，系统稳定，劳斯表第一列必须大于零。

所以得到系统稳定条件为7>1

3-23设单位反馈系统的开环传递函数为W&(s)=---------------------

八5(1+0.335)(1+0.1075)

要求闭环特征根的实部均小于-1,求K值应取的范围。

解：该系统的特征方程为

5(0.335+1)(0.1075+1)+K=0

即0.035%3+0.437/+s+K=0

将上述方程的最高次项系数化为1

得到/+12.34/+28.33s+28.33K=0

令5=2-1代入特征方程中，得到

z3+9.34z2+6.65z+28.33K-15.99=0

列劳斯表如下：

z316.65

z29.3428.33K-15.99

,78.1-28.33K

z------------

9.34

z028.33K-15.99

由劳斯判据，系统稳定，劳斯表的第一列系数必须大于零。

1

所以78.1—28.33K>0,K<-^-=2.757

28.33

28.33K—15.99>0,K>1^59^9=0.564

28.33

即0.564<K<2.757时，闭环特征根的实部均小于-1。

3-24设有一单位反馈系统，如果其开环传递函数为

/1、/、1°/八1"/、10(5+0.1)、少十

(1)(5)=-------------；(2)W/(s)=—；------------o试求

5(5+4)(55+1)八$2(S+4)(56+1)

输入量为xr(t)=t和Xr(t)=2+4t+5J时系统的稳态误差。

解：(1)系统特征方程为：5?+21/+4i-+10=0

列劳斯表如下：

s354

s22110

5134/21

s°10

由劳斯判据可知，该系统稳定。

=limW&.(S)=lim------......=oo

P―。K/sr。s(s+4)(5s+1)

103=2.5

Ky=limSWKG)=痴

5->0ST。s(s+4)(55+1)4

K,=lim$2,卬⑸=lim,------10------二o

"—oKa。s(s+4)(5s+i)

当X《)=t时，稳态误差为:

ss—=—=0.4

Kv2.5

x「(t)=2+4t+5产时，稳态误差为：ess=-^-+^-+—=0+1.6+00=oo

KpKyKa

解：（2）系统特征方程为：5/+2153+4?+105+1=0

列劳斯表如下:

54541

„32110

,234/211

s-101/34

„01

由劳斯判据可知，该系统不稳定。

“raz/\v10。+°」)

Kp=]i