矩形的性质 市赛获奖

18.1.2平行四边形判定18.2.1矩形第1课时矩形的性质学习目标【学习目标】1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.2.掌握矩形的性质及其推论,会进行有关的计算与证明.【学习重点】矩形的性质及其推论.【学习难点】矩形性质的灵活应用.旧识回顾1.平行四边形的性质：______相等,____

相等且_____,对角线________.2.平行四边形的判定方法：两组对边分别平行,两组对角分别相等,一组对边平行且相等,对角线互相平分.3.猜想：有一个角是直角的平行四边形是_____.对角对边平行互相平分矩形活动一:观察下面的图形,它们都含有平行四边形,请把它们全部找出来.问题：上面的平行四边形有什么共同的特征？新知探究矩形的性质活动二：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.思考：矩形与平行四边形有什么关系呢？归纳思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？可以从边，角，对角线等方面来考虑.活动探究：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.ABCDO（形象图）（实物）ABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦课本桌子问题1：根据测量的结果,猜想结论当矩形的大小不断变化时,

发现的结论是否仍然成立？问题2：通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？矩形的性质：角：矩形四个角都是直角。

对角线：矩形的对角线相等。证明性质:已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°（2）AC=DB.ABCDO∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.

∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB，

AB∥DC∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC(矩形的对边相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.ABCDO矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.ABCDO归纳总结例1如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD，

OA=OC=AC,OB=OD=BD,

∴OA=OB.又∵∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形，

∴OA=AB=4，

∴AC=BD=2OA=8.ABCDO矩形的对角线相等且互相平分典例精析做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.

（1）矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?矩形的性质（除中心对称外）对称性：

.对称轴：

.轴对称图形2条新知探究例1：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE

,垂足为F.求证：DF=DC.ABCDEF证明：连接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.典例精析直角三角形斜边上中线A

B

C

D

O

活动：如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？BCOA

Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？1212BO=BD=AC猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.试给出数学证明.OCBAD证明:延长BO至D,

使OD=BO,

连结AD、DC.∵AO=OC,BO=OD∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90°∴平行四边形ABCD是矩形∴AC=BD已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO=

AC?∴BO=BD=AC

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质例：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=4

,求矩形对角线的长.ABCDO解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC=

BD

OA=

OC=

AC,OB=OD=

BD,∴OA=OD.∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=

(180°-120°)=30°.又∵∠DAB=90°,∴BD

=2AB

=

2×4=8.你还有其他解法吗？典例精析练一练：根据右图填空已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,则AC=_____cm,BD=_____cm.ABCD6105针对练习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等

C.对角相等D.对角线互相平分2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为()A.13B.6C.6.5D.不能确定AC随堂练习

3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是()A.20°B.40°C.80°D.10°C4.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若∠DBC=30°,

BO=4,求四边形ABED的面积.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.ABCDOE(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD=2BO=2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD=BD=×8=4,∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BC