湘教版八年级数学下册勾股定理

知识回放1、三角形边的关系怎样？2、直角三角形是特殊的三角形，它有哪些特殊性质？3、直角三角形的三边有上述关系吗？直角三角形的三边是不是有特殊性质？ABCabca+b>ca-b<cABCabcD30°a+b>ca-b<c在Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，点D是AB的中点。∠B+∠A=90°，

CD=AB12BC=AB12情境导入搜索2002年国际数学家大会观察大会的会标图徽

把这个会标图徽抽象出几何图形：ccccb-aba体会它的设计思路，从而发现直角三角形的两直角边与斜边的关系：1.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和4cm，如图所示，试量出它的斜边c的长度.探究b=4ACc=?我量的为5cm.Ba=352.再分别以这个直角三角形的三边为为边长向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图，那么这三个正方形的面积有什么关系呢？S1S2S3S1=32=9S2=42=16S3=72-

×3×4×4=25=5212S1+S2=S3即：32+42=52CBA从Rt∆ABC的三边看，就有：AC2+BC2=AB2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。3.是否对于所有的直角三角形，它的三边之间都有这样的特殊关系呢？即任作Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？我们剪四个这样的直角三角形和一个边长是c的正方形，如图摆放：cbaaaabbbcccDCBA正方形ABCD的边长是(a+b)，则面积是(a+b)2正方形ABCD的面积也可以看着是四个直角三角形的面积+中间边长为c的正方形面积。即：c2+4×ab1212就有：(a+b)2=c2+4×

ab即：a2+b2=c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。cbaaaabbbcccDCBAa2+2ab+b2=c2+2ab把四个三角形摆成两个正方形（如图A、B）解决问题：1.图中的两个大正方形面积相等吗？2.两幅图中的四个直角三角形总面积相等吗？3.两幅图中空白部分的面积相等吗？abc（A）abc（B）其中图(A)中的大正方形的面积为，图(B)中的大正方形的面积为，容易看出图(A)和图(B)中的两个大正方形面积是相等的.12c2+4·

ab12a2+b2+4·

ab于是有:整理得：

a2+b2=c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.

a2+b2=c2.

综上所述：直角三角形的性质定理：其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的这个性质；由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质称为勾股定理.

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.因此根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三边的长.变式训练：Rt∆ABC中，∠A=900，AC=3，BC=4，求AB长。CAB43CAB43举例注意：（1）勾股定理只适用于直角三角形。（2）使用勾股定理时要明确哪个角是直角。例1、Rt∆ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，求AB长。解：由勾股定理得：AC2+BC2=AB2√AC2+BC2AB=√32+42√25===5（已知两直角边求斜边）√BC2-AC2AB=√42-32√7==（已知一直角边和斜边，求另一直角边）例2、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm.（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？在Rt△ADC中，AD2=132-52=144.(勾股定理)所以AD=12.所以AD的高为12cm.解：因为在等腰三角形ACB中，AD是BC边上的高，AB=AC，BC=10cm，所以BD=DC=5cm，（2）△ABC的面积是多少呢？解：因为三角形ACB中，面积=底×高÷2，即10×12÷2=60.所以ABC的面积是60cm2.练一练121071217135求下列各图中的x513x86x2425x1x1x815x1234xx2.如图是一个边长为a的正方形，两条对角线AC与BD相交于O.观察此图形并回答下面问题：（1）对角线AC有多长呢？（2）图中有多少个直角三角形？有8个直角三角形.练习1、p11

练习AC=3.有一颗树较高(如图)，无法直接量出它的高度.可以先用测角器在离树底部不远处的地面上找一点B，使此时测得树顶点A的仰角为60°，再用皮尺测得BC之间的距离为a，由此你能得出这棵树的高度吗？解：在Rt△ABC中，∠ABC=60°，可知∠BAC=30°

，由于BC=a，因此有AB=2a，再由勾股定理可得：树高勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么：a2+b2=c2几何语言：二指ACBcba课堂小结（两直角边的平方和等于斜边的平方。）如图，在Rt△ABC中∵∠C=