刚体力学第三章

刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊物体.）刚体的运动形式：平动、转动.平动：刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.第五章 刚体的定轴转动5.1刚体运动的描述

转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.

刚体的平面运动.

刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+

我们一般研究刚体的定轴转动问题,而当刚体做定轴转动时,上面每一点都在做圆周运动.

如果用角坐标表示,则每一个质点,不管它离转轴的远近,它的角位移,角速度,角加速度都是相等的.

于是,用角量来描述做圆周运动的刚体是非常合适的.

要具体到刚体上的任何质点的运动,可以运用角量和线量间的关系.一刚体转动的角速度和角加速度参考平面角位移

角坐标<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动角速度矢量

方向:右手螺旋方向参考轴角加速度

刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.二匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动

当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比三角量与线量的关系飞轮30s

内转过的角度

例1

一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s

时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

时，设.飞轮做匀减速运动时，

t=0s

（2）时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数

例2

在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？解由题意，令，即，积分得当t=300s

时所以转子的角速度由角速度的定义得有在300s内转子转过的转数P*O

－力臂

刚体绕Oz

轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.

对转轴Z的力矩

一力矩5.2力矩 刚体绕定轴转动的转动定律讨论1)合力矩等于各分力矩的矢量和2）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二转动定律2）刚体质量元受外力，内力

1）单个质点与转轴刚性连接外力矩内力矩O

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.

转动定律定义转动惯量O

内力总成对出现，且互为作用力和反作用力：三转动惯量

物理意义：转动惯性的量度.

质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法

质量连续分布刚体的转动惯量：质量元O´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´

为处的质量元

例1一质量为、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒ORO

例2一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量请大家思考：一个圆环的转动惯量是多少？四

平行轴定理P

转动惯量的大小取决于刚体的质量、刚体对轴的分布及转轴的位置.

质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO注意圆盘对P轴的转动惯量OP133 例5.6

例2

一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得作业： P1535.5 5.8 5.9选择题（1）、（2）、（3）填空题：（1）、（2）、（3）5.3绕定轴转动刚体的动能动能定理5.3.1绕定轴转动刚体的动能将该式与质点动能非常相似，且我们再次看出：转动惯量是刚体绕轴转动时，惯性大小的量度。力矩的功一力矩作功力的空间累积效应

力的功,动能,动能定理.力矩的空间累积效应力矩的功,转动动能,动能定理.5.3.2力矩的功力矩的功当力矩M为常量时，有：注意：力矩的功实际上还是力所做的功，并没有任何关于力矩功的新定义。

只不过，刚体在定轴转动时，力所做的功可以用力矩和刚体角位移的乘积表示而已。

这些公式和质点动力学的公式形式上是一致的。三刚体绕定轴转动的动能定理

合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量

.二力矩的功率P137例5.8(了解) P139例5.9

绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所做的功的总和（合外力矩的功）。5.4动量矩和动量矩守恒定律1质点的动量矩（角动量）一

质点的动量矩定理和角动量守恒

质点以角速度作半径为

的圆运动，相对圆心的角动量

质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点

O

的位矢为，质点相对于原点O的角动量：大小

的方向符合右手法则.

作用于质点的合力对参考点

O

的力矩，等于质点对该点O

的角动量随时间的变化率.2质点的角动量定理质点所受对参考点O

的合力矩为零时，质点对该参考点O

的角动量为一恒矢量.

恒矢量

冲量矩质点的角动量定理：对同一参考点

O

，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.3质点的角动量守恒定律二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1

刚体定轴转动的角动量2

刚体定轴转动的角动量定理O例5.12