经济数学基础微分学之第1章 函数

经济数学基础微分学

第一章函第一元函的概函一学目通过本节课的学习，理解函数的概念，了解函数的表示法，会计算函数值．二内讲同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S=r考虑半径r以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量

变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表存期

六个月

一年

二年

三年

五年年利率(%)5.40

7.47

7.92

8.28

9.00它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定——数设x,y是两个变量，x变域为，如果存在一个对应规则，使得对D内的每一个值x都有唯一的y与x对应，则这个对应规则称为定义在集合D的一个函数，并将由对应——1——

xmmxmm经济数学基础微分学

第一章函规则f所确定的xy之间的对应关系，记为：

y()

称x为自变量，y因变量或函数值，D定义域．集合

{yf(),}

称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．三例讲例求函数

y

1x

的定义域．解：

y

1ln(x

，求函数的定义域就是使表达式有意义的。由对数函数的性质得到，由分式的性质得到D(1,2)(2,函数的定义域为．

ln(x0

，即

综合起来得出所求例设国际航空信件的邮F与重量的关系是的关系是F(

4104m,10200

,求

F(3),F

。解：

F(

4104m,10200m

用3替代，由第一个关系式表示，得到

F(3)

，同样可以得到

F(8)

。用20替代，由第二个关系式表示，得到四课练

F

。练习下列函数的定义域：1（1）f()＝)＋x2（2）f()＝

＜00≤x＜练习已知函数(x)＝＋－5，求f(0)，(1)，f－)，()＋1，f(x＋1)，f(x)。五课作——2——

ln(xln(x经济数学基础微分学1．求下列函数的定义域：

第一章函（1）

y

x

x

1y；（2）；（3）

x

.2．f()＝x＋，求f(0),

f(1),

f(－2),

f(x＋1),f()＋1，f()3分段函数(x)＝

5x

x＜＜2

f()的定义域求f(－(1)2)。答案1.（）

(((

，（2）

(0)

，（）

(1,2)

；．

2,

2

2

3,

1x2

2

；．

,

。函数一学目通过本节课的学习，了解函数的基本属性．二内讲下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性．定1.2——函的调当一个变量增加时另一个变量也跟着增加，这样的函数就叫做调增的函数．从图形上看这条曲线，曲线上的点在增加的时候，它所对应的纵坐标也增加，这样的函数是单调增加的．单调减少是相反，随着的增加对应的在减少，这样的函数单调减的，正如图形中演示的这样．如果函数当在增加的时候，它所对应的y不是增加，也不是减少，这样的函数就不具有单调性．定1.3——函的偶一个函数的图形如果关于轴对称这样的函数就称为偶函数从图形上来分析曲线上任一点关于y的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶函数．从解析式上看，如果有f(－x＝f(xf(x就叫做偶函数——3——

2112x2112xxxx2121212x223经济数学基础微分学

第一章函一个函数的图形如果关于原点对称，这样的函数就称为奇函数．曲线上任一点关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数．从解析式上看，如果有f(－)＝－f(x，f(x就叫做函数．定1.4——函的界如果自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，无论怎样变化，都有－M≤f()≤，这条曲线所反映的函数就是有界数定1.5——函的期如果存在一个正数T意的自变量f(x+T)＝f(x样的函数就叫做周期函数图形上反映，这个函数在相隔为的任意两点上函数值都是一样的．也可以这样来看，从任意一点出发，以长度T为间隔划分区间，在每个区间上的函数图形都是可以完全重合的．思考问题1：有界函数的界是否唯一？不唯一例如正数是函数f(x的一个界显有∣(x)MM按定义+1显也是函数f(x)的一个界．依此类推，可知任意大于M正数都是函数f(x的界．思考问题2：周期函数的周期是否唯一？不唯一．例如正数T是函数fx)的一个周期，显然有fx+2)＝(x+T＝fT)＝(x)按照定义2显也是函数f()的一个周期．依此类推，知的任意正整数倍都是函数f的周期．三例讲例1判断函数f()＝当x的单调性．分析：可以利用单调性的定义，证明对任意x，有f(x))．解：当x>0时，对任意的>>0有1

2x21（当x>>0时，在不等式x两端同乘以x或x，显然有12，22，由不等式的传递性就得到1．）由定义可知f(x＝x

当x时是单调增加的．例2判断下列函数的奇偶性：（）y＝x－分析：利用关于奇偶函数的几个结论．

（2）y＝x——4——

3325x23325x2x3)2x经济数学基础微分学

第一章函解（1取＝－f(1)＝0f(－1)＝－2显然f(1)≠－(－1),由此可知y＝－1不是奇函数．又显然f(1)≠(－1)由此可知＝x－1是偶函数．（2）因＝是奇函数，y＝cosx是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数．所以＝x是奇函数.四课练练习判断函数f(x＝＋6＋9单调性．练习判断下列函数的奇偶性：（1）y＝＋

，2）y＝sin，（3）y＝x＋五课作1．判断下列函数在指定区间上的单调性：（1）；（2）.2．判断下列函数的奇偶性：ax（1）x；（2）xx；（3）.1．（）在

(

单调减少．（2）在

(0,

单调减少，在

单调增加.2．（）奇函数（）函（3）偶函数第二元

基本等函及其算几类一学目通过本节课的学习，了解基本初等函数的图形和基本属性．二内讲定1.6——基初函在中学的学习中已经认识了一些函数，这些函数是非常基本的，有这样几类：——5——

α23xxxa25x2522α23xxxa25x252222x经济数学基础微分学

第一章函1.常数函数：yc．这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线．2.幂函数：yx，(∈)．以x为底，指数是一个常数．当a=1就是=，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当α=2时就是y=

，它的图形是过原点且开口向上的抛物线当α=3就是=x它的图形是过原点的立方曲线．3.指数函数ya(a>0a底数是常数指数是变量例如=ey=()所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a时，函数单调增加，当<1时，函单调减少．4.对数函数loga>0为底的x的对数yx=

log12

有对数函数的图形都过(1,0)点，当a时，函数单调增加；当<1时，函单调减少．5.三角函数：正弦函数：ysinx．

余弦函数：y=cosx．思考问题：常数函数可否视为幂函数的一个特例？答案常数函数不能视为幂函数的例，因为除了常数函数y=1外，其它的常数函数都不是幂函数．三例讲例1

.断下列函数中，哪些不是基本初等函数：1（1）y＝；（2）y()2

；（3）＝lg(－)；（4）y＝；（）＝x；（）＝e．分析：依据基本初等函数的表达式来判断．解：直接观察可知⑵与⑷中的函数是基本初等函数，而由

y

5

1x2

2x5

，y＝＝)，可知1与6）中的函数是基本初等函数．3与5）中的函数不是基本初等函数．四课练1．作出下列函数的图形：——6——

33经济数学基础微分学（1）－；（2=2；（）=(－x).

第一章函2．在同一标系中作出=2，yx，y

2

x

的图形，从图形上观察这三个函数满足什么关系．函数一学目通过本节课的学习，了解函数之间的运算，主要是复合运算二内讲函数的运算当然有加、减、乘、除运算，这些就不需要讲了．在这里我们主要将函数的复合运算．所谓复合运算，就是指如果是u的函数，u是x的函数，通过作为中间媒介就成为x函数，这就是函数的复合运算．如下面这个例子表示的y

；

x

；

ysin

.这里yu函数，u是的函数y过作为中间媒介就成为x的函数，这就是函数的复合运算．下面把这个复合的步骤以及它们的变域联系起来仔细地介绍一下：y=f(x))UX

φ

f

定1.7——复函y是的函数，这个函数用来表示u的函数这个函数φ来表示φ的值域正好落在函数f的定义域里经过作为媒介y就成为x的函数这个复合函数的定义域是这样一个（红色）区域，它的值域就缩小成为这样一个（绿色）区域了．这是为什么呢？因为在它的定义域内变化时u仅在这样一个（黄色）区域取到值，相应的取值范围就缩小成为这样一个（绿色）区域．复合函数的记号就记为=f((x这种运算就叫做函数的复合运算．这样我们把函数分一下类：定1.8——初函——7——

xxxxxysin(xxxxxysin(uyxx2经济数学基础微分学

第一章函由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合而得到的函数称为等函数．这样的分类把函数分成了初等函数和非初等函数我们在前面所见到的分段函数就是非初等函数的例子．思考问题1：为什么要求u=φ(x)的值域包含在中？答案:如若不然，存在，)，则此时f(没有意义．000三例讲例1已知函数=(x的定义域为[1]求函数yf)的定义域．分析：要使函数u=e的取值范围．

的值域包含于函数y=f(x)的定义域中，由这个约束条件重新确定解：设u，它的值域要包含于y=f(x的定义域中，即≤e≤1，由此得－∞＜x≤0.（已知函数ln他他是单调增加的显然有复合函数yf)的定义域是－∞0]

limlntext0

由此得－∞＜≤0由此可知例2将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算（1）；（2）

2ln分析由定义知初等函数是基本初等函数经有限次的四则运算和复合运算得到的．具体解决的步骤是：先看函数表达式有无四则运算，如有，则对每一个运算项进行分析，看其是否为复合函数，如是，则选择适当的中间变量将其化为基本初等函数．依此步骤反复进行．解：(1)，

vw2，

(2)y2

,lnw

2

,p四课练将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：（1）（2）五课作

sin2()1．已知函=(x的定义域为[1]求函数y=)的定义域．2．将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：——8——

yy5xxx3经济数学基础微分学

第一章函（1）；（2）

cos(x

x)

.1．.2．（）；（）

yxcosu,第三元

经济析中见函一学目通过本节课的学习，了解经济分析中的需求函数与供给函数．二内讲这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来，我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用．定1.9——需函和给数大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量是价格的函．供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给数．现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质．ap(,d——9——

,，ppp,，ppp经济数学基础微分学

第一章函q

表示需求量，表示价格，表示常数．ap1

(1

表示供给量，

表示价格，

a,11

表示常数．我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所a当然b而供给量应随着价格的增加而增加，所以

ab01

，因为当价格为零时，不会有供给量．qO

O从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直线．qO

p我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为0时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡．这一点称为供需平点价格超过0

时供过于求价格低于0

时供不应求在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格它所对应的需求量或供给量称为场均衡量思考问题：在需求函数的表达式中，为什么要有？答案因为表达式中的取值，而在合理的价格范围内，需求量应为正值，所以有b>0．三例讲——10——

，5，50经济数学基础微分学

第一章函某种商品的供给函数和需求函数分别为均衡价格和市场均衡数量．

qpsd

，求该商品的市场解：由市场均衡条件

qqd

得到

解出

p

，

q0四课练1.已知某产品的供给函数为q3p5需求函数为q＝15－2p求该产品的市场均衡价s格和市场均衡数量．由市场均衡条件q＝可15－＝－5整理得：．

p

0

4

，

q

0

7五课作1.市场中某种商品的需求函数和供给函数分别为

qd

，

40p试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.成本一学目通过本节课的学习，了解经济分析中的成本函数、收入函数和利润函数．知道它们之间的关系．二内讲我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．定1.10—本数一种产品的成本可以分为两部分：——11——

经济数学基础微分学

第一章函固定成本C，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些0费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为定成本．变动成本C，比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称变１动成本．总成本就是固定成本加上变动成本：=+0

１成本应与产品的产量有关，这种函数表示为：(q+Cq)0１这就是成本函数．其中总成(q)是产量的函数与产量无关，变动成(q)也是0１产量q函数．我们在引入平均成本的概念：

C()q总成本除以产量q，就是产量为q时的平均成本，C来表示．定1.11—入数一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与产量之间也有一定的关系，这样就得到q()其中p()是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数

(q)q现在我们来研究一种最简单的情况收入看作产量的线性函价格不随产量而变化也就是R=

，它的图形就是下面这样O图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线．定1.12—润数利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润．既然成本是产量的函数，收入也是q函数，那么利润也是的函数．即L(q)=(q(q——12——

经济数学基础微分学L相应地有平均利润函数的概念：

L(q)q

第一章函（1）(利2）L(q)<0损3）L亏平衡满足L(q称为盈亏平衡点又称本点0在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析：C=c+c0１R=它们的图形是Oq两条直线的交点表示收入与成本相等，q就是盈亏平衡点．0如果两条直线出现了下面这种情况Oq此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c这两种手段都可以重新找到盈亏平1衡点.O

Oq从几何上看，增加直线R的斜率或减小直线C斜率都可以使两条直线重新相交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用．三例讲——13——

，，，，即2，，，，即2经济数学基础微分学

第一章函例1

生产某商品的总成本是

C(q)

求生产50件商品时的总成本和平均成本．解：成本

q)