数学（理）【二轮系列之三道题】经典专练11：函数、导数之一 存在与恒成立问题（理）（学生版）_第1页
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学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精函数、导数之一存在与恒成立问题11函数、导数之一存在与恒成立问题11一、（一、（2018东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）一模）已知函数，，．（1）当时，若对任意均有成立，求实数的取值范围;（2）设直线与曲线和曲线相切，切点分别为,,其中．①求证：;②当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．二、二、(2018河北八市第一次测评考试)已知函数．（1）若函数有一个极小值点和一个极大值点,求的取值范围;（2）设，若存在，使得当时，的值域是,求的取值范围．三、三、(2018百校联盟TOP20高三三月联考)已知函数．（1）设，讨论的单调性；（2)若不等式恒成立，其中为自然对数的底数,求的最小值．

答案与解析答案与解析答案与解析一、（一、（2018东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）一模）【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．【解析】（1）当时,，由知：，依题意:对恒成立，设，，当时；当时,，设，，当时;当时,，故实数的取值范围是．（2)由已知：,，①：由得：，由得:，故，，,,故：．②：由①知：，且，由得：，设，，在为减函数，，由得:，，又，．二、二、(2018河北八市第一次测评考试)【答案】(1);（2）．【解析】（1），则，令，若函数有两个极值点，则方程必有两个不等的正根，设为，,不妨设,于是，解得，则．当时，,，在上为减函数；当时，，,在上为增函数；当时，，函数在上为减函数．由此，是函数的极小值点，是函数的极大值点．符合题意．综上，所求实数的取值范围是．（2)，①当时，．当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数．所以,当时,，的值域是．不符合题意．②当时,．(i)当,即时，，当且仅当时取等号．所以在上为减函数．从而在上为减函数．符合题意．（ii）当，即时,当变化时，，的变化情况如下表：减函数极小值增函数极大值减函数若满足题意，只需满足，且（若,不符合题意），即，且．又，所以,此时．所以实数的取值范围是．三、三、(2018百校联盟TOP20高三三月联考)【答案】（1)见解析；(2）．【解析】（1）函数定义域为，由题意得，则，①当时，,则在上单调递增；②当时，令，解得，当时，，在上单调递增，当时，,在上单调递减．（2）设函数，其中为自然对数的底数,∴，，当时,，在上是增函数,∴不可能恒成立,当时,由,得，∵不等式恒成立，∴，当时，,单调递增，当时，,单调递减，∴当时,取最大值，，∴满足即可,∴，∴,令，，．令，，由，得,当时，，是增函数，当时，，是减函数,∴当时，取最小值,∵且当时，，∴当时，；当时，．∴当时，，是减函数，当时,，是增函数，∴时，取最小值，，∴的最小值为．

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