第九章期权定价

第九章期权定价2023/5/189.1期权价格的特性

一、期权价格的构成期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。１，内在价值内在价值是指期权持有者立即行使该期权合约所赋予的权利时所能获得的总收益。看涨期权的内在价值为max{S-X,0}看跌期权的内在价值为max{X-S,0}2023/5/18

按照有无内在价值，期权可呈现三种状态：实值期权、虚值期权和平价期权。把Ｓ>Ｘ〔S<X〕时的看涨〔跌〕期权称为实值期权；把Ｓ＝Ｘ的看涨〔跌〕期权称为平价期权；把S<X〔Ｓ>Ｘ〕时的看涨〔跌〕期权称为虚值期权；2023/5/182，期权的时间价值

期权的时间价值〔TimeValue〕是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。X时间价值图9.1看涨期权时间价值与|S-X|的关系Ｓ到期日时间价值5432102023/5/183,期权价格与内在价值和时间价值间的关系

期权合约的价值是由期权价格决定的，即由内在价值和时间价值所决定。三者之间的关系如图9-2所示。2023/5/18ATM期权费变动曲线OTMITMXIVTVTVTV0标的资产市价S期权费图9.2看涨期权的期权费、内在价值、时间价值的关系2023/5/18二、期权价格的影响因素〔一〕标的资产的市场价格与期权的协议价格对于看涨期权而言，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。对于看跌期权而言，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。2023/5/18〔二〕期权的有效期

对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利时机就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行时机，因此有效期越长，期权价格越高。对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行时机。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。

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但在一般情况下〔即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况〕，由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值〔MarginalTimeValue〕为正值。我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值递减规律。

2023/5/18〔三〕标的资产价格的波动率

标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。

在定价时，波动性只能通过人们对未来的价格波动程度的估计求得，主要有两种方法：历史波动法和隐含波动法。2023/5/18〔四〕无风险利率

从比较静态的角度看。无风险利率越高，看跌期权的价值越低；而看涨期权的价值则越高。从动态的角度看，当无风险利率提高时，看涨期权价格下降，而看跌期权的价格却上升。2023/5/18〔五〕标的资产的收益由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。

2023/5/18期权价格的影响因素

变量欧式看涨欧式看跌美式看涨美式看跌标的资产的市价＋－＋－期权协议价格－＋－＋期权的有效期？？＋＋波动率＋＋＋＋无风险利率？？？？标的资产的收益－＋－＋注：＋：互补关系：－：抵消关系；？：关系不明确。2023/5/18我们首先将本章后面所用到的符号及其含义开列如下：X：期权的执行价格；T：期权的到期时刻；t：现在的时刻；S：标的资产在t时的市场价格；ST：标的资产在T时的市场价格；C：美式看涨期权的价格；c：欧式看涨期权的价格；P：美式看跌期权的价格；p：欧式看跌期权的价格；r：t到T期间的市场无风险利率〔连续复利〕；三、期权价格的上下限

:标的股票价格的波动率，一般用标的股票连续复利收益率的年标准差表示。2023/5/18〔一〕期权价格的上限1,看涨期权价格的上限

对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格就是看涨期权价格的上限：

其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。〔下同〕（9.1）2023/5/18

2,看跌期权价格的上限

美式看跌期权价格〔P〕的上限为X：

其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。（9.2）欧式看跌期权的上限为：（9.3）2023/5/18〔二〕期权价格的下限

1,欧式看涨期权价格的下限〔1〕无收益资产欧式看涨期权价格的下限

我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产2023/5/18由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：

在T时刻，组合A的价值为：

由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:

或组合B的价值为ST。（9.4）2023/5/18例题

考虑一个不付红利股票的欧式看涨期权，此时股票价格为20元，执行价格为18元，期权价格为3元，距离到期日还有1年，无风险年利率10%。问此时市场存在套利时机吗？如果存在，该如何套利？〔2〕有收益资产欧式看涨期权价格的下限（9.5）

我们只要将上述组合A的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：2023/5/182,欧式看跌期权价格的下限

〔1〕无收益资产欧式看跌期权价格的下限

考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产

在T时刻，组合C的价值为：max〔ST，X〕，组合D的价值为X。组合D：金额为的现金

2023/5/18

由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：

由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：（9.6）2023/5/18〔2〕有收益资产欧式看跌期权价格的下限（9.7）

我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：

2023/5/18四、提前执行美式期权的合理性

〔一〕提前执行无收益资产美式期权的合理性

1,看涨期权

由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。因此，C=c〔9.8〕2023/5/18

根据〔9.4〕，我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：

（9.9）2023/5/18是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额〔X-S〕、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。美式看跌期权的下限为：2,看跌期权2023/5/18〔二〕提前执行有收益资产美式期权的合理性

1,看涨期权由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：2023/5/182,看跌期权

由于提前执行有收益资产的美式看跌期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：2023/5/18

所谓看涨期权与看跌期权之间的平价关系是指看涨期权的价格与看跌期权的价格，必须维持在无套利时机的均衡水平的价格关系上。如果这一关系被打破，则在这两种价格之间，就存在无风险的套利时机，而套利者的套利行为又必将这种不正常的价格关系拉回到正常水平。下面我们仍然用无套利均衡分析法来推导这一关系。五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系

2023/5/18〔一〕欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系

1，无收益资产的欧式期权考虑如下两个组合：

组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金2023/5/18

在期权到期时，两个组合的价值均为max〔ST,X〕。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：

这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系〔Parity〕。

如果式〔9.10〕不成立，则存在无风险套利时机。套利活动将最终促使式〔9.10〕成立。（9.10）2023/5/18套利时机

市场情况：某投资者刚刚获得如下股票欧式期权的报价，股票市场价格为31美元，3个月期无风险年利率为10％，看涨期权和看跌期权的执行价格都是30美元，3个月后到期。3个月期欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3美元和2.25美元。策略：1，购置看涨期权；2，出售看跌期权；3，卖空一股股票。2023/5/18结果：这个策略给出的初始现金流为：31.00－3.00＋2.25＝30.25美元。将这笔资金按无风险利率投资3个月，3个月末本息和为30.25e0.1*0.25=31.02美元。在3个月末，有如下两种可能：1，如果股票价格大于30美元，该投资者执行看涨期权。即按照30美元价格购置一份股票，将空头平仓，则可获利＝31.02－30＝1.02美元。2，如果股票价格小于30美元，该投资者的对手执行看跌期权。即按照30美元价格购置一份股票，将空头平仓，则可获利＝31.02－30＝1.02美元。2023/5/18练习：

假设同样的市场条件，但3个月期欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3美元和1美元。问是否有套利的时机？假设有，如何构筑套利策略？并分析套利结果。2023/5/182.有收益资产欧式期权（9.11）

在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：2023/5/18〔二〕美式看涨期权和看跌期权之间的关系

1.无收益资产情形2.有收益资产情形2023/5/189.2期权的定价原理一，Black-Scholes期权定价公式〔一〕Black-Scholes模型的假设条件〔1〕期权的标的资产是股票，其现行价格为S。这种资产可以被自由买卖；〔2〕期权是欧式看涨期权，在期权有效期内其标的资产不存在现金股利的支付。其协定价格为X，期权期限为T〔以年表示〕；2023/5/18〔3〕市场不存在交易成本和税收，所有证券均完全可以分割；〔4〕市场不存在无风险的套利时机；〔5〕市场提供了连续交易的时机;〔6〕存在着一个固定的、无风险的利率，投资者可以以此利率无限制地借入或贷出；〔7〕期权的标的股票的价格遵循几何布朗运动，呈对数正态分布。2023/5/18

这就是著名的Black-Scholes微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。

2023/5/18〔二〕Black-Scholes欧式看涨期权定价公式2023/5/18由欧式看涨期权与看跌期权的平价关系，我们很容易推算出具有相同标的资产、相同到期日和相同执行价格的欧式看跌期权的价格。2023/5/18例9.1

考虑一种期权，有效期为6个月，股票价格为42美元，期权的执行价格为40美元，无风险年利率为10％，波动率为每年20％。即S=42，X＝40，2023/5/18并且因此，假设该期权为欧式看涨期权，它的价格为：又因为N〔0.7693〕＝0.7791，N〔0.6278〕=0.7349所以c=4.762023/5/18二、波动率确实定方法

例9.2

假设一只股票当前的价格为30元，6个月期国债的年利率为3％，一投资者购置一份执行价格为35元的6个月后到期的看涨期权，假设在6个月内股票不派发红利。问题：他要支付多少期权费？由题设知：S=30，X＝35，但还需要知道一个无法直接得到的变量：波动率2023/5/18解题步骤：（1）波动率的计算方法一：从股票的历史交易数据中计算波动率。

假设在过去n周里的第t周股票收盘价为St，第t-1周的收盘价为St－1，则第t周的股票复利收益率为那么，周收益率的标准差可用下面的公式计算其中：表示这n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的标准差作为周波动率的估计值。由历史的股价数据，设计算得到此股票的周波动率为0.045。2023/5/18我们取n＝50周，即1年的交易周数，可得年波动率或：方法二：把实际的市场期权价格代入B－S公式而计算出的波动率即隐含波动率。交易员通常从交易活泼的期权中计算隐含波动率，然后利用计算出的隐含波动率来估算基于同样股票的不太活泼的期权的价格。更常见的是，可以同时得到基于同样股票的几种不同期权的几个隐含波动率，然后对这些隐含波动率进行恰当的加权平均就可以计算出该股票的综合隐含波动率。2023/5/18投资者可以通过比照当前市场的波动率与期权的隐含波动率的大小来进行期权交易。如果认为实际的市场波动率高于隐含波动率，那么当前的期权价格被低估了，可以买进期权。反之可以卖出期权。〔2〕计算N〔d1〕和N〔d2〕先计算：2023/5/18然后查正态分布累积概率表，得到和〔3〕计算期权价格C2023/5/18三、B-S公式的基本推广〔一〕有收益资产欧式期权的定价公式〔9.6〕式是针对无收益资产欧式期权的，对于标的资产在期权到期日之前产生收益的情况，我们下面分两种情况给予简单分析。2023/5/181，标的资产产生收益的情况

假设标的资产将在时刻产生已知现值为I的收益，且。这时，标的资产的价值可分解为两个部分：发生在时刻的已知收益的现值部分和产生收益后到T时刻时标的资产的价值的现值部分。其中后一部分是有风险的，记为于是我们可以直接利用（9.6）式来定价了，只要用来代替S即可，

2023/5/182，标的资产产生收益率的情况我们假定在任何时间段dt，标的资产都产生收益qSdt，这等价于在每一刻都将剩余股票价值的比例为qdt的部分分走。以连续复利计算，意味着在期权到期日，还剩下原来资产价值的。所以，在现在时刻t，标的资产的价值由两部分组成：比例为的部分作为收益在到期日T之前发放，剩下比例为的部分是一单位标的资产在到期日T的价值的现值。2023/5/18我们可用来代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解2023/5/18

〔二〕期货看涨期权的定价公式如果标的资产为各种期货合约的话，上述期权定价公式必须做相应修正，因为现货期权与期货期权有着不同的交易规则。为此，我们设F为期货价格，表示期货价格的波动率，其他符号与上述相同，则只要期货价格和标的资产价格一样遵循几何布朗运动的话，就有2023/5/18〔三〕美式期权价格的近似解

假定标的资产在时刻t1有收益，这里t＜t1＜T。美式看涨期权的多头要么在临近时刻t1执行期权，要么在到期日时刻T执行期权。因此，这个美式看涨期权的价值可以近似地看作两个欧式看涨期权中较大的那一个。这两个欧式看涨期权是

1〕时刻t1到期的欧式看涨期权，标的资产无收益；

2〕时刻T到期的欧式看涨期权，标的资产在时刻t1产生现值为I的收益2023/5/189.3期权定价的数值方法——二叉树定价法

在很多情形中，我们无法得到期权价格的解析解，这时，人们经常采用数值方法为期权定价，其中包括二叉树方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法等。2023/5/18一、单步二叉树定价法

〔一〕一个简单案例例9.3假设某只股票当前的市场价格为20元。投资者预期3个月后股价有可能是22元，也有可能是18元。再假设该股票不分红利且无风险利率为10%。投资者打算对3个月后以21元执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值。我们知道，假设到期时股票价格为22元，期权的价值为1元；假设股票价格为18元，期权的价值将是0。如图9.3所示2023/5/18图9.3股票价格与期权价格变动示意图

182022C10在无套利假设下，二叉树期权定价法的基本思路是：首先，以某种方式构造一个只包含股票和期权的无风险证券组合；其次，根据到期日的股票和期权价格得出组合的价值；再次，利用无风险组合的收益率只能是无风险收益率，得出构造该组合的初始成本，于是得出该期权的价格。2023/5/18我们首先假设无风险证券组合里包含一个股股票多头头寸和一单位看涨期权的空头头寸。根据假设，3个月后市场只会出现两种可能结果：股票价格要么上升到22元要么下降到18元。如果股票价格上升到22元，期权的价值为1元，则组合的总价值为；如果股票价格下降到18元，期权的价值为0，则组合的总价值为。因为组合为无风险证券组合，到期日的价值是确定的。这意味着即2023/5/18因此，0.25股股票多头和一单位看涨期权空头就组成一个无风险的证券组合。在期权到期日，组合的价值总是=4.5元。根据无套利均衡原理，

由于当前的股价为20元，假设期权的价格为，则该组合当前的价值为2023/5/18〔二〕一般结论设看涨期权的标的资产的现行价格为S，在期权到期日，标的资产的价格要么上涨至现价的u倍，要么下跌至现价的d倍。这里u>1、d<1，如图9.4所示。

再设当前欧式看涨期权的价值为C、执行价格为X，在标的资产价格的上述两种变化下，其价值分别为、。如图9.5所示。2023/5/18SuSdS图9.4标的资产价格变动

C图9.5

单期看涨期权的价值变动

显然2023/5/18为确定唯一的未知量C，我们构造如下的一个投资组合：〔a〕以价格C卖出一份看涨期权；〔b〕买入h份标的资产。其中h为套期保值比率，其大小是要保证该投资组合成为一个无风险的投资组合。也就是说，不管市场如何变化，该投资组合在到期日是的价值是确定的。建立组合的初始成本是购买股票的成本hS减去卖出期权收到的期权费Ｃ，即。而标的资产价格上涨时，该投资组合的最终价值为；当价格下跌时，该投资组合的最终价值为。2023/5/18因为该投资组合为无风险投资组合。从而有：

即〔9.12〕如果期权的有效期限里的无风险利率为r，则以该组合的当前价值进行无风险投资到期权到期日的收益应和该投资组合的最终价值相等，即有

2023/5/18从而再将h代入，得〔9.13〕

其中〔9.14〕在市场无套利机会存在的前提下，一定有d<1+r<u，从而。另外，还可以看出，只与标的资产价格的上涨或下跌幅度有关，而与某一时刻标的资产价格的大小无关。

2023/5/18例9.4

接着例9.3〔如图9.3所示〕，u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd=0。由〔9.14〕式，我们得出由〔9.13〕式，我们得出

2023/5/18〔三〕风险中性概率如果我们将〔9.14〕式中的p解释为标的资产价格上升的概率，于是1-p就是标的资产价格下降的概率，则标的资产在T时刻的预期值由下式给出再将〔9.14〕式中的p代入上式，化简得2023/5/18〔9.14〕式的p就是的风险中性概率，而〔9.13〕式可以表述为：在风险中性世界里，期权的价值就是其未来预期值按无风险利率贴现的值。根据风险中性假设，风险中性世界里的无套利均衡价格也是真实世界里的均衡价格。因而，上述的二叉树定价法就等价于风险中性定价法。在二叉树定价中也没有用到标的资产价格上升和下降的概率。当然，这并不意味期权定价与标的资产价格上升和下降的概率无关，事实上，标的资产价格未来上升和下降的概率已经包含在标的资产价格中了。2023/5/18

我们可以把一年分成4个3个月、或者12个1个月，或者365天……每一个时点上都对应一个单步二叉树，然后做和单步二叉树定价法相同的工作：建立不同的无风险资产组合或利用风险中性定价法求不同状态下期权的收益，再从最终的结点一步一步逆推，最后计算出初始状态下期权的价格。二、多步二叉树定价法2023/5/18我们先将二叉树从单步推广到两步，然后再推广到多步情形。设标的资产的现价为S，每一期间均可能上涨至原来的u倍，或下跌至原来的d倍。这样，在期权的有效期限内，看涨期限的价值及其变动如图9.6所示：〔一〕两步二叉树定价法2023/5/18SuSdSu2SudSd2S图9.6两步二叉树中的标的资产价格与期权价格变动

C2023/5/18由图很容易得到：

我们将期权到期时标的资产价格的三种可能价位与看涨期权的三种可能价值对应起来，由前面同样的方法，可以求出：

2023/5/18在求出Cu和Cd之后，我们可用相同的方法求出C，即

〔9.15〕

这就是两步二叉树定价公式。

例9.5

假设一只不分红股票，其当前的市场价格为20元，在二叉树中的任一步之间，股价要么上涨10%要么下跌10%。我们假设二叉树中每一步的时间长度为3个月，市场的无风险利率为10%。现在我们对执行价格为21元的欧式看涨期权估值。2023/5/18图9.7标的股票价格与期权价格变动示意图20221824.219.816.2C3.20.00.02023/5/18由题设知，u=1.1，d=0.9，r=0.1，由〔9.14〕式，我们得出将上述所有参数代入〔9.15〕式，可得执行价格为21元的欧式看涨期权的价值为2023/5/18按同样的方法，我们可以把两期的二叉树模型扩展到多期的情况。随着期数的增加，股价变化的可能范围越来越大，越来越接近于实际情况，所以二叉树模型的准确性也越来越高。假设将期权的到期期限分割成n个小期间，