定积分的简单应用李用

演示文稿定积分的简单应用李用目前一页\总数六十页\编于二十二点（优选）定积分的简单应用李用目前二页\总数六十页\编于二十二点1.平面图形的面积:[其中F´(x)=f(x)]AA2.微积分基本定理:一、复习目前三页\总数六十页\编于二十二点因为f(x)在[a,b]内连续是f(x)的一个原函数.又F(x)是f(x)的原函数，∴F(x)=+C.在上式中令x=a,则由得到C=F(a)移项得令即得证明：目前四页\总数六十页\编于二十二点Oxyabyf(x)

x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形面积的负值xyOabyf(x)=-S=s3.定积分的几何意义:目前五页\总数六十页\编于二十二点类型一.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S(2)xyoabc(3)(1)xyo目前六页\总数六十页\编于二十二点练习.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。yx解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：所以：类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解目前七页\总数六十页\编于二十二点类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积Syxoba(2)(1)目前八页\总数六十页\编于二十二点注：目前九页\总数六十页\编于二十二点解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:即两曲线的交点为(0,0),(1,1)oxyABCDO

两曲线围成的平面图形的面积的计算目前十页\总数六十页\编于二十二点求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)(3)确定积分变量及被积函数;(4)列式求解.目前十一页\总数六十页\编于二十二点解:两曲线的交点直线与x轴交点为(4,0)S1S2目前十二页\总数六十页\编于二十二点X型求解法Y型求解法目前十三页\总数六十页\编于二十二点解:两曲线的交点练习目前十四页\总数六十页\编于二十二点解:两曲线的交点于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．练习目前十五页\总数六十页\编于二十二点练习3xy解

所围成的图形如图所示：平面图形的面积。则目前十六页\总数六十页\编于二十二点yox2-2练习4计算：由曲线曲边梯形的面积直线和轴所围成的=-解:目前十七页\总数六十页\编于二十二点练习5如图所示由和所围图形的面积是多少？yox2-2-4解:BDCASABCD--目前十八页\总数六十页\编于二十二点目前十九页\总数六十页\编于二十二点目前二十页\总数六十页\编于二十二点目前二十一页\总数六十页\编于二十二点目前二十二页\总数六十页\编于二十二点定积分在物理中的应用目前二十三页\总数六十页\编于二十二点设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为一、变速直线运动的路程目前二十四页\总数六十页\编于二十二点v/m/st/s10406030OABC解：由速度－时间曲线可知：

例题目前二十五页\总数六十页\编于二十二点法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即目前二十六页\总数六十页\编于二十二点二、变力沿直线所作的功1、恒力作功2、变力所做的功问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:目前二十七页\总数六十页\编于二十二点例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l

米处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力Ｆ(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比即：F(x)=kx所以据变力作功公式有

例题目前二十八页\总数六十页\编于二十二点练一练1.设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？解如图：建立直角坐标系。因为弹力的大小与弹簧的伸长（或压缩）成正比，即比例系数已知代入上式得从而变力为所求的功目前二十九页\总数六十页\编于二十二点目前三十页\总数六十页\编于二十二点目前三十一页\总数六十页\编于二十二点练一练4一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,求:(1)在t=4s的位移;(2)在t=4s运动的路程.,t=4s时刻该点距出发点4/3m(2)t=4s时刻运动的路程为4目前三十二页\总数六十页\编于二十二点

设物体运动的速度v=v(t)(v(t)≥0)

，则此物体在时间区间[a,b]内运动的路程s为1、变速直线运动的路程2、变力沿直线所作的功

物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:

小结目前三十三页\总数六十页\编于二十二点目前三十四页\总数六十页\编于二十二点目前三十五页\总数六十页\编于二十二点目前三十六页\总数六十页\编于二十二点目前三十七页\总数六十页\编于二十二点[通一类]1．一点在直线上从时刻t＝0(单位：s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求：(1)在t＝4s时的位置；(2)在t＝4s时运动的路程．目前三十八页\总数六十页\编于二十二点目前三十九页\总数六十页\编于二十二点1、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),求F(x)所作的功.练一练40J2.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为m/s)的速度运动,求该物体在3~5s间行进的路程.目前四十页\总数六十页\编于二十二点练习：A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段的速度为1.2t(m/s),到C点的速度为24m/s,从C点到B点前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试求:（1）A、C间的距离;（2）B、D间的距离;（3）电车从A站到B站所需的时间。

略解:

(1)设A到C的时间为t1则1.2t=24,t1=20(s),则AC＝(2)设D到B的时间为t2则24-1.2t2=0,t2=20(s),则DB＝（3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）目前四十一页\总数六十页\编于二十二点例2：一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式：确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作用下，沿着r轴方向从r=a到r=b（a<b），求电场力对它所作的功。目前四十二页\总数六十页\编于二十二点解:由题意,所求功为目前四十三页\总数六十页\编于二十二点目前四十四页\总数六十页\编于二十二点目前四十五页\总数六十页\编于二十二点目前四十六页\总数六十页\编于二十二点目前四十七页\总数六十页\编于二十二点目前四十八页\总数六十页\编于二十二点目前四十九页\总数六十页\编于二十二点例3列车以72km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?解:列车速度v0=72km/h=20m/s,设列车由开始制动到经过t秒后的速度为v,则,令v=0,得t=50(s)设列车由开始制动到停止时所走得路程为S,则目前五十页\总数六十页\编于二十二点练习:A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到C点速度达24m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经过ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试求:(1)A、C间的距离;(2)B、D间的距离;(3)电车从A站到B站所需的时间.(1)240(m)(2)240(m)(3)20+20+280=320(s)目前五十一页\总数六十页\编于二十二点目前五十二页\总数六十页\编于二十二点目前五十三页\总数六十页\编于二十二点[研一题][例1]有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．

[自主解答]

(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P移动的路程目前五十四页\总数六十页\编于二十二点目前五十五页\总数六十页\编于二十二点[悟一法]目前五十六页\总数六十页\编于二十二点

[例2]

设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长30cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25cm伸长到40