基于多体动力学的数控机床精建模

主要内容1.多体系统理论建模发展背景及特点简介2.多体系统建模理论的介绍3.多体系统建模理论的应用实例目前一页\总数五十三页\编于二十一点1、多体系统建模理论的发展背景及特点简介发展背景

数控机床空间误差建模先后经历了几何建模法、误差矩阵法、二次关系模型法、机构学建模法、刚体运动学法等几个发展阶段。如今它们仍存在着通用性差、表达困难、易产生认为推导错误等问题。同时现有的数控机床建模方法，对于不同型的数控机床，必须重新建立不同的误差模型，为此耗费了大量的人力和物力。

特点

多体系统理论是解决复杂工程系统运动学问题和动力学问题的科学理论体系，具有很好的通用性和系统性。数控机床是一种能够典型的多体系统。基于多体系统理论，以特有的低序体阵列来描述复杂系统，对数控机床进行误差分析和建模，不仅能全面考虑影响机床加工精度的各项因素以及相互耦合情况，是建模过程具有程式化、规范化、约束条件少、易于解决复杂系统运动问题的优点，非常适宜于机械误差的计算机自动建模。目前二页\总数五十三页\编于二十一点1、多体系统建模理论的介绍多体系统的运动特征分析方法采用齐次列阵表示点的位置和矢量的姿态，在多体系统中建立广义坐标系，将多轴机床抽象为多体系统，将在理想条件下和实际条件下的静态和动态过程中的体间位置和姿态变化以及误差情况作了统一的、完整的描叙，使多体系统误差的分析变得简单、迅速、明了。多体系统运动特征分析方法的特点：1、多体系统几何结构描述方法

用拓扑结构对工程对象进行抽象，用低序体阵列描述拓扑结构中各体之间的关联性，对多体系统建立广义坐标系，用齐次特征矩阵描述广义坐标系中各自坐标系之间相对位置和姿态及其变化。2、多体系统运动特征的描述方法

推导出理想条件下和有误差的实际情况下的多体系统中任意两相邻体之间各种运动状况的各种特征矩阵，在一般零级运动位置方程的基础上推导出一般零级运动姿态方程。3、运动约束描述的方法根据多轴数控机床相关的多体系统的结构约束与相对运动约束以及多体系统相对运动位置方程，进一步推导出了相对运动姿态约束方程。目前三页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍多体系统几何结构描述方法图1.1多体系统拓扑图图中设惯性参考系R为体，选1体为体，然后沿远离的方向，按自然增长数列，从一个分支到另一个分支，一次为各体编号。用以描述多体系统拓扑结构的低序体阵列通过下列定义的的计算公式得到。目前四页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍任选体为系统中任意典型体，体的n阶低序体的序号定义为：式中，L为低序体算子，并称体为体的n阶高序体。它满足：

且补充定义：当体为体的相邻低序体时，有：目前五页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍根据上述定义，可以计算出图1.1多体系统的各阶低序体阵列，例如，对于体4，有,,,,；对于体5，那么，；可以同理计算出其他体的各阶低序体序号。从而得到整个多体系统的低序体阵列如表1.1所示。

表1.1多体系统拓扑结构的低序体阵列目前六页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍典型体的几何描述

设多体系统中的典型体及其相邻低序体如图1.2所示。首先建立广义坐标系，即在惯性体和典型体、上分别建立自己的与体固定联接的静坐标和动坐标系

和，则点相对的位置及其变化表征了典型体相对于体的平移运动情况，右旋正交基矢量组相对于右旋正交基矢量组的姿态及其变化表征了典型体相对于体的旋转运动状况。

图1.2理想条件下典型相邻体和的几何描述目前七页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍

对于坐标系和，我们用矩阵和矩阵来分别描述空间点在各坐标系中静止位置坐标变换和运动位置坐标变化。我们把用以描述理想静止和运动的齐次矩阵称为理想特征矩阵，把用以描述实际静止和运动误差的齐次变换矩阵成为误差特征矩阵。理想运动的变换矩阵1）点的坐标变换

多体系统中的典型体相对其相邻低序体

理想运动等价于两个坐标系（）和（）的理想运动，令三位空间中的点q在两坐标系中的矢量表示分别为和，则两者之间的关系为：式中，为到

的齐次坐标变换矩阵，具有如下结构：

目前八页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍

坐标变化矩阵中左上方的3x3矩阵表示坐标系中的坐标相对其坐标原点旋转，旋转后使该坐标系的坐标轴平行于坐标系中对应的坐标轴。坐标变换矩阵中第四列前三个元素分别等于坐标系的坐标原点

在坐标系中的坐标值。2）平移运动特征矩阵

任意平移运动也可以分解为三个分别沿X、Y、Z轴的基本平移运动。设坐标系由沿其X轴、Y轴和Z轴分别平移、、

得到，则至的三个平移变换矩阵分别为：

（1.3）目前九页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍（1.4）目前十页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍3）旋转运动特征矩阵

多体系统中的典型体相对其相邻低序体的理想转到等价于坐标系相对的转动。设坐标系由绕其X轴、Y轴和Z轴分别旋转、、得到的变换矩阵为：图1.5典型相邻体坐标系之间的相对转动目前十一页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍（1.6）如果坐标系由沿X轴平移，再沿Y轴平移，最后沿Z轴平移得到，则至的变换矩阵为：目前十二页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍（1.7）式中，矩阵称为体间理想平移运动特征矩阵；、和

称为基本理想平移特征矩阵。

如果坐标系由首先绕其X轴旋转，然后绕其新Y轴旋转角，最后绕其新Z轴旋转角得到，则坐标系

至的变换矩阵为：式中，取运算符s=sin，c=cos;（1.8）目前十三页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍矩阵成为体间理想旋转运动特征矩阵；矩阵、、成为理想基本旋转运动特征矩阵。如果坐标系由首先做转动，然后做平动得到，则至的变换矩阵为：式中，矩阵称为体间理想运动特征矩阵。4）实际运动的变换矩阵

如果两相邻体固定连接，显然只有理想固定联接的位姿（位置和姿（1.9）目前十四页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍态）和静止误差引起的静止位姿误差；若两相邻体之间可以作相对运动，则有运动初始时的相对静止和此后的相对运动两种状态，因此除了存在理想的相对静止（运动初始状态）位姿和静止误差引起的相对静止的位姿误差外，还有理想运动位姿以及运动误差引起的运动位姿误差。

用变分理论分析误差变换矩阵，以X轴为例，有两种其本运动，即沿X轴平动和绕X轴的转动，而这两种运动都会产生与其运动量相关的6项误差，下面以X轴为例，分析6项运动误差的特征矩阵，称运动误差特征矩阵。设典型体j相对相邻体i做沿X轴的平动运动的过程中所产生6个误差分别为、、、、、。那么，角误差的变换矩阵为：同理可得到角误差、的变换矩阵如下：（1.10）目前十五页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍角误差、和引起的综合变换矩阵为：（1.11）（1.12）目前十六页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍即：（1.13）式（1.13）中，称为沿X轴平动的角误差特征矩阵。当、

、很小时，可以忽略高阶“无穷小”，有：（1.14）目前十七页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍而线误差、、的变换矩阵为：（1.15）式（1.15）中称为沿X轴平行的线误差特征矩阵。

误差、、、、、引起的综合误差变换矩阵为：有：（1.16）目前十八页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍

同理，可以得到沿Y、Z轴平动以及绕X、Y、Z轴转动的各种误差特征矩阵。而体间运动误差特征矩阵可以由基本运动误差特征矩阵求乘得到。静止状态或固定联接下的各种静止误差特征矩阵参照运动误差的分析过程同样即可得到。

综上所述，将6种理想基本运动特征矩阵及其运动误差特征矩阵列于表（1.17），将固定特征矩阵及其静止误差特征矩阵列于表(1.18)。目前十九页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍目前二十页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍目前二十一页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍

必须指出在机床工作过程中，任意单元的误差也是多种误差因素作用的结果，因此本质上来说单元基本误差也是由各种因素引起的综合误差。可以用公式表示如下：式中，为单元基本误差；

为几何误差；

为热变形误差；

为力变形误差；

为其他误差；

这样，机床各个单元的误差特征矩阵也可以写作相应的改变：

（1.19）目前二十二页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍显然，高序体j的最终位置和姿态（简称位姿）可由低序体i通过如下过程得到：首先设置高序体j相对低序体i一个理想固定位置（即初始位姿），在此基础上设置一个静止误差引起的位姿，得到高序体j相对低序体i的实际初始位姿，然后在高序体j的实际初始位姿基础上设置理想运动，在设置运动误差引起的位姿，从而得到最终高序体j的位姿。根据多体系统中体间的这一几何特性，空间点在子坐标系之间的坐标变换和矢量在子坐标系之间的姿态变换与特征矩阵的乘相对应。因此多体系统中的体间的实际特征矩阵为：式中，称为体间实际位置特征举证；

称为体间实际姿态特征矩阵；图1.21有误差条件下典型相邻体和

几何特征

目前二十三页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍5）多体系统运动学方程

多体系统运动学方程分为：描述位置和姿态的零级运动方程，主要描述速度、角速度的一级运动方程，主要描述加速度和角加速度的二级运动方程，以及主要描述跃变、角跃变的高级运动方程。在精密数控机床的精度分析建模中，由于精密加工中速度的变化和负载的变化都很小，主要需要对静止状态的位置和姿态、运动状态的位置变化和姿态变化进行描述和分析研究，一般只用到零级运动方程，因此我们只研究多体系统的零级运动方程。

理想条件下的零级运动方程：设空间点在子坐标系中的齐次坐标为：

那么，点在静态坐标系中的理想零级运动位置方程的齐次坐标形式为：(1.22）（1.23）目前二十四页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍点在任意子坐标系中的理想零级运动位置方程的齐次坐标形式为：设空间矢量在坐标系中的齐次投影为：那么，在静坐标系中的理想零级运动姿态方程的齐次投影形式为：（1.24）（1.25）目前二十五页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍而在任意动作标系中的理想零级运动姿态方程的齐次投影形式为：（1.26)(1.27)目前二十六页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍实际条件下的零级运动方程

在实际条件下，用多体系统理想运动方程不能准确的描述多体系统的运动状态。由于多体系统的每个单元体受非理想约束的限制，在相对静止和相对运动状态都存在6项基本误差，为了达到精度控制的目的，须建立起与有误差条件相适应的新的多体系统运动方程。为不失一般性，假设多体系统典型j与其相邻低序体的相对运动是转动和平动的合成。在有误差的情况下，转动和平动过程均存在运动误差，典型体j的最终姿态有理想转动和转动误差、理想平动和平动误差确定问题。因此，空间点在静止坐标系中的实际零级运动位置方程的齐次坐标形式为：

空间矢量在静止坐标新中的实际零级运动姿态方程的齐次投影式为：(1.28)(1.29)目前二十七页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍点在任意动坐标系中的实际零级运动位置的方程的齐次坐标形式为：矢量在任意动坐标系中的实际零级运动姿态方程的齐次坐标形式为：（1.30)(1.31)目前二十八页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍6）理想运动的成形函数和运动约束一般形式（1）理想成形运动函数

给成形系统中的每一个单元建立起自己的右旋正交笛卡尔坐标系

（j=0，1，2，、、、，n),设工件所在地坐标系为，刀具所在的坐标系为，床身坐标系为。刀具上成形点在坐标系中的坐标为：

那么，当机床作理想成形运动时，刀具上的成形点在工件坐标系的坐标为：式中带下标“p”的矩阵为机床的理想静止特征矩阵，带下标“s”的为机床相邻部件的理想运动特征矩阵(1.32)(1.33)目前二十九页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍上式即为成形点的理想成形函数的一般形式，显然，它是各个运动部件的运动参数的函数的轨迹将形成理想的的加工轮廓。

在成形运动的过程中，除了刀具上成形点的运动状况备受关注之外，刀具的进刀角度即刀具姿态是另一个受到关注的目标。我们可以用固定在刀具上的矢量来描述刀具在坐标系中的姿态，设重合于刀具的矢量在刀具坐标系中的表达式为：

那么当机床做理想成形运动时，矢量

在工件坐标系的表达式为：

(1.34)(1.35)目前三十页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍

上式就为刀具的理想姿态函数的一般形式。（2）理想成形运动约束

假设根据加工图纸的要求，刀具路线的齐次坐标形式为：

机床成形运动的过程就是通过一定的运动控制策略，使刀具成形点形成的轨迹与刀具路线尽可能吻合。因此理想成形运动是对刀具成形点运动的位置约束为：

既有：

上式即为成形点的理想位置约束方程的一般形式。

若设根据加工工艺确定的刀具姿态为：(1.36）（1.37）（1.38）目前三十一页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍那么，机床作理想成形运动是的刀具姿态约束为：即有：上式即为理想刀具姿态约束方程的一般形式。7）

实际运动的成形函数与运动约束的一般形式

由于各种因素产生的误差影响，机床实际的成形运动轨迹不可避免地会偏离指令运动轨迹，因此按理想条件建立的数控机床的成形运动模型并不能真实反映实际的成形运动状况，需要对实际的有误差加工过程进行分析、研究、，建立起符合实际情况的数控机床成形运动过程模型。（1）实际成形函数

根据对多体系统有误差运动的分析可知：机床的实际成形运动可以看成在理想运动的基础上增加了一个误差运动。因此根据式（1.30）可得到刀具上成形点在工件与刀具坐标系中的坐标关系为：（1.39）目前三十二页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍（1.40）

上式即为成形点的实际成形函数的一般形式，它是各个运动部件的理想运动和误差运动参数的函数，起轨迹形成实际的加工轮廓。上式中的方阵“T”为机床相邻部件的体间实际特征矩阵，它是理想静止特征矩阵（记为）、有误差静止特征矩阵（记为）、理想运动特征矩阵（记为）和有误差运动特征矩阵（记为）四部分的乘积。（1.41）

同理，可以推导出在机床实际成形运动中，矢量在工件坐标系的表达式为：（1.42）上式即为刀具的实际姿态函数的一般形式。目前三十三页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍（2）实际运动约束

在机床实际成形过程中，我们任然希望通过一定的运动控制策略，是刀具的实际轨迹与刀具路线的误差尽可能小，最理想状态是能完全吻合，因此实际成形运动时的刀具成形点的位置约束任然为：将式（1.40）代入，则有：（1.43）上式就是成形点的实际位置约束方程的一般形式。机床实际成形运动中的刀具姿态约束为：将式（1.42）代入，既有：（1.45）上式即为刀具的实际姿态约束方程的一般形式。（1.44）目前三十四页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍（3）多轴机床空间误差模型的一般形式

在机床的实际成形运动中，刀具成形点实际运动轨迹不可避免的会偏离理想运动轨迹。刀具成形点实际运动位置与理想运动位置的偏差为：上式即为刀具成形点的综合空间位置误差一般表达式。误差列阵E反映了刀具成形点在工件坐标系中的实际位置（有误差时）与其理想位置（无误差时）的偏差。同理，若设：（1.46）目前三十五页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍

那么，上式反映了刀具实际姿态偏离理想姿态的程度，它的物理意义是矢量首断重合时的矢量末端偏差，因此是刀具综合空间姿态误差的一般表达式。

若考虑到理想运动衣满足了理想运动约束，可以用式（1.43）和式（1.45）进一步分别写成更简单的形式：（1.47）目前三十六页\总数五十三页\编于二十一点2、多体系统建模理论的介绍（1.49）

以上两式的误差是刀具成形点在工件坐标系中的实际位置与图纸要求之间的误差。（1.48）目前三十七页\总数五十三页\编于二十一点3、多体系统建模理论的应用实例为了方便于多体系统建模理论的介绍，在此采用单点金刚石超精密车床为实例来介绍多体系统建模理论的应用，因为单点金刚石超精密车床结构简单，简化成的多体系统的数量较少，建模过程中所涉及的变量和数学函数也相对较少，因此为我们建模带来了方便。3.1超精密车床成形运动及空间误差建模3.1.1超精密车床的拓扑结构、低序体阵列和特征矩阵

图3.1为超精密金刚石车床加工端面的结构图，图2.5为其拓扑结构。0–床身（工作台）；1–X轴导轨；2–主轴；3–工件；4–Z轴导轨；5–快速刀具或压电陶瓷微进给刀具

图3.1超精密金刚石车床端面快速车削加工的结构示意图目前三十八页\总数五十三页\编于二十一点3、多体系统建模理论的应用实例图3.2超精密金刚石车床的拓扑结构表3.1是超精密金刚石车床的低序体阵列，表3.2为超精密金刚石车床的自由度，它表示机床各单元之间的约束情况，表中“0”表示不能自由运动，“1”表示能自由运动。目前三十九页\总数五十三页\编于二十一点3、多体系统建模理论的应用实例表3.1超精密金刚石车床的低序体阵列表3.2超精密金刚石车床的自由度目前四十页\总数五十三页\编于二十一点3、多体系统建模理论的应用实例3.1.2超精密金刚石车床误差分析

在超精密金刚石车床精度模型中，共有48项误差主要影响了零件的加工精度。这部分误差在超精密机床的总误差中占据了较大的比重，下面首先对它们进行分析：

工件装夹误差：包括6个装夹定位误差和6个装夹变形误差，前者影响加工表面相对基准的位置精度，后者使加工后零件零件由于弹性恢复影响力精度。减少装夹误差的方法是使均匀受力的夹具（如真空吸盘等），尽量少用非均匀受力的夹具（如三抓卡盘、压板等）。主轴误差：包括主轴（C轴）的静态安装误差，主轴与X、Y轴的垂直度误差、；主轴回转运动误差，其瞬时轴线六项误差综合表现为主轴回转误差和主轴径向跳动误差。对于超精密机床而言，由于轴系采用空气或液体静压轴承，一般那来说主轴回转误差是转角的周期函数；主轴径向跳动误差有一部分来自于轴承几何误差，也是转角的周期性函数，而且好包含了主轴的另一项误差——主轴热伸长。导轨误差：两幅导轨共13项误差，超精密金刚石车床X轴、Z轴采用相同结构的气浮或液压导轨，每个轴的两项直线度误差和三项姿态误差都很小，因而对零件精度的影响较小。另外，由于机床单元位置关系（平行目前四十一页\总数五十三页\编于二十一点3、多体系统建模理论的应用实例度或垂直度）误差往往较大，不能将其忽略，X、Z轴的单元位置关系误差——垂直度可作为安装静态误差考虑。④工作台定位误差：对于超精密机床而言，当位置伺服系统的动态性较差时，工作台静态定位误差与动态定位误差相差很大，用静态测量、建模和补偿的方法不能消除工作台的定位误差，也就不能提高零件的轮廓精度，必须考虑工作台定位误差的补偿方法。机床非刚度误差：其大小取决于机床单元刚度和外力大小，超精密金刚石车床气浮主轴和液浮导轨的刚度均大于100N/um，外力包括切削力和不平衡载荷。

除了以上误差外，环境变化（如环境温度变化、外界地基的微振等）对加工精度也有较大的影响。根据上述分析，超精密金刚石车床的特征矩阵如表3.3所示。若将工作台单元取名为w，刀具装夹单元取名为t，除当高序体为工作台单元或刀具装夹单元时采用高序体的单元名“d”表示外，其余采用相邻体的单元名表示。为了简化问题，本例中考虑到超精密金刚石车床X轴、Z轴运动部件的一些静止误差（如安装误差、空气静压导轨和液体静压导轨初始状态的目前四十二页\总数五十三页\编于二十一点3、多体系统建模理论的应用实例波动）或非运动部件的运动误差（如平台固联体）相对很小，表3.3中令其误差特征矩阵为。