CH第节连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量的引入

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.

下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.则称X为连续型随机变量,称f(x)

为X的概率密度函数，简称为概率密度

.二、连续型随机变量及其概率密度的定义有,使得对任意实数,

对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),

连续型随机变量的分布函数在上连续第四节连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量小结三、概率密度的性质1o2o【注】这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件0xf(x)面积为1利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在点x处连续,则有0xf(x)x1x2

故

X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.

若x是f(x)的连续点，则对f(x)的进一步理解:若不计高阶无穷小，有表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.

要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度(取值)，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa(1)连续型r.v取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为连续型r.v的分布函数F(x)是连续的，且请注意:当时得到(2)对连续型r.vX,有由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出由此可以得到如下结论：例2故有解(1瓶)因为X是连涌续型味随机滩变量,例3设随僚机变梦量X的概电率密敬度函粘数为苗：且凭求（1）a,纪b的值雄；（2）解（1）解之忧得（2）1.均匀倾分布则称X在区尖间(a,易b)上服怒从均煤匀分奖布，X～U(a,b)三、策常见租的连口续型扬随机闷变量若r避.v绩X的概葱率密泻度为绞：记作公交叹线路貌上两辆扶公共雅汽车尺前后特通过酬某汽骄车停缩慧车站雄的时坊间，恳即乘奸客的闷候车党时间候等.均匀齿分布竖常见垃于下醉列情钥形：如在典数值以计算违中，诊由于所四舍次五奴入，亿小数学点后树某一架位小坚数引法入的配误差砌；例2某公担共汽尸车站筝从上唯午7时起拌，每15分钟掉来一肃班车负，即7:厕00，7:热15，7:需30搜,穴7示:4煮5等时沉刻有吃汽车去到达犯此站头，如遗果乘润客到姓达此魂站时功间X是7:伴00到7:搂30之间滑的均填匀随凝机变熄量,试求纲他候将车时败间少塘于5分钟判的概交率.解依题摄意，X～U(驱0,讲3段0败)以7:管00为起点0，以严分为计单位为使山候车慰时间X少于5分钟城，乘肥客必死须在7:惨10到7:核15之间坦，或麦在7:摊25到7:剖30之间株到达宜车站.所求溜概率肥为：即乘岸客候羽车时遭间少托于5分钟搜的概汪率是1/初3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，指数傲分布以常用嘱于可类靠性蓝统计巡寿研究具中，刊如元递件的游寿命粗.2订.指数谋分布若r曾.vX具有渠概率垃密度为常数,则称X

服从参数为的指数分布.若X服从液参数患为的指数腰分布,则其分布趟函数为事实株上,当时,当时,例5设某始类日那光灯塞管的潜使用抱寿命X服从坝参数溉为θ=2站00汇0的指萝数分惧布(单位:小时).(1黎)任取射一只午这种间灯管,求能蜓正常虏使用10消00小时魂以上的畏概率.(2供)有一畏只这浴种灯吐管已决经正刮常使续用了10邻00小时梯以上,求还谣能使哨用10傍00小时卫以上返的概告率.X的分体布函斜数为解指数茂分布狸的重汇要性辨质:“无记天忆性”.3.正态吵分布若连珠续型r据.vX的概率辈密度女为其中和(>0)都是常数,则称X服从参数为的正态分布或高斯分布.记作事实备上,函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值；x=μ

σ为f(x)的两个拐点的横坐标；当x→∞时，f(x)→0.f(x)以x轴为渐近线根据尝对密讽度函犹数的拆分析姜，也余可初瘦步画佛出正揉态分呼布的限概率散密度延曲线汁图.决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.

正态分布

的图形特点

设X~,X的分布函数是正态些分布条的分免布函辆数正态旧分布举由它倒的两小个参砖数μ和σ唯一米确定羊，炮当μ和σ不同谢时，剃是不辨同的衡正态牢分布它。标准揪正态丹分布下面舍我们内介绍授一种墙最重睬要的亏正态幕分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：标准亡正态待分布的性腔质:事实煤上,标准帮正态瓦分布男的重般要性在于禁，任航何一亏个一柱般的种正态差分布先都可闪以通桶过线友性变饺换转米化为义标准正态返分布.定理1证Z的分皱布函悠数为则有根据饰定理1,只要惭将标趁准正怪态分浇布的享分布螺函数眨制成狸表，如就可胀以解钳决一微般正慎态分灯布的诸概率亮计算沟问题.于是书末鹊附有前标准到正态俊分布淋函数狼数值袜表，僚有了颤它，闲可以蚕解决播一般轿正态医分布督的概弯率计活算查树表.正态障分布饶表当x<限0时,表中核给的芝是x>0时,Φ(x)的值春.若若X～N(0配,1决),~N(0,1)

则由标范准正特态分马布的悔查表甩计算饰可以咽求得川，这说鸣明，X的取邻值几需乎全墨部集桨中在[-3,拼3]区间内，岸超出追这个浙范围敢的可准能性么仅占雅不到0.勿3%.当X～N(0惯,1沿)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743准则将上洗述结乱论推殖广到朝一般盾的正苹态分吵布,可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”.~N(0,1)

时，标准正态分布的上分位点设若数满足条件则称点为标准正态分布的上分位点.解P(X≥假h)≤宜0.月01或P(X<h)≥0.芝99，下面帅我们印来求俭满足斤上式殊的最锐小的h.应用月正态探分布笑的例袜子:例6公共魔汽车扔车门论的高藏度是怠按男棚子与挤车门请顶头精碰头连机会汽在0.悦01以下吐来设涝计的.设男螺子身扮高X～N(17配0,62),问车志门高隶度应炉如何它确定?设车壶门高征度为hcm,按设左计要要求因为X～N(17峰0,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184设计垂车门限高度盖为18量4厘米虑时，蔽可使男子避与车部门碰杜头机会迹不超引过0.行01.P(X<h)0.99求满足的最小的h.所以.例7某地税抽样乔调查堡结果凯表明,考生织的外泥语成跌绩近默似服服从正依态分避布吨，嫂且96分以佣上的签占考卫生总纺数的2.骆3%迷,试求照考生册的外趟语成指绩在60篇~8稿4分之锦间的腥概率.例8某班数学统考成绩近似服从正态分布,第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多