第章 静定结构的位移计算

第14章静定结构的位移计算14.1概述14.2虚功原理和单位荷载法14.3静定结构在荷载作用下的位移计算14.4图乘法14.5静定结构由于支座位移所引起的位移14.6几个互等定理第14章静定结构的位移计算学习目标通过本章的学习，熟悉虚功原理和单位荷载法；掌握图乘法；能够进行静定结构在荷载作用下的位移计算。14.1.1杆系结构的位移（1）结构位移的定义

结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。

14.1概述A点的线位移水平线位移竖向线位移截面A的角位移

（2）位移的分类位移线位移：截面形心的直线移动距离角位移：截面的转角位移相对位移绝对位移广义位移

除荷载外，温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素，也将会引起位移

（3）引起位移产生的原因14.1.2

计算位移的目的（１）验算结构刚度，即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。（２）为超静定结构的计算打下基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需考虑变形协调条件，因此需要计算结构的位移。（３）在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。14.2虚功原理和单位荷载法14.2.1

变形体的虚功原理

功是力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传递和转换能量的量度。

力在自身引起的位移上所作的功称为实功。力Fp1在位移

11上作的实功当静力加载时，即：FP1由0增加至FP1

11

由0增加至

11W11=FP111

虚功是力在其他因素引起的位移上作的

特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新的弯曲。位移

12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1方向的位移。力FP1在位移

12

上作了功，为虚功，大小为

W12=FP112

在小变形条件下，12由图示的原始形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，FP1单独作用的状态为虚功计算的力状态。

当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功。虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。14.2.2

单位荷载法（1）结构位移定义

定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。（2）计算结构位移的一般公式K+RiCi=++式中，

=1则

K=d++NQ—

RiCi

对于实际状态，微段的变形与内力的关系如右图所示。经进一步推导，可得

式中，按等内力、等截面分段积分求和。设虚拟状态，用上式计算结构指定位移的方法称为单位荷载法。14.3静定结构在荷载作用下

的位移计算14.3.1静定结构在荷载作用下的位移公式（1）静定结构在荷载作用下的位移公式

如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移Ci＝0，位移公式则为对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为弯矩的影响轴力的影响＋剪力的影响曲率的影响图a所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5，曲杆B端形心在竖向荷载FP作用下的竖向线位移由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组成：

设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注意矩形截面的不均匀系数=1.2，计算结果为式中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四部分之比M

:

N:Q:

r=1200:1:3:2

=（2）各类杆件结构在荷载作用下的位移公式（1）梁和刚架梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度（2）桁架各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式（3筛）组壤合结帮构既有储梁式魂杆，柄又有缝链杆隙，取兽用公播式中外的前料两项（4仅）拱一般冷计轴隙力、碑弯矩煌的影硬响，艳剪切锈变形牙的影狼响忽卫略不最计（3状）虚拟节状态煎的选贪取欲求鼻结构甜在荷裳载作五用下稼的指开定位导移，手须取迎相应兽的虚拟悄状态。即辉取同滚一结畅构，冶在要税求位万移的蹦地方动，沿愚着要幕求位司移的累方位屡虚加季单位脖荷载眼：1）负欲求习一点留的线位摘移，加胁一个滤单位职集中润力2）葛欲求串一处况的角位决移，加始一个困单位亮集中海力偶3）搂欲求牙两点去的相对盲线位愁移，在耳两点巷的连育线上筋加一驶对指狼向相险反的纪单位垦集中肿力4）点欲求哭两处铜的相对绿角位富移，加壶一对纱指向季相反妖的单罢位集萝中力告偶5）翻欲求垂桁架全某杆胸的角位李移在泊杆的蠢两端乎加一慌对平佩行、疤反向袖的集梳中力动，两饼力形祖成单舌位力臣偶。力酿偶臂费为d史，持每一付力的顿大小托为1趋/d力和比力偶志统称广为广纳义力算，单位黄广义惠力用=1表示线位股移和匆角位届移统坡称广义另位移，用羽⊿表留示单位王广义标力有健截然渐相反碧的两卷种设向向，蔑计算温出的头广义寸位移灿则有于正负咐之分抬：正值秃表示川广义遵位移知的方烂向与汇广义剧力所薯设的辅指向坑相同负值疗表示救广义阴位移猎的方肃向与破广义节力所支设的候指向却相反计算谁步骤那为（1性）设贵虚拟渠状态贱；（2岗）计亩算,FNP;（3祥）用盏桁架膛的位费移计尸算公循式计桌算位表移。【例1否4-1】图示寺桁架萝各杆狐的E找A相叨等，弦求C纯结激点的箭竖向主位移vc14乞.3渣.2婶静院定桁果架的挂位移晚计算【解】（1里）设先虚拟祸状态陕（如逼上图判b所貌示）（2裙）计允算N和FNP（标于驼上图即b挣.a旨）（3炸）代趋公式红求C桨点的终竖向都位移【例1凶4-2燥】图示蹄钢桁址架，甚图中手括号芳内数随值为凡杆件鸡横截振面面御积（餐单位即cm至2欲）。母许可挡挠度总与跨副长的液比值，试校企核桁程架的衔刚度既。【解】对称沙简支初桁架衡在对桶称荷粒载作姑用下毅，最张大挠榨度发荐生在看桁架树的对悄称面预处。须计削算结丹点3笨的竖勿向位坦移，驴然后煮进行候刚度厉校核喊。1）棋建立钥虚拟拴状态耕（如坦图b股所羡示）2）计窜算N和FNP，并磁标于们图b填、a士上3）杜求3稀点的劈燕竖向普位移次，进谋行刚屯度校饮核计算猜半个升桁架汇的，列障表如治下:杆件编号/mmA/mm2/(1/mm)FNP/NN上弦6-76000100000.6-750000-0.75337500下弦1-312000100001.2+600000+0.375270000斜杆1-610000125000.8-1000000-0.625500000斜杆3-61000050002250000+0.625312500竖杆2-600

竖杆3-7001420000根据专上表优，得<所以烟，桁贵架满掉足刚静度条垒件（1）梁的胞位移挠度押：横截盼面形烟心在悲垂直庄于轴竹线方央向的亚线位右移用w苏表甲示，规定焰w胜向下蛋为正年。转角狼：横截遥面的辣角位碗移，规偏定顺孙时针考转为衰正14蛋.3巨.3扯梁有的位圾移及桐刚度宝校核在工才程设槐计手刮册中苏列有熔常见亭梁的天位移旗的计扯算结哪果（病如表岂11冒.1响所示榴），晒可供秤计算眼时查殖用。表1拦1.继1傻梁的扎挠度雨与转跨角公摆式荷载类型转角最大挠度1.悬臂梁集中荷载作用在自由端2.悬臂梁弯曲力偶作用在自由端续表时3.悬臂梁均匀分布荷载作用在梁上4.简支梁集中荷载作用跨中位置上－时--（在处）5简支梁均匀分布荷载作用在梁上6简支梁弯曲力偶作用在梁的一端续表-（2）梁的仪刚度社校核梁的蚊位移诞过大拿，则版不能架正常盘工作对于结梁的底挠度皱，其医许可吗值以疫许可暖的挠拆度与布梁跨骡长之狼比为标冲准在工壶程上下，吊丘车梁拍的＝1/撤60纯0铁路不钢桁座梁的瓜＝想1/奔90蹈0梁的秃刚度伴条件批为:【例1善4-3】图示谁简支妥梁由榆工字犬钢制鼻成，辟跨功度中插点处皱承史受集漠中载攀荷Fp。已知Fp=4带0K墨N，仗跨度=3倡m，许贝用应糟力=1苦60舅MP画a，许银用挠字度[w搏]=/5稀00，弹性模量E=铁2×105MP溜a，试检选择虾工字代钢的改型号距。【解】（1锣）按猎强度悄条件傻选择冻工字朋钢型其号梁的原最大上弯矩泳为：＝按弯劫曲正料应力容强度探条件谅选截叶面查型柳钢表丝式选用锡20考a工语字钢杏,其怪弯曲新截面栽系数蔬为2惕37届cm哲3，邮惯性腾矩I饼=2厌37训0c弱m4（2钻）校仅核梁似的刚沉度=4来.7分5m尼m<痕[]=梁的毒刚度碰足够所以淋，选渣用2第0a将工字恭钢（3）提高摊梁抗今弯刚怕度的员措施梁的外挠度滴和转渗角与裙梁的抗弯疯刚度粗EI、梁的贵跨度虑L情、荷趋载作用慎情况笋有关校，那双么，篇要提浇高梁忌的抗炒弯刚经度可辫以采熊取以推下措渠施：增大威梁的套抗弯拥刚度捧EI增大婶梁的脾EI秃值主鉴要是晋设法荒增大舍梁截龄面的哨惯性除矩I亦值井，一箭般不嗓采用而增大河E咱值的纱方法披。在截蜘面面横积不扣变的仁情况耍下，月采用津合理留的截荡面形畏状，僻可提锦高惯迁性矩圾I椅。（2喂）减汉小梁杯的跨缘瑞度L梁的冠变形喊与其呼跨度水的n蒸次幂围成正已比。语设法榜减小驶梁的蔑跨度侄L袋，将划有效蓄地减禽小梁示的变叛形，系从而家提高船其刚休度。红在结绪构构匙造允兆许的夺情况圣下，辅可采刺用两汁种办势法减厌小L计值闪：①增虏加中碰间支台座而②两始端支捕座内匪移如图忽所示厌，将疾简支饥梁的杨支座拘向中华间移炒动而挡变成丧外伸被梁，蝇一方横面减小谋了梁燥的跨寨度，从共而减澡小梁弟跨中衔的最估大挠竿度；锹另一钩方面率在梁外摧伸部膏分的久荷载堂作用下，做使梁揪跨中僻产生浸向上分的挠另度（孤图c鲁），廉从而缺使梁企中段逐在荷餐载作夺用下河产生备的向钩下的业挠度杰被抵隔消一示部分版，减雁小了困梁跨辈中的蠢最大障挠度勉值。(3磨)武改善称荷载孝的作埋用情态况在结蜜构允恋许的炼情况捎下，缘瑞合理茂地调烟整荷册载的顽位置歉及分少布情胞况，担以降禁低弯量矩，丧从而芳减小财梁的斥变形义，提堤高其浩刚度烟。如蒙图所臂示，亮将集中袍力分获散作杯用，刃甚至背改为句分布缘瑞荷载啦，则陈弯矩剂降低技，从猾而梁纠的变针形减晋小，浇刚度帅提高勒。（1）图乘喉法的侍适用嫁条件剩：（1菊）杆绍段的文轴线逆为直溉线（2括）杆艇段的朝弯曲常刚度症EI软为常倍数直梁脊和刚故架的攀位移矛公式伍则为(3光)帐MP图和图中患至少惊有一耗个直些线图燃形14封.4加图叙乘砖法14捎.4阁.1龟图洞乘法吼原理（２）图乘嫌法原串理图乘琴法求谜位移巴的一严般表蹦达式锅为注意宝：[1灵].靠应壁取自但直线昨图中[2馒].疾若客与在杆诱件的卖同侧耐,取正和值;夏反之些,取稼负值[3鬼].雁如蛮图形窃较复万杂，煌可分奸解为骄简单第图形荡.（3）图乘城法的贷步骤(1内).帆设虚争拟状映态；(2匹).甚画图。图；(3瞒).傻图乘掩求位吼移下面公介绍崇几个盖规则炕图形醉的面龄积和炎形心各位置（4）图形疗的分归解当图们形的盏面积障和形今心不灵便确渴定时次，可昨以将滤其分呈解成塌几个狡简单蝴的图列形，跑分别单与另风一图欣形相陡应的怠纵坐碑标相挽乘。梯-泪梯同算侧组蚀合：梯-拨梯同竹侧组会合：梯-喜梯异气侧组事合由区斤段叠清加法计作的亦弯矩凝图艳，其挣弯矩针图可帜以看沙成一展个梯哨形和表一个逮规则透抛物秒线图陡形的腾叠加贫。曲-瓶折组塞合阶梯程形截喊面杆下面沸举例瓣应用粪图乘畏法求勺直梁斗和刚苍架的文位移【例1兼4-4】迹试懒求图尝a所栏示外钳伸梁毫C点糕的竖伙向位听移CV。梁鸽的EI袜=常纺数14侍.4质.2悠图乘消法计播算直印梁和杀刚架悲的位耀移【解】MP、图分言别如牧图讨(b孕).灿(c删)所科示。BC庙段房诚的M掠P图厦是标汽准二吴次抛顶物线磁；AB牲段的金MP余图较贝复杂僻，但可技将其径分解停为一宋个三骄角形以和一候个标元准二识次抛鼻物线拍图形谱。由图作乘法耽得代入保以上皆数据臂,于蜂是【例1非4-2疮】志试求备图a革所示舌伸臂车梁C跟点的迟竖向答位移搅c刷v茅。设EI陆=【解】荷载犁弯矩宏图和住单位喝弯矩失图如某图钢b镇c所刊示。在A使B段男,监MP叹和图均垮是三仆角形济；在B场C段慢，M对P图可看父作是泽由B曾.C多端食的弯点矩竖姐标所祥连成疯的三句角形与相丝式应简辛支梁扇在均恢布荷讲载作释用下抱的标轰准抛描物线图[蜻即图殊b中碑虚线技与曲至线之绳间包丸含的券面积筒叠加借而成春。将上惕述各陈部分汗分别闸图乘寇再叠等加，眠即得【例1蜻4-6】试求顷图赤(a狂)所章示刚绩架结初点B便的水伸平BH。位移设各狡杆为自矩形光截面罗，截众面尺胆寸为b掉xh凡，惯蒜性矩l=,E为常外数，阴只考虑毒弯矩典变形寒的影陕响。【解】：先作们出MP图和图,分别前如图(b刚)罗(c皆)所示邻。应用骗图乘诊法求巷得结文点B枝的水些平位彩移为盏：静定牛结构筹由于握支座下移动啄并不价产生泼内力区也无态变形翠，只挥发生删刚体宫位移捷。如图耕a垂所示婚静定喝结构砖,其么支座发生牵水平惊位移延C1戏、扎竖向蛇位移潮C2孙和逼转角的C3肺，现要偶求由铺此引麦起的冬任一透点沿晃任一晌方向持的位阿移，旦例如攻求k革点竖振向位存移K。14配.5幸静甲定结瘦构由鄙于支锹座位牲移殿所引易起的嚼位移这种嫁位移搬仍用卧虚功壁原理练来计占算。西由位附移计圣算的辣一般言公式因为晕从实笔际状趟态中甚取出师的微甚段d英s的芬变形备为d=d哨u=于是荣上式浅可简隙化为K=-Ci－这就驱是静沃定结汁构在坛支座印位移溜时的伐位移徐计算狐公式赠。式中为虚瞒拟状须态图况b的域支座办反力俊，Ci甩为实改际状因态的钥支座滴位移仰，Ci斥为反袍力虚蛇功。当与实档际支刚座位次移C刑i糊的方刃向一致时雕其乘旱积取仅正，搁相反飞时取负。此外璃，上式碧右边死前面奋还有一裳个负标号，辉不可始漏掉。【例1朽4-7】图嗓(a纷)所址示静穷定刚造架，旋若支奋架A配发生喉图示排的位尿移:a醋=1稼.0岸cm思,b捏=1烤.5册cm.cH、竖无向位狗移Cv。试求扇C点么的水抹平位宵移【解】：在C甩点采处分耳别加胳一水笼平和北竖向咱的单功位力四，求阔出其惑支座搭反力纤如图能(旗b)直(劈燕c)偷所会示。由公刺式－K=-Ci得：cH=-匆(1蜂×1强.0堡-1描×1穴.5滚)=邻0.红5c叶mcv=-养1.偷5×怨1=剥-1才.5龟cm图示抄结构识的两斗种状集态，层分别扫作用克FP1和FP2，称之患为第浸一状院态和涛第二债状态四。14歇.6驼几个芒互等企定理14跟.6字.1凉功互廊等定碧理虚功姐W12为虚功杰W嚼21辱为比较御，得W12=W21即一般赢形式妙为因此那得到疾功的谣互等闷定理缠：第一拆状态胞的外润力在霸第二对状态弃的相站应位训移上誓所作圆的外仆力虚领功，维等于都第二盏状态班的外泡力在度第一障状态滩的相西应位深移上宵所作精的外橡力虚贩功。条件捐：在嘱结构旦的两守种状衡态中漠都只作锹用一披个嫂荷载血，馅且为迟单位凳荷载姐。单位妇荷载盗所引霜起的