山东省枣庄八中东校2022-2023学年高三联考（六）数学试题

山东省枣庄八中东校2022-2023学年高三联考（六）数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.1472．若变量，满足，则的最大值为（）A．3 B．2 C． D．103．双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．4．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④5．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是A．10 B．9 C．8 D．76．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（）A．4 B．6 C．3 D．87．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（）A． B． C． D．8．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（）A． B． C． D．9．若时，，则的取值范围为（）A． B． C． D．10．复数的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知向量，，，若，则（）A． B． C． D．12．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.14．某大学、、、四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为、、、，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取人调查毕业后的就业情况，则专业应抽取_________人．15．展开式中的系数为_________.（用数字做答）16．将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知中，内角所对边分别是其中.（1）若角为锐角，且，求的值；（2）设，求的取值范围.18．（12分）在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，点M、N分别是、的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.19．（12分）在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围.20．（12分）如图，底面是等腰梯形，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的正弦值．21．（12分）已知数列满足且（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.22．（10分）曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点（异于原点），求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知：.故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题2、D【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：如图点坐标分别为，目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．3、C【解析】

根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程是.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．4、A【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.5、B【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度，都大于0，由基本不等式可知，此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．6、A【解析】

根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；利用定义可证明函数的单调性，由赋值法即可求得函数在上的最大值.【详解】函数的定义域为，且，则；任取，且，则，故，令，，则，即，故函数在上单调递增，故，令，，故，故函数在上的最大值为4.故选：A.【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.7、C【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此时要输出的值为99.此时.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.8、A【解析】

由已知可得，根据二倍角公式即可求解.【详解】角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.9、D【解析】

由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.【详解】由题得对恒成立，令，在单调递减，且，在上单调递增，在上单调递减，，又在单调递增，，的取值范围为.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.10、C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.11、A【解析】

根据向量坐标运算求得，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】，，解得：故选：【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则.12、D【解析】

过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为，，所以，即过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故选：D．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、40【解析】

设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为，，，等比数列的各项为正数，，，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14、【解析】

求出专业人数在、、、四个专业总人数的比例后可得．【详解】由题意、、、四个不同的专业人数的比例为，故专业应抽取的人数为．故答案为：1．【点睛】本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的．15、210【解析】

转化，只有中含有，即得解.【详解】只有中含有，其中的系数为故答案为:210【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16、【解析】

讨论装球盒子的个数，计算得到答案.【详解】当四个盒子有球时：种；当三个盒子有球时：种；当两个盒子有球时：种.故共有种，故答案为：.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理直接可求，然后运用两角和的正弦公式算出；（2）化简，由余弦定理得，利用基本不等式求出，确定角范围，进而求出的取值范围.【详解】（1）由正弦定理，得：，且为锐角（2）【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出平面即可；（2）求出点A到平面的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.【详解】（1）连接，由是平行四边形及N是的中点，得N也是的中点，因为点M是的中点，所以，因为，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）过A作交于点O，因为平面平面，平面平面，所以平面，由是菱形及，得为三角形，则，由平面，得，从而侧面为矩形，所以.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.19、（1）（为参数），；（2）【解析】分析：（1）直线的参数方程为（为参数），其中表示之间的距离，而极坐标方程可化为，从而的直角方程为.（2）设，则，利用在圆上得到满足的方程，最后利用韦达定理就可求出两条线段的和.详解：（1）直线的参数方程为（为参数）.曲线的极坐标方程可化为.把，代入曲线的极坐标方程可得，即.（2）把直线的参数方程为（为参数）代入圆的方程可得：.∵曲线与直线相交于不同的两点，∴，∴，又，∴.又，.∴，∵，∴，∴.∴的取值范围是.点睛：（1）直线的参数方程有多种形式，其中一种为（为直线的倾斜角，是参数），这样的参数方程中的参数有明确的几何意义，它表示之间的距离.（2）直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.20、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先证明四边形是菱形,进而可知,然后可得到平面,即可证明平面平面;（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为点为的中点,,所以,因为,所以,所以四边形是平行四边形,因为,所以平行四边形是菱形,所以,因为平面平面,且平面平面,所以平面.因为平面,所以平面平面.（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知AC,BE,OP两两垂直,故以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD是等腰梯形,,所以四边形ABCE是菱形，且,所以,则,设平面ABF的法向量为,则,不妨取,则,设平面DBF的法向量为,则,不妨取,则,故.记二面角的大小为,故.【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.21、（1）；（2）【解析】

（1）根据已知可得数列为等比数列，即可求解；（2）由（1）可得为等比数列，根据等比数列和等差数列的前项和公式，即可求解.【详解】（1）因为，所以，又所以数列为等比数列，且首项为，公比为.故（2）由（1）知，所以所以【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等