数学模型概论1市公开课金奖市赛课一等奖课件

数学模型

主讲：王秀莲张东丽（理论）黄渊丰（软件、实践）第1页第1页教材及主要参考书姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版).高等教育出版社.徐全智，杨晋浩.数学建模（第二版）.高等教育出版社.

（新西兰）MarkM.Meerschaert著.刘来福，杨淳，黄海洋译.数学建模办法与分析（原书第二版）.机械工业出版社.刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社.雷功炎.数学模型八讲.北京大学出版社.第2页第2页数学建模发展史美国从1938年以来，在大学生中举行了50多届普特南(Putnam)数学竞赛，这项竞赛对培养青年数学家有主动作用，但弗萨罗教授发觉这项竞赛有三个问题：一是过于纯正，而大多数学生将从事各种领域应用问题；二是不能用计算工具，不能看参考书，与时代发展，与真正科研条件不同；三是个人独立做，而当代科学研究往往要一个团体合作进行。第3页第3页于是他和一些见解相同同行发起，在1985年举办了美国大学生首届数学建模竞赛(MathematicalCompetitioninModeling)，1988年后改称为MathematicalContestinModeling，均缩写为MCM，以后每年举办一次，它吸引了世界上许多国家和地域大学生参与。第4页第4页自1989年以来，我国学生还积极参与美国大学生数学建模竞赛，近年来我国参赛队数靠近于其总数三分之一，并且还取得了较好成绩，充足展示出我国大学生智慧和创造性。我国大学生数学建模竞赛是从1992年开始，由中国工业与应用数学学会举办。这一新生事物从一开始就受到广大师生欢迎和各级教育部门关怀与注重。并从1994年起改由教育部高教司和中国工业与应用数学学会联合举办，并成立了全国组委会来详细组织竞赛。第5页第5页课程简介

数学建模当前我国高等教育基础课程教学改革前沿课程之一。它为学生正确理解数学教育主要性以及数学学科与其它诸多专业课之间内在联系有着非常主要作用，它是学生在学期间弥合基础理论与各应用学科之间鸿沟一座桥梁。第6页第6页建模竞赛题目A题储油罐变位辨认与罐容表标定B题上海世博会影响力定量评估C题输油管布置D题对学生宿舍设计方案评价第7页第7页1.现实状况:

数学建模是一门新兴学科，20世纪70年代初诞生于英、美等当代工业国家。在短短几十年历史瞬间辐射至全球大部分国家和地域。

80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，伴随数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）开展，这门课越来越得到注重，也深受广大学生爱慕。第8页第8页原因：一是由于新技术尤其是计算机技术飞速发展，大量实际问题需要用计算机来处理，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。二是社会对大学生要求越来越高，大学生毕业后要适应社会需求，一到工作岗位就能创造价值。第9页第9页2课程特点很强实用性：教材内容来自于实际。知识广泛性：依赖于各方面基础知识。内容趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。教学方式多样性：教师讲授方式，小组讨论方式，学生汇报方式，课堂教学方式等。第10页第10页3教学目培养学生处理实际问题综合能力。1）“双向翻译”能力2）利用数学思想进行综合分析能力3）结合其它专业尤其是应用计算机处理问题能力4）观测力和想象力5）提升撰写科研论文能力6）团结协作精神第11页第11页数学模型：1）近藤次郎（日）定义：数学模型是将现象特性或本质给以数学表述数学关系式。它是模型一个。2）本德（美）定义：数学模型是关于部分现实世界和为一个特殊目的而作一个抽象简化数学结构。3）姜启源（中）定义：是指对于现实世界某一特定对象，为了某个特定目的，依据特有内在规律，做出一些必要简化和假设，利用适当数学工具得到一个数学结构。第12页第12页数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与办法数学问题。总之，数学模型是对实际问题一个抽象，基于数学理论和办法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物本质属性与其内在联系。第13页第13页数学建模过程航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用分别代表船速、水速，能够列出方程解方程组，得答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时。第14页第14页当然，实际问题数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型基本思想已经包括在解这个代数应用题过程中了。那就是：依据建立数学模型目的和问题背景做出必要简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求未知量（x，y代表船速和水速）；利用相应物理或其它规律（匀速运动距离等于速度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程）；求出数学上解（x=20，y=5)；用这个答案处理问题（船速和水速分别为20km/h和5km/h)；最后还要用实际现象来验证上述结果。第15页第15页数学建模过程现实对象信息数学模型解答现实对象解答数学模型表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型关系第16页第16页建立数学模型办法和环节1、办法机理分析法：以典型数学为工具，分析其内部机理

规律。统计分析法：以随机数学为基础，通过对统计数据进行分析，得到其内在规律。如：多元统计分析。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题研究办法。把定性思维和结论用定量手段表示出来。如：层次分析法。第17页第17页数学建模示例

建模示例之一椅子稳定性问题

问题：将四条腿同样长正方形椅子放在不平地面上，是否总能设法使它四条腿同时着地，即放稳？事实上：将四条腿同样长正方形椅子放在不平地面上，通常只有三只脚着地，方不稳，然而只要稍微挪动几次，就能够使四只脚同时着地，放稳了。如何用数学工具来证实？第18页第18页假设

1）地面为光滑曲面；

2）相对地面弯曲程度而言，椅子腿是足够长；

3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面接触视为几何上点接触；

4）椅子中心不动。第19页第19页xyAABBCCDDO2建模分析表示A,C与地面距离之和表示B,D与地面距离之和则由三点着地，有不失普通性，设初始时：表示椅子绕中心旋转角度第20页第20页假设：是连续函数，且对任意，求证：至少存在，使得数学模型数学命题：第21页第21页4模型求解证实：将椅子转动，对角线互换，由可得令由连续性，依据介值定理，在中至少存在一点,使得,即又因此结论：能放稳。第22页第22页思考题1：长方形椅子会有同样性质吗？第23页第23页建模环节模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检查模型应用第24页第24页1）模型准备：理解问题实际背景，明确建模目，掌握对象各种信息如统计数据等，弄清实际对象特性。有时需查资料或到相关单位理解情况等。建模环节第25页第25页2）模型假设：依据实际对象特性和建模目标，对问题进行必要地合理地简化。不同假设会得到不同模型。假如假设过于简朴可能会造成模型失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物体重问题”；假如假设过于详细，试图把复杂实际现象各个原因都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题主要方面和次要方面，抓主要原因，尽可能将问题均匀化、线性化。第26页第26页3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题本质，简化变量之间关系；要有严密数学推理，模型本身要正确；要有足够准确度。4）模型求解：能够包括解方程、画图形、证实定理以及逻辑运算等。会用到老式和近代数学方法，计算机技术（编程或软件包）。尤其地近似计算办法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。第27页第27页6）模型检查：把模型分析结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检查模型合理性和适应性检查结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中也许发觉新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决议控制。第28页第28页模型分类1）按变量性质分：离散模型拟定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型2）按时间改变对模型影响分静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型第29页第29页3）按模型应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城乡规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型数学办法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。第30页第30页5）按建模目分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构理解程度分白箱模型：其内在机理相称清楚学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚现象，如生命科学、社会科学等。第31页第31页练习1某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中同一时刻通过路径中同一地点。为何？AB甲乙第32页第32页37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场每两支球队中胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？共进行多少轮？假如是n支球队呢？普通思维：第33页第33页逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。共进行6轮比赛。n队需要n-1场比赛若，则需要k轮。第34页第34页3某人家住T市在他乡工作，天天下班后乘火车于6时到达T市车站，它妻子驾车按时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半到达T市车站，随后步行回家，它妻子像往常同样驾车前来，在半路上碰到他接回家时，发觉比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？车站家5：30相遇早10钟5分钟5分钟6：005：55共走了25分钟。第35页第35页甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人天天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先通过丙站那趟车，结果发觉100天中约有90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲乙两站电车通过丙站时刻表是如何安排？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09x=8:098:098:19第36页第36页一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反两所学校上学，天天同时放学后分别以4km/h和2km/h速度步行回家。一小狗以6km/h速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？假如男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？第37页第37页6某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，以下图。问走那条路最近？（用尽也许简朴方法求解。）dAB河第38页第38页思考题

思考题1长方形椅子稳定性问题第39页第39页oxyABCD思考题1长方形椅子稳定性问题表示A,B与地面距离之和表示C,D与地面距离之和则由三点着地，有ACABCD第40页第40页讨论题1大小包装问题在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品廉价这种现象吗？比如洁银牙膏50g装每支1.50元，120g装每支3.00元，两者单位重量价格比是1.2:1，试用百分比办法结构模型解释这种现象。（1）分析商品价格C与商品重量w关系。（2）给出单位重量价格c与w关系，并解释其实际意义。第41页第41页提醒：决定商品价格主要原因