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文档简介

湖北省名校2023届高三下学期期中考试数学试题(理解析)试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=R,集合,则()A. B. C. D.2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为()A. B. C. D.3.已知函数为奇函数,且,则()A.2 B.5 C.1 D.34.已知函数,其中,若恒成立,则函数的单调递增区间为()A. B.C. D.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中的最长棱长为()A. B. C. D.6.已知斜率为2的直线l过抛物线C:的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点M的纵坐标为1,则p=()A.1 B. C.2 D.47.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.8.一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件进价元,乙每件进价元,甲商品每卖出去件可赚元,乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益,则购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件9.设,满足,则的取值范围是()A. B. C. D.10.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,程序运行输出的结果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.811.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为()A. B. C. D.12.已知命题:,,则为()A., B.,C., D.,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的余弦值为__________.14.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a=_______.15.已知抛物线的焦点为,直线与抛物线相切于点,是上一点(不与重合),若以线段为直径的圆恰好经过,则点到抛物线顶点的距离的最小值是__________.16.设等差数列的前项和为,若,,则数列的公差________,通项公式________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)椭圆:的左、右焦点分别是,,离心率为,左、右顶点分别为,.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、(不与点、重合),直线与直线相交于点,求证:、、三点共线.18.(12分)已知椭圆C的离心率为且经过点(1)求椭圆C的方程;(2)过点(0,2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B,以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上,求直线l的方程.19.(12分)已知抛物线的焦点为,直线交于两点(异于坐标原点O).(1)若直线过点,,求的方程;(2)当时,判断直线是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.20.(12分)己知,,.(1)求证:;(2)若,求证:.21.(12分)第十四届全国冬季运动会召开期间,某校举行了“冰上运动知识竞赛”,为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:(1)求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0022.(10分)已知是递增的等比数列,,且、、成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,,求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可.【详解】,,则,故选:A.【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算,考查指数不等式和二次不等式的解法,属于基础题.2、D【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥,根据三视图的数据,计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知,几何体是一个四棱锥,如图所示:由三视图知:,所以,所以,所以该几何体的最长棱的长为故选:D【点睛】本题主要考查三视图的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.3、B【解析】

由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.4、A【解析】

,从而可得,,再解不等式即可.【详解】由已知,,所以,,由,解得,.故选:A.【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,涉及到恒成立问题,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题.5、C【解析】

根据三视图,可得该几何体是一个三棱锥,并且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,,再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示:由三视图得:该几何体是一个三棱锥,且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,则,所以,,,,该几何体中的最长棱长为.故选:C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.6、C【解析】

设直线l的方程为x=y,与抛物线联立利用韦达定理可得p.【详解】由已知得F(,0),设直线l的方程为x=y,并与y2=2px联立得y2﹣py﹣p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点C(x0,y0),∴y1+y2=p,又线段AB的中点M的纵坐标为1,则y0(y1+y2)=,所以p=2,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题,利用韦达定理是解题的关键,属中档题.7、A【解析】

阳数:,阴数:,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率.【详解】因为阳数:,阴数:,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:个,满足差的绝对值为5的有:共个,则.故选:A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:.8、D【解析】

由题意列出约束条件和目标函数,数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别,利润为元,由题意,画出可行域如图所示,显然当经过时,最大.故选:D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题,解决此类问题要注意判断,是否是整数,是否是非负数,并准确的画出可行域,本题是一道基础题.9、C【解析】

首先绘制出可行域,再绘制出目标函数,根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.【详解】由题知,满足,可行域如下图所示,可知目标函数在点处取得最小值,故目标函数的最小值为,故的取值范围是.故选:D.【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题,属于基础题.10、C【解析】

根据程序框图的模拟过程,写出每执行一次的运行结果,属于基础题.【详解】初始值,第一次循环:,;第二次循环:,;第三次循环:,;第四次循环:,;第五次循环:,;第六次循环:,;第七次循环:,;第九次循环:,;第十次循环:,;所以输出.故选:C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果,属于基础题.11、B【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的面积后可求出最小值.【详解】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为,∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,且球半径为,∴三棱锥外接球表面积为,∴当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为.故选B.【点睛】(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用.(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.12、C【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题,即得答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题,且命题:,,.故选:.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据题意画出几何题,建立空间直角坐标系,写个各个点的坐标,并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】根据题意画出几何图形,以为原点建立空间直角坐标系:设正方体的棱长为1,则所以所以,所以异面直线与所成角的余弦值为,故答案为:.【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,利用空间向量求异面直线夹角,属于中档题.14、3【解析】

双曲线的焦点在轴上,渐近线为,结合渐近线方程为可求.【详解】因为双曲线(a>0)的渐近线为,且一条渐近线方程为,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线,明确双曲线的焦点位置,写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.15、【解析】

根据抛物线,不妨设,取,通过求导得,,再根据以线段为直径的圆恰好经过,则,得到,两式联立,求得点N的轨迹,再求解最值.【详解】因为抛物线,不妨设,取,所以,即,所以,因为以线段为直径的圆恰好经过,所以,所以,所以,由,解得,所以点在直线上,所以当时,最小,最小值为.故答案为:2【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.16、2【解析】

直接利用等差数列公式计算得到答案.【详解】,,解得,,故.故答案为:2;.【点睛】本题考查了等差数列的基本计算,意在考查学生的计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析【解析】

(1)根据已知可得,结合离心率和关系,即可求出椭圆的标准方程;(2)斜率不为零,设的方程为,与椭圆方程联立,消去,得到纵坐标关系,求出方程,令求出坐标,要证、、三点共线,只需证,将分子用纵坐标表示,即可证明结论.【详解】(1)由于,将代入椭圆方程,得,由题意知,即.又,所以,.所以椭圆的方程为.(2)解法一:依题意直线斜率不为0,设的方程为,联立方程,消去得,由题意,得恒成立,设,,所以,直线的方程为.令,得.又因为,,则直线,的斜率分别为,,所以.上式中的分子,.所以,,三点共线.解法二:当直线的斜率不存在时,由题意,得的方程为,代入椭圆的方程,得,,直线的方程为.则,,,所以,即,,三点共线.当直线的斜率存在时,设的方程为,,,联立方程消去,得.由题意,得恒成立,故,.直线的方程为.令,得.又因为,,则直线,的斜率分别为,,所以.上式中的分子所以.所以,,三点共线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,要熟练掌握根与系数关系,设而不求方法解决相交弦问题,考查计算求解能力,属于中档题.18、(1)(2)【解析】

(1)根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程,由此求得,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到,由此求得点的坐标,将的坐标代入椭圆方程,化简后可求得直线的斜率,由此求得直线的方程.【详解】(1)由椭圆的离心率为,点在椭圆上,所以,且解得,所以椭圆的方程为.(2)显然直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为,设,由消去得,所以,由已知得,所以,由于点都在椭圆上,所以,展开有,又,所以,经检验满足,故直线的方程为.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.19、(1)(2)直线过定点【解析】

设.(1)由题意知,.设直线的方程为,由得,则,由根与系数的关系可得,所以.由,得,解得.所以抛物线的方程为.(2)设直线的方程为,由得,由根与系数的关系可得,所以,解得.所以直线的方程为,所以时,直线过定点.20、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】

(1)采用分析法论证,要证,分式化整式为,再利用立方和公式转化为,再作差提取公因式论证.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性质论证.【详解】(1)要证,即证,即证,即证,即证,即证,该式显然成立,当且仅当时等号成立,故.(2)由基本不等式得,,当且仅当时等号成立.将上面四式相加,可得,即.【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式,还考查推理论证能力以及化

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