人教A版高中数学选修23学案24正态分布

其次章随机变量及其分布2.4正态分布[学习目标]1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义〔重点〕；2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义〔重点〕；3．会依据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率〔难点〕.课前自主学习研读提炼思索尝试【学问提炼梳理】1．正态曲线与正态分布〔1〕正态曲线：函数，，其中实数和为参数，的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．〔2〕正态分布：一般地，假如对于任何实数，随机变量满意，那么称随机变量听从正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．假如随机变量听从正态分布，那么记为．温馨提示：留意区分参数和参数含义：参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估量；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估量．2．正态曲线的特点及原那么〔1〕正态曲线的特点①曲线位于轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处到达峰值；④曲线与轴之间的面积为；⑤当肯定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如下左图；⑥当肯定时，曲线的外形由确定，越小，曲线越“瘦高〞，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖〞，表示总体的分布越分散，如下右图．〔2〕原那么正态总体几乎总取值于区间之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种状况在一次试验中几乎不行能发生．假设X～，那么对任意实数，有.特殊地，当，，时有，，.温馨提示：留意不要弄错参数和对正态曲线变化的影响.【思索尝试夯基】1．思索推断〔正确的打“√〞，错误的打“×〞〕〔1〕函数中的参数，的意义分别是样本的均值与方差.〔〕〔2〕正态曲线是单峰的，其与轴围成的面积是随参数，的变化而变化的.〔〕〔3〕正态曲线可以关于轴对称.〔〕[解析]〔1〕错，函数中的参数，的意义分别是随机变量的均值与方差.〔2〕错，正态曲线是单峰的，其与轴围成的面积是.〔3〕对，当时，正态曲线关于轴对称.[答案]〔1〕×〔2〕×〔3〕√2．随机变量听从正态分布，那么等于()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)[解析]由题意知的均值为2，因此.[答案]D3．设随机变量～，假设，那么()A.B．C．D.[解析]由～得，所以，即.[答案]C4．正态分布的概率密度函数在内取值的概率为________．[解析]由题意可知～，且，，所以.[答案]5．设随机变量听从正态分布，假设，那么.[解析]由正态分布的性质及条件得，，所以.[答案]课堂师生互动典例解惑探究突破类型1正态曲线的图象和性质〔自主研析〕【典例1】把一条正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，以下说法中不正确的选项是()A．曲线C2仍旧是正态曲线B．曲线和曲线C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望大2D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差大2[自主解答]正态曲线沿着横轴方向水平移动只转变对称轴位置，曲线的外形没有转变，所得的曲线依旧是正态曲线．在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标〔即正态密度函数的最大值〕不变，方差，也没有变化．设曲线的对称轴为，那么曲线的对称轴那么为，说明期望从变到了，增大了.[答案]D【归纳升华】利用正态曲线的性质可以求参数、：〔1〕正态曲线是单峰的，它关于直线对称，由此性质结合图象求；〔2〕正态曲线在x＝μ处到达峰值，由此性质结合图象可求；〔3〕由的大小区分曲线的胖瘦．[变式训练]假设一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.那么该正态分布的概率密度函数的解析式是．[解析]由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于轴对称，即.由，得.故该正态分布的概率密度函数的解析式是，.[答案]，.类型2正态分布中的概率计算【典例2】在一次测试中，测量结果听从正态分布，假设在(0,2)内取值的概率为0.2，求〔1〕在(0,4)内取值的概率；〔2〕．[解析]〔1〕由于～，对称轴，画出示意图，由于，所以.〔2〕.【归纳升华】解决求某区间的概率问题，可以利用正态曲线的对称性，画出相应的正态曲线图象，应用数形结合把“求某一区间内的概率〞问题转化为求“阴影局部面积〞问题．[变式训练]假设随机变量听从正态分布，P，那么()A．B．C．D．[解析]由随机变量听从正态分布，得，所以.[答案]C类型3正态分布的实际应用【典例3】在某次数学考试中，考生的成果听从一个正态分布，即～．〔1〕试求考试成果位于区间上的概率是多少？(2)假设这次考试共有2000名考生，试估量考试成果在间的考生大约有多少人？【解】由于～，所以，.〔1〕由于在区间内取值的概率是，而该正态分布中，，，于是考试成果位于区间内的概率就是.〔2〕由，，得，.由于变量在区间内取值的概率是，所以考试成果位于区间内的概率是，一共出名考生，所以考试成果在间的考生大约有〔人〕．【归纳升华】解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于，，上的概率值，同时又要依据的正态分布确定所给区间属于上述三个区间的哪一个．[变式训练]某班级的一次信息技术测验成果近似听从正态分布，假如规定低于60分为不及格，求：〔1〕成果不及格的人数占总人数的比例；〔2〕成果在80～90内的同学占总人数的比例．[解]〔1〕设同学的得分为随机变量，～，那么，.分数在～之间的同学的比例为，所以不及格的同学的比例为.即成果不及格的同学占总人数的.〔2〕成果在～内的同学的比例为.即成果在～内的同学占.类型4用错正态曲线的对称性致误〔误区警示〕【典例4】随机变量听从正态分布，假如，求．【易错提示】求解时，假设不留意结合图形对称性，易错解为.【防范措施】〔1〕由于～，所以对称轴为，所以与(－1,0)对称的区间应为(0,1)，与对称的区间为．〔2〕针对的正态分布，求某区间上的取值概率时，常用如下两个公式：①；②.[标准解答]如下图，由于P，所以.所以，所以.[类题尝试]如下图是一条正态曲线．试依据该图象写出其函数解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．[解]从给出的正态曲线，可知该正态曲线关于直线对称，最大值是，所以.由，解得.于是正态分布密度函数的解析式是，．总体随机变量的期望是，方差是.[课堂小结]1．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估量，参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估量．2．对于有关正态分布的计算问题，要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要留意对称性的运用和数形结合思想的应用．课后演练提升A级根底稳固一、选择题1．设随机变量～，那么()A．4B．2C.eq\f(1,2)D．1[解析]由于～，所以，所以.[答案]D2．设两个正态分布和的密度函数图象如下图，那么有()A．，B．，C．，D．，[解析]反映的是正态分布的平均水平，是正态密度曲线的对称轴，由图可知；反映的正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖〞，越小，越集中，曲线越“瘦高〞，由图可知.[答案]A3.〔2015山东高考〕某批零件的长度误差〔单位：毫米〕听从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间〔3,6〕内的概率为〔附：假设随机变量听从正态分布，那么,.〕(A)(B)(C)(D)[解析]，答案选(B)4．假设随机变量的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，那么，的关系为()A．B．C．D．不确定[解析]由正态曲线的对称性及题意知：，，所以曲线关于直线对称，所以.[答案]C5．某批材料的个体强度听从正态分布，现从中任取一件，那么取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为()A．0.9973B．0.6826C．0.8413D[解析]由题意知，，，，由，答案应选B.[答案]B二、填空题6．设～，那么的值为________．[解析]由题意可知，，，故.[答案]7．正态总体的数据落在区间里的概率和落在区间里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[解析]由题意知区间与关于直线对称，由于区间和区间关于对称，所以正态分布的数学期望为.[答案]8．工人制造的零件尺寸在正常状况下听从正态分布，在一次正常的试验中，取个零件，不属于这个尺寸范围的零件可能有个.[解析]由于，所以不属于区间内的零点个数约为个．[答案]三、解答题9．设～，试求：〔1〕；〔2〕．[解]由于～，所以，.〔1〕.〔2〕由于，所以.10．在某项测量中，测量结果听从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．假设ξ在内取值的概率为，试求〔1〕在内取值的概率．〔2〕在(2，＋∞)内取值的概率．〔3〕在(0，＋∞)内取值的概率．[解]在某项测量中，测量结果听从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，正态分布图象的对称轴为，由于，在(0,1]内取值的概率为，所以，随机变量ξ在内取值的概率等于在(0,1]内取值的概率，也为，即(1)随机变量在(0,2]内取值的概率为.(2)又因正态分布图象的对称轴为，得在(1，＋∞)内取值的概率为，结合随机变量在内取值的概率为，可求得在(2，＋∞)内取值的概率为.(3)在(0，＋∞)内取值的概率为.B级力量提升1．以表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，假设随机变量听从正态分布，那么概率等于()A． B．C． D．[解析]设，那么．[答案]B2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分听从正态分布