必修四讲义精练第8章83解三角形的应用举例

8．3解三角形的应用举例[读教材·填要点]1．测量中有关名词、术语(1)仰角与俯角：在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角，如图(1)所示．(2)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如：方位角是60°的图形是图(2)，或称北偏东60°.(3)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.2．用解三角形学问解实际问题的步骤[小问题·大思维]用解三角形的学问解决距离、高度问题应用了什么数学思想？[提示]表达了数学建模思想，从实际问题动身，经过抽象概括把它转化为详细问题中的数学模型，然后通过推理得出数学模型的解，再复原成实际问题的解．测量距离问题如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不行到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.假设测得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．[解]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8).∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．∴A，B两点间的距离为eq\f(\r(6),4)km.解决该题的切入点是所求量在哪个三角形中，是什么，还需要什么，待求的量怎么求出，详细落实到使用哪个定理．1．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距eq\r(3)km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(视A，B，C，D四点在同一平面内)．求两目标A，B之间的距离．解：在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)，∴AD＝3.在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－30°－45°＝60°，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，∴BD＝eq\f(CD·sin∠BCD,sin∠CBD)＝eq\f(\r(3)·\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq\r(2).在△ADB中，由余弦定理得，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝9＋2－2×3×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝5，∴AB＝eq\r(5)，即目标A，B相距eq\r(5)km.测量高度的问题A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.[解]如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(eq\r(3)＋1)≈2186(m)．答：山高CD约为2186m.在测量高度时，要留意理解仰角和俯角的概念，区分在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：(1)依据条件画出示意图；(2)分析与问题有关的三角形；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；(4)要综合运用立体几何学问与平面几何学问；(5)留意方程思想的运用．,2．一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，那么水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：选A如图，设水柱高度是hm，水柱底端为C，那么在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos60°，即h2＋50h－5000＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50m.3.如下图，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，那么山高BC为________m.解析：由于∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.在△ABS中，AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝eq\f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)，所以BC＝AB·sin45°＝1000eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1000(m)．答案：1000测量角度的问题如图，某货船在索马里四周海疆航行中遭海盗攻击，发出呼叫信号，我海护航舰在A处得悉后，马上测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海护航舰马上以10eq\r(3)海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．[解]设所需时间为t小时，那么AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，依据余弦定理，那么有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2)，所以∠CAB＝30°或∠CAB＝150°(舍)，所以护航舰航行的方位角为75°.解决此类问题的关键是明确题中所给各个角的含义，画出示意图，将图形中的量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形使问题获得解决．4．如图，当甲船位于A处时得悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船马上前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(角度精确到1°，sin41°≈\r(\f(3,7))))解：由，得∠CAB＝90°＋30°＝120°，那么∠ACB<90°.连接BC.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝202＋102－2×20×10×cos120°＝700，∴BC＝10eq\r(7)海里．在△ABC中，依据正弦定理，得eq\f(20,sin∠ACB)＝eq\f(10\r(7),sin120°)，∴sin∠ACB＝eq\r(\f(3,7)).又∠ACB<90°，∴∠ACB≈41°.∴乙船应朝北偏东大约41°＋30°＝71°的方向沿直线前往B处救援．[随堂体验落实]1．海面上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成30°的视角，那么B与C之间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(3)海里解析：选D由题意，画出示意图，如图．在△ABC中，C＝180°－A－B＝90°，∴BC＝ABsin60°＝5eq\r(3)海里．2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，那么塔高为()A.eq\f(400,3)m B．eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D.eq\f(200,3)m解析：选A如图，设塔高CD＝x，在△ABD中，tan30°＝eq\f(BD,AB)，∴BD＝200tan30°＝eq\f(200,3)eq\r(3).在△ACE中，tan30°＝eq\f(AE,CE)＝eq\f(200－x,BD).∴200－x＝BD·tan30°＝eq\f(200\r(3),3)·eq\f(\r(3),3)＝eq\f(200,3)，∴x＝200－eq\f(200,3)＝eq\f(400,3).3．A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，那么AC两地的距离为()A．10km B．eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：选D如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°.由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝100＋400＋200＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，那么河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)解析：如图，过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，那么在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝eq\f(46,sin67°).在△ABC中，依据正弦定理得BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)＝46×eq\f(sin37°,sin67°sin30°)≈60.答案：605．如下图，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度．解：设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq\r(6)m.[感悟高手解题]在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ，再连续前进10eq\r(3)m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．[解]由可得在△ABC与△ACD中，AC＝BC＝30，AD＝DC＝10eq\r(3)，∠ADC＝180°－4θ，∴eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,sin180°－4θ).∵sin4θ＝2sin2θcos2θ，∴cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，得2θ＝30°.∴θ＝15°，∴在Rt△ADE中，AE＝ADsin60°＝15m.答：所求角θ为15°，建筑物高度为15m.一、选择题1．甲、乙二人同时从A点动身，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B点时，两人距离恰好为eq\r(3)千米，那么这时甲走的距离是()A．2eq\r(3)千米 B．2千米C.eq\r(3)千米 D．1千米解析：选D假设甲走到了C，那么在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°，即(eq\r(3))2＝22＋AC2－2×2AC·eq\f(1,2)，解得AC＝1.应选D.2.如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行eq\f(1,2)h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，那么货轮到达C点时，与灯塔A的距离是()A．10km B．10eq\r(2)kmC．15km D．15eq\r(2)km解析：选B在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，∴A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20·sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．3．有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不转变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，那么坡底要延长()A．5m B．10mC．10eq\r(2)m D．10eq\r(3)m解析：选C如图，E为斜坡延长后的底．在△AEC中，∠CEA＝30°，AC＝10，∠CAE＝105°，∴由内角和定理得∠ACE＝45°.由正弦定理得eq\f(AE,sin∠ACE)＝eq\f(AC,sin∠AEC).∴AE＝eq\f(AC·sin∠ACE,sin∠AEC)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2)(m)．4．在地面上一点A测得一电视塔塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，那么此电视塔高约为()A．237m B．227mC．247m D．257m解析：选A如图，CD表示电视塔，由得∠CAD＝45°，AB＝100，∠CBD＝60°，设塔高为x，在△CBD中，BD＝x·tan30°＝eq\f(\r(3),3)x，又AD＝CD，∴x＝100＋eq\f(\r(3),3)x.∴x＝50(3＋eq\r(3))≈237m.二、填空题5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，在△ABC中，AC＝4×15＝60，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴∠ABC＝45°.∴BC＝eq\f(AC·sin30°,sin45°)＝eq\f(60×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝30eq\r(2)(km)．答案：30eq\r(2)6．甲、乙两塔相距60m，从乙塔塔底望甲塔塔顶仰角为45°，从甲塔塔顶望乙塔塔顶俯角为30°，那么甲、乙两塔高度分别为________．解析：如下图，在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，那么CD＝BD＝60(m)．在Rt△AEC中，CE＝tan30°AE＝20eq\r(3)(m)．∴AB＝(60－20eq\r(3))(m)．答案：60m(60－20eq\r(3))m7．某船开头观察灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30nmile后，观察灯塔在正西方向，那么这时船与灯塔的距离为________nmile.解析：如下图，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，那么BC⊥AD，∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，那么在Rt△ACD中，DC＝ACsin∠DAC＝30sin60°＝15eq\r(3)nmileAD＝ACcos∠DAC＝30cos60°＝15nmile，那么在Rt△ADB中，DB＝ADtan∠DAB＝15tan30°＝5eq\r(3)nmile，那么BC＝DC－DB＝15eq\r(3)－5eq\r(3)＝10eq\r(3)nmile.答案：10eq\r(3)8．甲船在A处观看乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船正向北行驶，假设甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，那么甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________nmile.解析：如下图，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，那么BC＝tv，AC＝eq\r(3)tv，又B＝120°，那么由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos120°)＝eq\r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)a(nmile)答案：北偏东30°eq\r(3)a三、解答题9．某观测站C在A城的南偏西20°的方向，由A城动身有一条大路，大路走向是南偏东40°，在大路上测得距离C31km的B处，有一人正沿大路向A城走去，走了20km后到达D处，此时C，D之间相距21km，问此人还要走多远才能到达A城？解：如图，∠CAB＝60°，BD＝20km，CB＝31km，CD△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝eq\f(BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，那么sin∠BDC＝eq\f(4\r(3),7).在△ACD中，∠ACD＝∠BDC－∠C