量子力学教程考研冲刺串讲及模拟六套卷精讲

冲刺串讲（一 重点、难点掌一、绪１．了解光的波粒二象性的主要实验事实２．掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设二、波函数和方（１）理解量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同观念（２）掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性（３）理解态叠加原理以及任何波函数Ψｘ，ｔ）按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（４）了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位；薛定谔方程和定态薛定谔方程的关系；波函数和定态波函数的关系。（５）对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法（６）关于一维定态问题要求如下ａ．掌握一维无限深势阱的求解方法及其物理讨论ｂ．掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点：ｃ．了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释．三、力学量用算符表（１）掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必为实数；坐标算符和动量算符以及量子力学中一切可观察的力学量所对应的算符均为厄米算符．（２）掌握有关动量算符和角动量算符的本征值和本征函数，它们的归一性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式．（３）电子在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中心力场下薛定谔方程求解的范例，应由此了解一般三维中心力场下求解薛定谔方程的基本步骤和方法，特别是分离变量法．＾（４）掌握力学量平均值的计算方法．将体系的状态波函数Ψｘ）按算符Ｆ的本征函数展开是这方法中常用的方法之一，应掌握这一方法计算力学量的可能值、概率和平均值．理解在什么状态下力学量具有确定值以及在什么条件下，两个力学量同时具有确定值．（５）掌握不确定关系并应用这一关系来估算一些体系的基态能（６）掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如：能量、动量、角动量、宇称等．四、态和力学量的表（１）理解力学量所对应的算符在具体的表象下可以用矩阵来表示；厄米算符与厄米矩阵相对应；力学量算符在自身表象下为一对角矩阵；１（２）掌握量子力学公式的矩阵形式及求解本征值、本征矢的矩阵方法（３）理解狄拉克符号及占有数表象（１）了解定态微扰论的适用范围和条件（２）对于非简并的定态微扰论要求掌握波函数一级修正和能级一级、二级修正的计算（３）对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的确定和一级能量修正的计算（４）掌握变分法的基本应用（５）关于与时间有关的微扰论要求如下ａ．了解由初态跃迁到末态的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达式；ｂ．理解由微扰矩阵元Ｈｆｉ０可以确定选择定则；ｃ．理解能量与时间之间的不确定关系：ｔｄ．理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由ｋ态跃迁到ｍ态的辐射强度均与矩阵元ｒ的模平方ｒ!成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量子数的选择定则．（６）了解氢原子一级斯塔克效应及其解释六、自旋和全（１）了解斯特 格拉赫实验．电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率（２）掌握自旋算符的对易关系和自旋算符的矩阵形式（泡利矩阵）．与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的计算以及本征值方程和本征函数的求解方法．（３）了解简单塞曼效应的物理机制（４）了解Ｌ－Ｓ耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构和物理解释（５）根据量子力学的全同性原理、多体全同粒子波函数有对称和反对称之分．掌握玻色子体系多体波函数取交换对称形式，费米子体系取交换反对称形式，以及费米子服从泡利不相容原理．（６）理解在自旋与轨道相互作用可以忽略时，体系波函数可写为空间部分和自旋部分乘积形式．对于两电子体系则有自旋单重态和三重态之分．前者自旋波函数反对称，空间波函数对称；后者自旋波函数对称，空间波函数反对称．２冲刺串讲（二 重要内容回一、概量子力学的诞生１．两个理论相对论与量子论是２０世纪的两个最重大的科学发现光速ｃ和普朗克（Ｐｌａｎｃｋ）常数ｈ分别是其标志性常数。当υ ｃ时，相对论退化为牛顿（Ｎｅｗｔｏｎ）力学。当 ｈ时，量子论退化为牛顿（Ｎｅｗｔｏｎ）力学式中，υ为粒子的运动速率，ｌ与ｐ分别为粒子运动的范围与动量。２．三个实验（１）黑体辐维恩（ｉｅｎ公式ρｄν＝ｃｅｘｐ（－ｃν）ν ２瑞利（Ｒａｙｌｅｉｇｈ）－金斯（Ｊｅａｎｓ）公ρｄν＝８πｋＴν普朗克公 ρνｄν普朗克的能量子假说ε＝

）－１式中，ν为振子频率，ρν为能量密度，ｋ为玻尔次曼（Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ）常数，Ｔ为温度，ε为振子能量，ｃ１与ｃ２为常数。（２）光电效爱因斯坦（Ｅｉｎｓｔｅｉｎ）的光量子假说ε＝由１ｍυ２＝ｈν－Ｗ

可知，只有当光子的频率ν不小于阈值

＝Ｗ０时，才有光电子的发射。式中，ｍ与υ分别为电子的质量和运动速率，Ｗ０为脱出功，ε为光子能量（３）原子光玻尔（Ｂｏｈｒ）的旧量子原子在能量分别为Ｅｎ和Ｅｍ（Ｅｎ＞Ｅｍ）的两个定态之间跃迁时，发射或吸收的电磁辐射的频率满足如下关系光谱项为Ｔ（ｎ）＝－ｈ

ｈν＝Ｅｎ－３３．三个飞（１）普朗克量子假说ε＝ｈνＥｎ＝ （ｎ＝０，１，２，…（２）德布罗意（ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ）物质波假Ｅ ω；ｐ＝式中 ＝ｈ，ω＝２πν为角频率， ｋ为波矢量，ｐ为动量，Ｅ为能量（３）薛定谔（Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ）方程与波恩（Ｂｏｒｎ）概率波解 ＾ ｔψｒ，ｔ）＝ψｒ， 式中，ψｒ，ｔ）为描述体系状态的波函数 ψｒ， 表示ｔ时刻在ｒ附近单位体积元内发现粒＾的概率，Ｈ为哈密顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）算符。４．五个基本原理 体系的状态用波函数 （ｒ，ｔ）来描述 ψｒ，

表示ｔ时刻在ｒ附近单位体积元内发现粒子的率（２）状态叠加原若体系具有一系列可能的状态ψψψψｎ，则这些可能状态的任意线性组ｎψ＝ｃ１ψ１＋ｃ２ψ２＋ｃ３ψ３＋…＋ｃｎψｎ＝∑ｃｍｍ也一定是该体系的一个可能状态，其中ｃｃｃ３，…，ｃｎ为任意复常数（３）薛定谔方状态随时间的变化遵循薛定谔方 ＾ ｔψｒ，ｔ）＝Ｈψｒ，（４）算符化规经典物理学中的力学量用厄米（Ｈｅｒｍｉｔｅ）算符来代替，并且上述的替代关系是一一对应的（５）全同性原在全同粒子体系中，交换任意两个粒子的坐标不改变体系的状态。基本内容包括波函数、算符和薛定谔方程三要素。特色在力学量取值量子化、势垒隧穿及不确定关系等内容上与经典力学有本质差别。二、波函数１．波函数的物理内→（１）波函数ψ（ｒ，ｔ）是描述体系状态的复函数，满足薛定谔方 ＾ｔψｒ，ｔ）＝ψｒ，（２）波函数表示 波函数可以在任意表象中写出来，例如ψ（ｒ，ｔ）、Φｐ，ｔ）、｛Ｃｎ（ｔ）｝分别表示坐标、动量和任意力量Ｆ表象中的波函数，也可以用狄拉克（Ｄｉｒａｃ）符号表示为｜ψｔ）〉（３）波函数的模方表示其自变量的取值概率（密度例如 Ｃｎ（ｔ）２

（ｒ，ｔ）２

Φｐ，

→２分别表示力学Ｆ、ｒ、ｐ的取值概率（密度）２．波函数应满足的条（１）波函数应该是平方可积的函!∫（２）自然条

→ψｒ，

ｄ＝有波函数还应该是单值、有限和连续的函数（３）边界条Ａ．在位势的间断点ａ处，波函数及其一阶导数连ψ１（ａ）＝ψ２（ａ） 、式中， ｍ分别为粒子在第一和第二区域中的有效质量、 当一个区域中的位势为无穷大时，只要求波函数连续Ｂ．δ位势Ｖ（ｘ）＝δｘ）要求波函数连续，而波函数的一阶导数应满′０＋）－′０－）＝±２ｍＶａψ２其中，ａ具有长度量纲，Ｖ０具有能量量纲。３．具有特殊性质的波函数（１）本征 定 满足本征方程Ｆ｜ｎ〉＝ｆｎ｜ｎ〉的状态｜ｎ〉称为Ｆ的本征态正交归一化条 〈ｍ｜ｎ〉＝封闭关 ∑｜ｎ〉〈ｎ｜＝ｎ＾测 在Ｆ的本征态｜ｎ〉上，测量力学量Ｆ得其本征值（２）定定 定态是能量取确定值的状态性质 定态之下不显含时间力学量的取值概率与平均值不随时间改变。条件 哈密顿算符不显含时间；初始时刻的波函数为定态。（３）束缚态与非束缚束缚 在无穷远处为零的状态为束缚态，束缚态相应的本征值是断续的非束缚 在无穷远处不为零的状态为非束缚态，非束缚态相应的本征值是连续的（４）简并态与非简并简并 一个本征值对应一个以上线性独立的本征态时，称该本征值简并，所对应本征态称为５并态，简并态的个数为简并度非简并 一个本征值对应一个本征态时，称为非简并态，非简并态的简并度为１（５）正宇称态与负宇称正宇称态 将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新波函数与原来的波函数相同，则称该波函数描述的状态为正宇称态。负宇称态 将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新波函数与原来的波函数相差一个负号，则称该波函数描述的状态为负宇称态。（６）耦合波函数和非耦合波函以两个自旋

的粒子为例，２

＝

＝１，总自旋量子数Ｓ＝０，１非耦合波函数为｜＋＋〉，｜－－〉，｜＋－〉，｜－＋〉耦合波函数为｜００〉，｜１０〉，｜１１〉，｜１－１〉耦合波函数与非耦合波函数的关系为｜１１〉＝｜＋＋｜１－１〉＝｜－－｜１０〉＝１［｜＋－〉＋｜－＋〉｜０１〉＝１［｜＋－〉｜－＋〉其中，｜〉＝｜±〉１｜±〉２是两个粒子体系的非耦合波函数｜± ＝｜１，±１〉为第ｋ（＝１，２）个粒子在ｓ２、ｓ表象下的本征态ｋ ｋ（７）对称波函数与反对称波函反对称波函 全同费米（Ｆｅｒｍｉ）子体系的状态用反对称波函数描述，对二体问题而言，１ψａ槡

φ１（ｘ１ φ１（ｘ２φ２（ｘ１ φ２（ｘ２＝１［φ（ｘ）φ（ｘ）－φ（ｘ）φ（ｘ）２ ２槡对称波函 全同玻色（Ｂｏｓｅ）子体系的状态用对称波函数描述，对二体问题而言，ψ＝１［φ（ｘ）φ（ｘ）＋φ（ｘ）φ（ｘ） ４．状态叠加原理与展开假设１）状态叠加原理若ψ１ψ２ψ…，ψ为体系可能的状态，则ψ＝ｃψ１＋ｃψ２＋ｃψ２＋…＋ｃｎψｎ也是体系，其中，ｃｃ，，…，ｃ为任意复常数２）展开假 若力学量算符Ｆ满足本征方程Ｆφｎ＝ｆｎ６则任意的波函数ψ可以向｛φｎ｝展开，即ψ＝∑ｃｎｎ其中，ｃ２为力学量Ｆ在ψ状态上取ｆｎ值的概率，因此可以把｛ｃｎ｝视为Ｆ表象下的波函数．５．状态随时间的变化ｎ（１）薛定谔方状态随时间的变化满足薛定谔方（２）

Ｈ＾ｔ＝０时，薛定谔方程的Ｈ＾ｔ

→ ＾ｔψｒ，ｔ）＝ψｒ，

ｎ→ψｒ，ｔ）＝∑ｃ（０）φｎ（ｒ）ｅｘｐ（ｎ→→

Ｅｎ其中Ｈφｎ（ｒ）＝Ｅｎφ（ｒ），ｃｎ（０）＝τφ（ｒ）ψｒ，７冲刺串讲（三三、算１．算符化规（１）线性厄米算＾可观测的力学量Ｆ与一个线性厄米算符Ｆ相对应（２）常用算 ＾ ｚ动量算符ｐ＝－ｉ"＝ｐｘｉ＋ｐｙｊ＋ｐｚｚ＾ 其中，ｐｘ＝－ ｘ；ｐｙ＝－ ｙ；ｐｚ＝－ 自旋（２）算符ｓ＝ｓｘｉ＋ｓｙｊ＋ｓｚ＾ｓｘ

＾ ０１ ｓｙ

－ｉ ｓｚ＝ ＾→ →泡利（Ｐａｕｌｉ）算 σ＝σｘｉ＋σｙｊ＋σ

－＾σ

＾００１ １

＾ －ｉ σ

－ 总自旋算符Ｓ＝ｓ１＋ｓ２ Ｓ＝ｓ１＋ｓ２，ｓ１＋ｓ２－１，… →轨道角动量算符ｌ＝ｒ× ｌｘ＝ｙｐｚ－ｚｐｙ ｌｙ＝ｚｐｘ－ｘｐｚ ｌｚ＝ｘｐｙ－

ｓ１－总轨道角动量算符总角动量算符→＾

ｌ＝ｌ１＋ｌ２ Ｌ＝ｌ１＋ｌ２，ｌ１＋ｌ２－１，…

ｌ１－Ｊ＝ｌ＋Ｓ Ｊ＝Ｌ＋Ｓ，Ｌ＋Ｓ－１，…

Ｌ－Ｊ＝Ｊ１＋Ｊ２ Ｊ１＝ｌ１＋ｓ１ Ｊ２＝ｌ２＋ 宇称算符ψｒ）＝ψ－＾交换算符ｐｉｊψ…，ｘｉ，…，ｘｊ，…）＝ψ…，ｘｊ，…，ｘｉ，… 投影算符ｐｎ＝｜ｎ〉〈ｎ｜ ｐｍｎ＝｜ｍ〉〈ｎ（３）升降算符定 Ｊ±＝Ｊｘ± Ｊｘ＝２（Ｊ＋＋Ｊ－） Ｊｙ＝２ｉ（Ｊ＋－Ｊ－＾作用｜ｊ，ｍ〉＝２．厄米算符

槡ｊ（ｊ＋１）－ｍ（ｍ±１）｜ｊ，ｍ±１〉 定 ∫ｄｘφ（ｘ）ψｘ）＝ｄｘψｘ）Ｆφ（ 或者Ｆ＋＝性 厄米算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的３．对易关（１）定对易关＾［Ａ，＾＝ＡＢ＾＾＾ ＾ ＾反对易关系［Ａ，Ｂ］＋＝｛Ａ，Ｂ｝＝ＡＢ＋（２）对易子代＾＾ ＾ ＾ ［Ａ，ＢＣ］＝Ｂ［Ａ，Ｃ］＋［Ａ，Ｂ］＾ ＾ ＾ ［ＡＢ，Ｃ］＝Ａ［Ｂ，Ｃ］＋［Ａ，Ｃ］（３）常用对易关 ［ｘ，ｐｘ］＝ｉ ［ｙ，ｐｙ］＝ｉ ［ｚ，ｐｚ］＝＾ ＾ ＾ ［ｊｘ，ｊｙ］＝ｉｊｚ；［ｊｙ，ｊｚ］＝ｉｊｘ ［ｊｚ，ｊｘ］＝ｉ４．守恒定 满

ｔ＝０和 Ｆ，Ｈｔ性质 守恒量的取值概率与平均值不随时间改变。５．对称性若体系哈密顿算符具有某种对称性，则必有某个守恒量与之对应，同时也存在某个不可观测量（１）间平移对称性对应动量守恒，间的绝对原点是不可观测的◦（２）间平移对称性对应能量守恒，间的绝对原点是不可观测的◦（３）间反演对称性对应宇称守恒，间的绝对左右是不可观测的◦（４）间转动对称性对应角动量守恒空间的绝对方向是不可观测的６．两个力学量的取＾ （１）同时取确定 若Ａ，Ｂ＝０，则Ａ和Ｂ有共同完备本征函数系，可同时取确定值９＾ （２）不确定关 若Ａ，Ｂ≠０，则Ａ与Ｂ的测量误差满足不确定关（ΔＡ２·（Δ １（ｉ＾＾） Ａ，特别是ｘ· Δ 其中ΔＡ＝槡（Δ２＝槡Ａ２－（Ａ）（３）力学量完全如果有Ｎ个相互对易的力学量算符能惟一地确定体系的状态，称这Ｎ个力学量为力学量完全集。７．算符随时间的变化（１）定义

＝

＋１＾＾ Ｆ，（２）坐

ｄｔｄｔｒｔ

ｍ（３）动 埃伦费斯特（Ｅｈｒｅｎｆｅｓｔ）定ｄｐ

＝－Ｖ（４）动 位力（Ｖｉｒｉａｌ）定＾ 对于定态有Ｔ ｒ·"Ｖ２ 特别是，当Ｖ＝ｘ＋βｙｎ＋ｚ时，有Ｔ ２（５）哈密顿量 赫尔曼（ｌｎ费恩曼（Ｆｅｙｎｍａｎ）定理对于束缚定态有 其中，λ是Ｈ中的任意一个参数，Ｅｎ为Ｈ的第ｎ个本征值８．算符的矩阵表（１）算符的矩阵表 在任意的基底｛｜ｎ〉｝之下，算符Ｆ的矩阵元为Ｆｍｎ＝〈ｍ｜Ｆ｜ｎＦ１１Ｆ１２Ｆ１３ Ｆ２１Ｆ２２Ｆ２３ 其矩阵形式 Ｆ＝

… （２）角动 １ ｊ＝ｊ＋

·ｊ

２–ｊ２－ｊ ２

２（ ｚ在ｊ２与ｊ的基底｛｜ｊｍ〉｝之ｚ 〈ｊ′ｍ｜ｊ１·ｊ２｜ｊ〉＝２［ｊ（ｊ＋１）－ｊ１（ｊ１＋１）－ｊ２（ｊ２＋１）］δδ（３）坐在线性谐振子基底｛｜ｎ〉｝之 ＝〈ｍ｜ｘ｜ｎ〉＝１ ｎ

ｎ＋） δｍ，）其中，α 槡

α槡２ｍ， 槡（４）两个基底之间的变＾若已知算符Ｆ在任意的基底｛｜ｎ〉｝之下的矩阵元为Ｆｍｎ则其在另一基底｛｜ｉ〉｝之下的矩阵 为Ｆ′ｉｊ＝〈ｉ｜Ｆ｜ｊ〉＝∑〈ｉ｜ｍ〉〈ｍ｜Ｆ｜ｎ〉〈ｎ｜ｊ〉＝〈ｉ｜ｍ〉Ｆｍｎｎ｜ｊｍ， ｍ，冲刺串讲（四１．精确求（１）解析Ａ．阱宽为ａ的非对称无限深方势２２２ ψ（ｘ） ２ｓｉｎ（Ｅｎ

２μａ２

槡

（ｎ＝１，２，３，…ａＢ．线谐振Ｅ＝（ｎ＋１）ω ｜ｎ （ｎ＝０，１，２，… Ｃ．球谐振

＝（２ｎ＋ｌ＋３）ω； ｜ｎｌｍ〉（ｎ＝０，１，２，…；ｌ＝０，１，２，…；ｍ＝ｌ，ｌ－１，ｌ－２，…，－ｌ）Ｄ．氢原子μｅＥｎ＝－２２ｎ２ ｜ｎｌｍ（ｎ＝１，２，３，…；ｌ＝０，１，２，…，ｎ－１；ｍ＝ｌ，ｌ１－，ｌ－２，…－Ｅ．自由粒 ＾Ｅｐ＝２μ ψｐ（ｒ）（２）直接判断

３（２π）

ｐ （－!＜ｐ＜ Ａ．当势能平移±Ｖ０时，即Ｈ＝Ｈ０Ｖ０时，则Ｈ与Ｈ０的本征函数是一样的，若Ｈ０的本征值为＾，则Ｈ的本征值变成Ｅｎ±Ｖ０。＾Ｂ．当坐标平移ａ时，即ｘ１＝ｘａ时，则Ｈ的本征值不变，而相应的本征函数的坐标变量由ｘ为ｘ±ａ（３）坐标变换＾设Ｈ０的本征值为Ｅ０ｎ，则如下前三种情况成立＾

２

Ａ．若Ｈ＝２μ＋２μωｘ＋λ＝Ｈ０＋λ，则Ｅｎ＝Ｅｎ－＾

２

，则Ｅ＝ １Ｂ．若Ｈ＝２μ

２μωｘ＋λ＝Ｈ０＋

ｎ

２＾２ Ｃ．若Ｈ＝２μ＋Ｖ（ｘ）＋ ＝Ｈ０＋λ，则Ｅｎ＝Ｅｎ－ ＾ ＾

１＾

Ｄ．若Ｈ＝２Ｉ（Ｌｘ＋Ｌｙ）＋２ＩＬｚ，则Ｅｌｍ＝［２Ｉｌ（ｌ＋１）＋（ –２Ｉ）ｍ （４）分区均匀位势Ａ．束缚态问题

当Ｅ＞Ｖ０时，取振荡解（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ｋｘ＋δ，其中ｋ当Ｅ＜Ｖ０时，取衰减解ψｘ）＝Ａｅｘｐ（αｘ＋Ｂｅｘｐ（－αｘ其中，ｋ＝Ｂ．势垒隧穿问题ψｘ）＝Ａｅｘｐ（ｉｋｘ）＋Ｂｅｘｐ（－ｉｋｘ），其中，ｋ＝反射系数Ｒ与透射系数Ｔ分别为Ｒ Ｔ＝１－２．近似方（１）微扰 Ｈ＝Ｈ０＋＾Ｈ｜ｋｉ〉０＝Ｅ０｜ｋｉ〉 （ｉ＝１，２，３，…，ｆ＾ Ａ．无简并微扰论（ｆｋ＝１Ｅ≈Ｅ０＋

ｋ，

＋

Ｅ０－ｎｋｉ ｜ｋ〉≈｜ｋ〉０＋ ｎｉ，ｋ｜ｎｉ〉ｎｋｉ１Ｅ０－ 其中，Ｗｎｉ，

＝０〈ｎｉ｜Ｗ｜ｋ〉Ｂ．简并微扰论（ｆｋ＞１在简并子空间中，求解能量一级修正Ｅ（１）满足的本征方∑∑［ –Ｅ（１）δ］Ｂ（０）＝其中其中，ｋｊ，（２）变分

＝０〈ｋｊ｜ｋｌ

ｋｊ，ｉ

ｋｊ，Ａ．试探波函选择含有变分参数ａ的归一化的试探波函数｜ψａ）〉。Ｂ．能量平均值在此状态之下计算哈密顿算符的平均值，＾Ｈ（ａ）＝〈ψａ）｜Ｈ｜（ａ）Ｃ．极值条再利用极值条

Ｈ（ａ＝０，定出变分参数Ｈ（ａＤ．基态近似将ａ入试探波函数得到｜ψａ）〉，此即体系基态波函数的近似结果，进而可以得到基态能量的近似值Ｅ０Ｈ（ａ例 设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征态分别为Ｅｎ和ψｎ（ｎ为量子数或编号），设为Ｈ含有的任何一个参数证明

＝〈

Ｈλψｎ〉（Ｆ－Ｈ定理 （Ｈλ证：｜ψｎ〉满足能量本征方程（Ｈ－Ｅｎ）ψｎ）＝ （λ其共轭方程为 〈ψｎ｜（Ｈ－Ｅｎ）＝０ 视λ为参数，式（２ａ）对λ求导，得到λ（Ｈ－Ｅｎ）｜ψ〉＋（Ｈ－Ｅ ｜ψ〉＝ （λλ λλ以〈ψｎ｜左乘式（３），利用式（２ｂ）和归一化条件〈ψｎ｜ψｎ）＝１，即得式（１）。例２ 维里（Ｖｉｒｉａｌ）定理：设哈密顿算符为Ｈ＝２μ＋Ｖ（ （〈 ψｎ〉＝２〈ψｎ｜ｒ·"Ｖｒ）｜ψｎ （ ２Ｔ＝ｒ· （这称为维里定理。讨论Ｖ（ｒ）是（ｘ，ｙ，ｚ）的ｖ次齐次函数的情形。 详见视频。第一套模拟试—、论述题：（本题共３６分，前３小题每小题８分，第４小题１２分）１．描述两个能够证明电子具有波动性的实验。２．介绍量子力学描述粒子状态的空间以及在此空间中如何选取表象描述粒子的状态３．玻色子与费密子全同粒子体系波函数各有何种对称性？为什么４．建立弹性散射问题量子力学的数学模型，并说明如何得到微分散射截面。二、证明题与计算题： １．（１２分）已知算子ａ与

＾之间对易关系为ａ，ａ＋

＝１，证明：粒子数算符Ｎ≡ａ＋ａ对易关＋＾＾＋ ＋Ｎ， ＝ａ２．（１２分）已知上题的对易关系及ａ＾＋｜ｎ〉 ｎ＋１｜ｎ＋１〉，其中｛｜ｎ〉｝ 为Ｎ＾的本征函数 ｎ （本征值为ｎ），求Ｎ表象中ａ＋和Ｎ的表示三、（１５分）一维无限深势阱Ｖ（ｘ）＝０， ０＜ｘ＜ａ， ｘ＜０，ｘ＞ａ中，求：一个粒子在这个势阱中的能量本征值和相应的本征函数；四、（２０分）氢原子以１／４的概率处于ｎ＝２，ｌ＝１，ｍ＝１．自旋

的态，即Ｒ２１（ｒ）Ｙ１１（θφ，２３／４的概率处于ｎ＝２，ｌ＝１，ｍ＝０．自旋为２（１）写出氢原子所处状态的旋量波函数

的态，即Ｒ２１（ｒ）Ｙ１０（θφ）（２）求轨道角动量ｚ分量和自旋角动量ｚ分量的平均值。五、（２５分）试求哈密顿量为 ２ ２ Ｈ＝－２ｍｄｘ２＋２ｍωｘ＋ａｘ＋ｂｘ（ａ，ｂ为小的常量）的体系能量一级近似 六、（９分）求在算符Ｓｎ＝Ｓｘｃｏｓ＋Ｓｙｃｏ＋Ｓｚｃｓ（电子自旋角动量投影）的本征态ψ１＋ 槡 （ｃｏ＋ｉｓβ测量电子自旋角动量ｚ分量Ｓｚ的可能值可能值及其几率以及平均值槡１＋第一套模拟试卷参考答—、论述题：（本题共３６分，前３小题每小题８分，第４小题１２分１．答：戴维逊和革么把电子注正入射到镍单晶上，通过观察散射电子束的强度和散射角之间的关系，发现：散射电子束的强度随散射角而改变，当散射角取某些确定值时，强度有最大值。这现象与Ｘ射线衍射现象相同，充分说明电子具有波动性。另外，让电子束穿过薄金属片后，也象Ｘ射线一样产生衍射现象；电子的波动性还可以用与光的双狭缝衍射相当的实验来显示。将光的双狭缝衍射中的光源换成电子源，让电子束通过双狭缝，用计数器在屏上各点接收电子，可得到电子流强度分布与光的双狭缝衍射相同的分布规律，这也说明了电子具有波动性。２．答：量子力学描述粒子的状态的空间称为Ｈｉｌｂｅｒｔ空间。该空间采用一组正交完备的函数集作为基矢量，任何波函数都可以用这组正交完备的基矢量展开。具体的表象选取是这样的：以一组力学量完备集的共同的正交归一本征函数集作为基矢量张开的Ｈｉｌｂｅｒｔ空间就构成该力学量完备集的表象。如设力学量Ｑ的正交完备的本征态集合为｛｜ｕｎ｝，则以｛｜ｕｎ｝为基矢量展开的Ｈｉｌｂｅｒｔ空间!称为Ｑ表象。对于粒子的任意一个状态波函数用｛｜ｕｎ〉｝展开，记为ψ＝∑Ｃｎｕｎ，则在Ｑ表象中ｎ可以表示为｛Ｃｎ｝。其矩阵形式为ψＴ＝（…，Ｃｎ，…），且ｎ

２＝１ＣｎＣ３．答：因为玻色子的自旋量子数为整数，玻色子全同粒子体系遵循玻色统计，波函数应是对称的；而费密子的自旋量子数为１／２的奇数倍，费密子全同粒子体系遵循费米统计，波函数应是反对称的，受泡利原理限制，不能有两个或两个以上费密子处于同一个微观量子状态。４．答：如果一粒子在与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子的内部状态并无改变，则这种碰撞为弹性散射。设处于散射中心的粒子Ａ的质量比入射粒子的质量大的多，由碰撞而引起的散射中心粒子Ａ的运动可以忽略，入射粒子受散射中心粒子Ａ的作用而偏离原来的运动方向，发生散射。粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角θ称为散射角。单位时间内散射到面积元ｄＳ上的粒子数ｄｎ应与ｄＳ成正比，而与ｄＳ到散射中心Ａ的距离ｒ平方成反比，即：ｄｎ～ｄＳ＝ｄ；同时ｄｎ还应与入射粒子流强度Ｎ成正比，即ｄｎ～Ｎｄ，在一般情况下，ｄｎ与观察的方（θ）向有关，因而可设比例系数为ｑ（θφ，称为微分散射截面。则ｄｎ＝ｑ（θφＮｄΩ （１）另一方面，从量子力学的观点看，散射体系的波函数应由两部分组成，一部分描写入射粒子的ψ面 ＝Ａｅｉｋｚ（设入射方向为ｚ方向）ψ１另一部分是描写散射粒子的波函数，应为散射球面波ψ２＝ｆ（θ

ｒ，这个波是由散射中心向传播的，ｆ（θφ称为散射振幅。由于是弹性散射，所以散射波的能量不变，即ｋ的数值应不变。则２２＝ψ１＋ψ２，满足薛定谔方程－２ｍ"ψ＋Ｕψ＝Ｅψ，因为观察离散射中心比较远，故ｒ!时，Ｕ（ｒ）ｚ０。取Ａ＝１， ２＝１，入射波的几率流密度是ｚ

＝

１ψｚ １－１ψｚ

ψ１＝ψ*ｒ ψ*ｒ散射波的几率流密度是

＝

ψ

— ψ２

＝ ｆ（θφ２故单位时间内穿过面积ｄＳ的粒子数

ｄｎ＝ＪｄＳ＝ ｆ（θ ２ｄＳ＝ ｆ（θ ２ （ 因为υ＝Ｎ，比较（１）和（２）式，可知微分截面ｑ（θ） ｆ（θφ可见，只要知道了ｆ（θ）就可求得ｑ（θ）。ｆ（θ）的具体形式通过求解薛定谔方程并在ｒ!时的解得出二、证明题与计算题１．（１２分＾＾＋

＾＾＋ ＾

＾＾ ＾

＾＋

＾ ＾＾

＾＋ ＾证： ａ，２．（１２分

＝１， Ｎ， ＝ａａａ－ａａａ＝ａ（ａａ－ａａ）＝＾解：∵

＝〈ｍ｜ａ＋｜ｎ〉＝槡ｎ＋

ｍ，

，

＝〈ｍ｜Ｎ｜ｎ〉＝

ｍ，

，所以，在Ｎ表象中，它们矩阵形式

００ ００…

…

ａ＋＝

０

Ｎ＝

… …００槡 ……

… …三、（１５分

２ 从薛定谔方程－２ｍｄｘ２ψ＋Ｖ（ｘ）ψ＝Ｅψ和所给条件，可得ｄ２ｄｘ２ｍＥψ＝ｄ２ｄｘ２ｍＥψ＝０ ０＜ｘ＜ （ｄ２ψ ｘ＞ａ，ｘ＜ （根据波函数满足连续、单值、有限性，可知，在ｘ＜０，ｘ＞ａ的情况下，ψ＝０，故我们只需考虑（１）式的解。 设ｋ ２Ｅ，则（１）式变为ｄｘ２ψ＋ｋψ＝令ψ＝Ａｃｏｓｋｘ＋Ｂｓｉｎｋｘ，ψ０）＝Ａ＋０＝ψａ）＝Ａｃｏｓｋａ＋Ｂｓｉｎｋａ＝

Ａ＝０Ｂｓｉｎｋａ＝０而Ｂ不能为零，则，ｓｉｎｋａ＝０ 得到，ｋａ＝ｎπ即，ｋ＝ｎπ其中，ｎ＝１，２，…。ｎ不能为零，ａ!∫致波函数恒处于零。因此，ψｘ）＝Ｂｓｉｎｎπ，利用归一性∫ａ

ψｘ）２ｄｘ

ａ∫Ｂ２ａ

ｘｄｘ＝１Ｂπ槡π槡２２则，能量本征值是：Ｅｎ＝２ｍａ２对应的本征函数

ｎ＝１，２，３，ψｘ）

ｎπｘ ０＜ｘ＜

ｎ＝１，２，ａ ｘ＞ ｘ＜ａ四、（２０分 （１）（ｒ，θφｓ）＝１２

（ｒ）

（θφ

１／

（ｓ）＋槡Ｒ２Ｒ

（ｒ）

（θφ

－１／

（ψｒ，θφｓ）＝１２

（ｒ）

（θφ

１／

（ｓ）－槡Ｒ２Ｒ

（ｒ）

（θφ

－１／

（或（ｒ，θ）＝－１２

（ｒ）

（θφ

１／

（ｓ）＋槡Ｒ２Ｒ

（ｒ）

（θφ

－１／

（ψｒ，θφｓ）＝－１２

（ｒ）

（θφ

１／

（ｓ）－槡Ｒ２Ｒ

（ｒ）

（θφ

－１／

（１（２）在以上四个旋量波函数中，ｌ＝１，ｍ＝１或０，因此，轨道角动量ｚ分量的平均值为：ｌｚ＝４＋３×０

；而在

时，概率为１／４，Ｓ

＝－ 时概率为３／４，所以，自旋角动量的平均值为：Ｓ＝１ ＋３×（ ）＝ 五、（２５分 ２ ２解：从题设可将Ｈ改写成两项：Ｈ＝Ｈ０＋Ｈ′，其中：Ｈ０＝－２ｍｄｘ２＋２ｍω ０是为无微扰的一维线性谐振子的哈密顿，Ｈ′＝ａｘ３＋ｂｘ４中ａ， 均为小的常量，可看作是对０ 的微扰。因此，可设ψ０）＝｜ｎ〉，Ｅ（０）＝（ｎ＋ ２而一级修正为ＥＥ

＝

＝〈ｎ｜Ｈ′｜ｎ〉＝〈ｎ｜（ａｘ３＋ｂｘ４）｜ｎ〉＝ａ〈ｎ｜ｘ３｜ｎ〉＋ｂ〈ｎ｜ｘ４｜ｎ由于：ｘ｜ｎ〉＝ α槡

｜ｎ－１〉＋

ｎ＋１｜ｎ＋１〉

，所以ｘ２｜ｎ〉＝ｘ·ｘ｜ｎ〉＝１ ｎｘ｜ｎ－１〉 ｎ＋１ｘ｜ｎ＋１〉α

α槡槡２｜ｎ－２〉槡２

槡｜ｎ

｜ｎ〉 ｜ｎ＋２〉＝

ｎ－

ｎ＋

ｎ＋

ｎ＋ 槡＝１

槡 ＋ 槡２α２槡ｎ（ｎ－１）｜ｎ－２〉＋（２ｎ＋１）｜ｎ〉

槡（ｎ＋１）（ｎ＋

｜ｎ＋２＋槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｘ｜ｎ＋１ｘ３｜ｎ〉＝ｘ·ｘ２｜ｎ〉 ２槡ｎ（ｎ－１）＋槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｘ｜ｎ＋１槡ｎ（ｎ－１） ｎ－２｜ｎ－３〉 ｎ－１｜ｎ－１〉＋（２ｎ＋１） ｎ｜ｎ－１〉 ｎ＋１｜ｎ＋１〉１ 槡 槡 槡 槡 ＝

槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）

ｎ＋

｜ｎ＋１〉

ｎ＋

｜ｎ＋３〉

槡 槡１＝２槡

槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）｜ｎ－３〉＋３ｎ槡ｎ｜ｎ－１〉＋３（ｎ＋３）槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）｜ｎ＋３〉

槡ｎ＋１｜ｎ＋１〉＋同３〉 槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）ｘ３〉 槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）ｘ｜ｎ－３〉＋３ｎ槡ｎｘ｜ｎ－１〉｜ｎ３（ｎ＋１）槡ｎ＋１ｘ｜ｎ＋１〉＋槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）ｘ｜ｎ｜ｎ槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）

ｎ

＋３ｎ槡 ｎ

｜ｎ－２〉

ｎ｜ｎ

槡１ 槡槡

槡 槡 ｜ｎ＋２ ｜ｎ＋２ ３（ｎ＋１）槡ｎ

ｎ｜ｎ〉

ｎ ＋（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）

ｎ

｜ｎ＋２〉

ｎ ｜ｎ 槡 槡 槡 槡 槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）｜ｎ－４〉＋［（ｎ－２）槡ｎ（ｎ－１）＋３ｎ２（ｎ－１）槡（ｎ－２）］｜ｎ－２〉１ ＝４［３ｎ２＋３（ｎ＋１）２］｜ｎ〉＋［３（ｎ

（ｎ＋１）（ｎ＋２）＋（ｎ

槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）］｜ｎ＋２〉＋槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）｜ｎ＋４ 所以，〈ｎ｜ｘ３｜ｎ〉＝〈ｎ｜

｜ｎ〉

＋３（ｎ＋

２

２ｎ２＋２ｎ＋从而，Ｅ（１）

３ｂ（

＋２ｎ＋１），能量的一级近似为 Ｅ＝（ｎ＋１）ω＋３ｂ（２ｎ２＋２ｎ＋ 六、（９分解

１＋

１

１＋ｃｓγｃ＋

０ψ１／

１＋ｃｏｓγｃｏｓ＋ｉｃｏｓ＝ ２

１＋

知，电子自旋 １＋ｃｏｓ １＋ １－ 动量ｚ分量Ｓｚ的可能值 ２或－２，几率分别是 ；电子自旋角动量ｚ分量Ｓｚ平均值为Ｓ １＋ｃｏｓ＋（ ）１－γ 第二套模拟试—、问答题（每小题８分，共４０分＾１．对于一个力学量Ｆ，在其本征态φｎ中，该力学量可取何值？在某非本征态ψ中，该力学量可何值，各取值出现的几率如何确定２．何为全同粒子？全同粒子体系的波函数有何特点？３．量子力学中的力学量需要是线性厄密算符，为什么４．轨道角量子数ｌ＝１，并且自旋角量子数为ｓ＝１／２的粒子，其总角动量的角量子数和磁量子数分别可取何值？５．简述爱因斯坦关于光的发射和吸收的理论。二、证明题（每小题１０分，共３０分）１．证明：定态中，几率密度和几率流密度不随时间改变。２．证明：表象理论中量子力学算符矩阵为厄密阵。３．已知：Ｌ＾＝Ｌ＾ｘ±ｉＬ＾ｙ；证明：三、（１０分）设氢原子处在状态

Ｌ＾ｚ，Ｌ＾±＝±Ｌ＾Ψｒ，θ，ｓｚ）＝３Ｒ２１（ｒ）Ｙ１１（θ）χ１（ｓｚ）＋４ａＲ２１（ｒ）Ｙ１０（θφχ－１（ｓｚ 求：（１）能量、角动量平方、角动量ｚ分量及自旋角动量ｚ分量的可能值（２）这些可能值出现的几率和它们的平均值。四、（２０分）某体系哈密顿量的矩阵形式为 ０Ｈ＝ａ ０ ０ｂ－其中ａ、ｂ为实数且远小于１求：（１）利用矩阵形式的本征方程求解体系能量的精确值（２）应用微扰论求体系能量至二级近似第二套模拟详见第三套模拟试—、填空题（１、２题共１０空，每空２分，３题２０分，共４０分１、在量子力学中，体系的量子态用Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的 来描述，而力学量用 来描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 ２．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否是守恒量。３．简要说明（２０分（ａ）束缚定态的主要性质（ｂ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。二、证明题（３小题，每题１０分，共３０分）。 １．设全同二粒子的体系的Ｈａｍｉｌｔｏｎ量为Ｈ（１，２），波函数为ψ１，２）。试证明交换算符Ｐ１２是个守恒量＾ ＾２．设Ｕ是一个幺正算符，求证Ｈ＝ｉｄｔ·Ｕ是厄米算符＾３．设σ为Ｐａｕｌｉ矩阵ｙ（１）求证：ｅｉ＝ｃｏｓθ＋ｉσｙ（２）试求：ｒｅ＾三、（１０分）求证：ψｘｙｚ）＝ｘ＋ｙ＋ｚ是角动量平方算符ｌ２的本征值为２２的本征函数四、（１０分）设一量子体系处于用波函数ψθφ （ｅｉｉｎ＋ｃθ所描述的量子态。求＾（１）在该态下，ｌｚ的可能测值和各个值出现的几率＾（２）ｌｚ的平均值如有必要可利用

３ｃｏ槡１槡

３ｉθｅ±槡 五、（２０分）已知在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分 ２２ Ｅｎ＝２ｍａ２ ψｎ＝槡ａ

ａ （ｎ＝１，２，３，…＾设粒子受到微扰：Ｈ′（ｘ）

２ｋ， ０＜ｘ＜ａ （ａ－ｘ）， ＜ｘ＜ａ 求基态（ｎ＝１）能量的一级近似。∫ｙｃｏｓｙｄｙ＝ｃｏｓｙ＋六、（２０分）设｜ｎ〉（ｎ＝１，２，３，…）表示一维谐振子的能量本征态，且已知ｘ｜ｎ〉＝１ ｎ＋１｜ｎ＋１〉＋ ｎ｜ｎ－１〉， α＝ α槡 槡 （１）求矩阵元〈ｍ｜ｘ２｜ｎ〉（２）设该谐振子在ｔ＝０时处于基态｜０〉，从ｔ＞０开始受微扰Ｈ′＝ｘｅ－２ｋｔ的作用。求：经过充分长时间（ｔ!以后体系跃迁到｜２〉态的几率。七、（共２０分，每小题１０分某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有３种 ψａ（ｒ），ψｂ（ｒ），ψｃ（ｒ），试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目（１）无自旋全同粒子（２）自旋角动量

的全同粒子（例如电子）２第三套模拟详见第四套模拟试、填空题及简答题（４０分１．Ｐｌａｎｃｋ的量子假说揭示了微观粒 特性，Ｅｎｓｔｅｉｎ的光量子假说揭示了光性。Ｂｏｈｒ的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了原子的的起源问题。２．力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于该力学量的某一本征态。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是 ３．量子力学中的力学量需要是线性厄密算符，为什么？４．简述爱因斯坦关于光的发射和吸收的理论。５．何为态叠加原理？某波函数展开为某算符本征态叠加表示中的叠加系数有何物理意义？二、证明题 ＾１．设算符ａ具有性质ａ２＝０，｛ａ，ａ＋｝＝１。求证 （１）Ｎａ＋ａ本征值必为实数 （２）Ｎ２＝＾（３）Ｎ的本征值为０或者１２．利用对易式σ×σ＝２ｉ，求证：｛σ，σ｝＝０，（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）其中，σ，σ为泡利矩阵。３．证明一维谐振子 ＜Ｖ＞＝＜ｐ２／２＞。三、（本题１５分 →１．设氦原子中的两个电子都处于１ｓ态，（不简并）两个电子体系的空间波函数为 ψ１００（ｒ１）ψ１００（ｒ２）（１）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数χ，χ２，χ，→（２）写出对两个电子的交换反对称的总体波函数φ（ｒｒｓ１ｚｓ２ｚ（同时考虑空间自由度和自旋自由度）２．一电子处于自旋态｜ψ〉＝１（｜↑〉＋｜↓〉），求

（ｒ１，ｒ２）２ ２槡＾（１）在自旋态｜ψ〉下，Ｓｚ的可能测值与相应的几率＾（２）在自旋态｜ψ〉下，Ｓｘ的可能测值与几率四、（本题１５分）设一个类氢离子的电荷数由由Ｚ变成Ｚ＋１，试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数３Ｅｎ＝

，ψ１００

１（Ｚ

–ｅ–计算时，可利用积分公

ｄｘ ∫０五、（本题２０分

设一维谐振子的能量本征函数为ψｎ（ｘ），求＾（１）动量ｐ在ψｎ（ｘ）态下的平均值＾（２）动能Ｔ在ψｎ（ｘ）态下的平均值。如有必要，可以利 ｄψ（ｘ）＝ （ｘ） ｎ＋ ψψ槡２

ｎ＋１（ｘ）槡六、（本题１５分设一量子体系的Ｈａｍｉｌｔｏｎ量 ａ２ Ｈ＝ ａ３ ａ Ｅ２而且

２、

２３２、ａ １，试利用微扰法计算体系能量的一，二级修正值２３七、（１０分）在偶极近似条件下，根据选择定则画出下图中各能级间可能发生的跃迁。（直接画在图上）第五套模拟试、填空题及简答题（本题２８分＾１．自由粒子的能量算符Ｈ＝ ，它是 是自由粒子能量算符的本征值 的本征函数，它是平面单色波 的叠加态，在该态下， 具有确定值，但 不具有确定值，它的可能测值是 ２．一个处于２ｐ态的电子，问轨道角动量和自旋角动量耦合后的总角动量的角量子数ｊ和磁量子数ｍ可取何值？３．何为全同粒子？全同粒子体系的波函数有什么特点？二、（本题１２分）在下列两种情况下，求一维运动粒子的动量平均值ｐ（１）波函数ψｘ）是实函数０（２）波函数φｘ）＝（ｘ）ｅｉｋ０ｘ，其中，（ｘ）是归一化的实函数，ｋ是实常数。三、（本题１０分）０在氯化钠晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看成束缚在边长为晶格常数的立方体内的粒子。设在室温下电子处于基态，求处于基态下的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。四、（本题１０分个电子在ｔ＝０时，观测到自旋沿ｚ轴正向。问在ｔ＞０时电子的自旋方向在ｘ－ｚ平面内Ｚ轴成θθ＜π）角的几率是多少２五、（本题１５分设