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文档简介

第三节三重积分(一)一、问题的提出二、三重积分的概念三、三重积分的计算四、小结思考题一、问题的提出引言:我们知道，求非均匀平面薄片的质量、重心等问题是二维空间的问题，要用二元函数的积分（二重积分）去解决；类似的，求非均匀空间物体的质量、重心等问题是三维空间的问题，要用三元函数的积分（三重积分）去解决【实例】【解决方法】（1）分割（?）近似视为均匀（2）取近似类似二重积分解决问题的思想,采用“分割,取近似,求和,取极限”（3）求和（4）取极限m精确值二、三重积分的概念【说明】(1)（2）存在条件（充分性）（3）三重积分有与二重积分相类似的性质（7条）（4）三重积分的物理意义（5）三、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分

——将三重积分化为三次积分．以下只限于叙述计算方法1.直角坐标下2.柱面坐标下3.球面坐标下方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(切片法)(“先二后一”)先假设连续函数最后,推广到一般可积函数的积分计算.方法1：投影法【“先一后二”】如图∥z轴得X—型域【注意】此式称为先对z、次对y、最后对x的三次积分得计算公式（1）（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那样，将Ω分割，化为部分区域上的三重积分之和.（3）也可把Ω投影到yoz面或zox面上，便可把三重积分化为其它顺序的三次积分.（要求平行于x

轴或y

轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S相交不多于两点）.【例1】【解】如图X—型域作直线穿越Ω内部故则【例2】【解】如图示先一后二【方法Ⅱ】截面法(切片法)【

“先二后一”】(?)Dz之面积【解】原式(?)Dz之面积椭圆面积公式三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体

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