小波变换详解

第10章小波变换与JPEG2000编码之小波变换虽然基于DCT的JPEG标准的压缩效果已经很不错，但在较高压缩比时会出现明显的马赛克现象，且不能渐进传输。为了适应网络发展的需要，JPEG于2000年底推出了采用DWT(DiscreteWaveletTransform离散小波变换)的JPEG2000标准。小波变换是1980年代中期发展起来的一种时频分析方法，比DCT这样的傅立叶变换的性能更优越，被广泛应用于调和分析、语音处理、图像分割、石油勘探和雷达探测等等方面，也被应用于音频、图像和视频的压缩编码。本章先介绍小波变换的来龙去脉，然后分别介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar小波变换和整数小波变换，最后介绍JPEG2000的编码算法和标准。10.1小波变换小波变换(wavelettransform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。本节先讨论小波变换与(窗口)傅立叶变换的关系，然后依次介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar小波变换和第二代小波变换(整数小波变换)。10.1.1傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fouriertransform)是法国科学家JosephFourier发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，(1971年的诺贝尔物理学奖获得者)匈牙利人DennisGabor于1946年提出窗口傅立叶变换(windowFouriertransform)。可以用于时频分析，但是窗口大小是 JosephFourier固定的。1984年法国的物理学家JeanMorlet和A.Grossman，在进行石油勘探的地震数据处理分析时，又提出了具有可变窗口的自适应时频分析方法 小波变换(wavelettransform)。•傅立叶变换傅立叶变换(Fouriertransform)是1807年法国科学家JosephFourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分支——傅立叶分析。原始的多媒体数据一般为时空信号，在时空上有最大分辨率，并可利用时空上的相关性进行数据压缩。Fourier变换可将时空域中的多媒体信号映射到频率域来研究，即更符合人类感觉特征，也可以利用信号在频率域中的冗余进行数据压缩。Fourier变换所得的频率信号，在频率域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。时空信号：f(t),tu(-R,g)(—维时间信号，参见图10-1)Fourier变换，F(w)为频率信号：F(w)= f(t)e-jwtdt(参见图10-2)—gF(u,v)= f(x,y)e-js+vy)dxdy—g—gF(w)图10-2音频信号的频率图•窗口傅立叶变换虽然基于Fourier变换的频谱分析，在需要信号分析及数据处理的物理、电子、化学、生物、医学、军事、语音、图像、视频等众多科学研究与工程技术的广阔领域得到了非常广

泛和深入应用，但对既需要频谱分析又要求时空定位的应用，如雷达探测、语音识别、图像处理、地震数据分析等等，Fourier分析技术就显得力不从心了。为了弥补Fourier变换不能时空定位的不足，工程技术领域长期以来一直采用D.Gabor开发的窗口Fourier变换（短时Fourier变换），来对时空信号进行分段或分块的时空-频谱分析（时频分析）。窗口Fourier变换：（参见图10-4）F(t,w)= f(t)g(t-t)e-jwtdtg其中，g为窗口函数(参见图10-3)海明窗汉宁窗三角窗布莱克昼窗图10-3音频处理中常用的几种窗口函数图10-4图10-3音频处理中常用的几种窗口函数图10-4音频信号的三维频谱图虽然窗口Fourier变换能部分解决Fourier变换时空定位问题，但由于窗口的大小是固定的，对频率波动不大的平稳信号还可以，但对音频、图像等突变定信号就成问题了。本来对高频信号应该用较小窗口，以提高分析精度；而对低频信号应该用较大窗口，以避免丢失低频信息；而窗口Fourier变换则不论频率的高低，都统一用同样宽度的窗口来进行变换，所以分析结果的精度不够或效果不好。迫切需要一种更好的时频分析方法。小波变换近二十年来发展起来的小波（wavelet）分析正是这样一种时频分析方法，具有多分辨分析功能，被誉为数学显微镜。它是继一百多年前发明傅立叶分析之后的又一个重大突破，对许多古老的自然学科和新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击，并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域。函数展开与积分变换小波分析是傅立叶分析的发展，是分析数学的一个新分枝，高等数学中的微积分(数学分析)就是分析数学的基础。与幂级数、三角级数或傅立叶级数等一样，小波分析研究用一组简单函数，如｛xn｝、｛sinnx,cosnx｝等，来表示任意函数，如f(x)=£axn(幕级数)nn=0、a'V( n兀x‘.n兀x、'V严xf(x)=*+乙|acos——+bsm「一=乙ceji (三角级数/傅立叶级数)2Inlnl丿nn=1 n=—g其中11c=(a-jb),c=(a+jb),e；0=cos0+jsin0,j=、—1n2n n -n2n n被表示的函数的全体构成一个函数空间(一种函数的集合)，而表示这些函数的函数族｛xn｝与｛sinnx,cosnx｝等则为函数空间的基底。函数展开式中的系数为该函数在函数空间中相对于此基底的坐标，对应于函数空间的一个点。这相当于将函数从原来的域变到新的域如三角级数将时空域的函数变换到频率域。为了求得展开式的系数，需要对原函数求微积分，如幕级数中的f(")(0)

n!三角级数中的a=1Jlf(x)cos^^dx,b=1Jlf(x)sin^^dxnl-l l nl-l l和傅立叶级数中的1 .nac=-Jlf(x)e-jixdx

nl-lna若f(x)不是以2l为周期的函数，在上式中改记x为t、—厂=w，并让lfg，则得Fourier变换：F(w)=Jgf(t)e-jwtdt-g这是一种复变函数的广义积分，也是一种积分变换。小波的发展自从近两百年前JosephFourier在研究热力学问题提出Fourier分析以后，长期以来许多数学家一直在寻找更广泛函数空间的性能更好的基底函数族，工程技术领域也一直在寻找更好的时频分析方法，但收获甚微。1984年法国的年轻的地球物理学家JeanMorlet在进行石油勘探的地震数据处理分析时与法国理论物理学家A.Grossman—起提出了小波变换(wavelettransform,WT)的概念并定义了小波函数的伸缩平移系：1(x-b)S厂屮 >Ja|Va丿］但并没有受到学术界的重视。直到1986年法国大数学家YvesMeyer构造出平方可积空间L2的规范正交基一一二进制伸缩平移系：］屮(x)二2"2屮(2-jx-k)Ij,k小波才得到数学界的认可。1987年正在读硕士的StephaneMallat将自己熟悉的图像处理的塔式算法引入小波分析,提出多分辨分析的概念和构造正交小波的快速算法一allat算法。1988年法国女科学家InridDaubechies构造出具有紧支集的正交小波基Daubechies小波。1990年美籍华裔数学家崔锦泰和武汉大学的数学教授王建忠又构造出基于样条函数的单正交小波函数一一样条小波。1992年Daubechies在美国费城举行的CBMS-NFN应用数学大会上作了著名的《小波十讲TenLecturesonWavelets》报告，掀起了学习与应用小波的高潮01994年WimSwelden提出了一种不依赖于Fourier变换的新的小波构造方法提升模式(liftingscheme),也叫第二代小波或整数小波变换。连续小波变换连续小波变换(CWT=Continuouswavelettransform)的定义为：1 (x一b'W(a,b)= f(x"——dxf |a丨-8Va丿其中，a为缩放因子(对应于频率信息)，b为平移因子(对应于时空信息)，屮(x)为小

波函数(又叫基本小波或母小波)，屮(x)表示屮(x)的复共轭。连续小波变换的过程可参

见图10-5。

小波变换的特点有：（参见图10-6）■时频局域性、多分辨分析、数学显微镜■自适应窗口滤波：低频宽、高频窄■适用于去噪、滤波、边缘检测等wvww-Z时间(a)STFT\AAArZ时间(a)STFT时间(b)CWT图10-6窗口傅立叶变换与小波变换的时频特征1^=屮JaI如同三角函数sinx和cosx及e-jx可以缩放构成函数空间的基底｛sinnx,cos”%｝及｛e-jwx1^=屮JaI屮(x)=2一2屮(2-jx-k)>及<j，k与傅立叶变换不同，小波变换的结果有两个参数，多了一个可以表示时空位置信息的平移因子，所以其图示为一个二维曲面。图10-7/8是Mallat构造的一组典型数据的曲线及其连续小波变换曲面的二维与三维图示：

图10-7Mallat数据及其连续小波变换的二维图示图10-8Mallat数据及其连续小波变换的三维图示小波函数小波变换与傅立叶变换比较，它们的变换核不同：傅立叶变换的变换核为固定的虚指数函数(复三角函数)e-jwx而小波变换的变换核为任意的母小波屮(X)。前者是固定的，而后者是可选的，实际上母小波有无穷多种，只要屮(X)满足下列条件即可。小波函数需满足的条件：绝对可积且平方可积，即屮eLnL

■正负部分相抵，即L屮（x）dx=0（即v（0）=0）—gd^<g（广义积分收敛）d^<g（广义积分收敛）—g其中v（①）为屮（x）的傅立叶变换常见的小波函数有：1,0<x<0.5■Haar小波(AlfredHaar，1910年)：屮(x)=<—1,0.5<x<1，参见图10-9。0,其他图10-9图10-9Haar小波函数及其Fourier变换d2 —X2■墨西哥草帽（Mexicanhat）小波：屮（x）= e—2，参见图10-10。dx2图10-10图10-10墨西哥草帽小波函数及其Fourier变换—x2■Morlet小波(JeanMorlet，1984年)：屮(x)二ejCx-e—2,C>5，参见图10-11。除了Haar小波外，其他紧支集小波都不是初等函数，有的小波函数是用导数/积分或微分方程/积分方程来定义，有的小波用其傅立叶变换定义，有的小波甚至没有解析表达式，而只是一些数字解，很多小波为复函数，所以不太直观。可以把小波与三角函数中正弦波加以比较(参见图10-12)。离散小波变换将连续小波变换的缩放因子a离散化，得到二进小波变换;再将其平移因子b也离散化,就得到离散小波变换。1)二进小波变换与滤波器为了适应数字信号处理，需要将小波变换离散化。可以先进行缩放因子的离散：若小波函数屮满足Y|甲(2k助|2二1，kwZ则称屮为基本二进小波。在连续小波变换中，若屮为基本二进小波，则令a=2k，得到二进小波变换：代f代f(x"—g(x—b\ dxI2k丿为了构造基本二进小波，可设0满足:I&@)|2仝|甲(2j®)|2可推出|『(0)|2二1，贝切大体上相当于一个低通滤波器，因此，0(2x)的通道比0(x)的宽,可设0满足如下的双尺度方程：

0(x)=2工h0(2x—n)nneZ其Fourier变换为：- (eY-fe V,0(e)=H—0—，其中H(e)=乙he_伽12八2丿 ZnneZ为低通滤波器。由I6(0)12=1，可得H(0)=1即£h=1。n若设IG(3)|2二1-1H(®)|2，其中G(e)二工ge-iennnwZ则G为高通滤波器，有屮(x)二2工g0(2x—n)nneZ其Fourier变换为：叭2e)二g6)|J6)因0(0)=0且10(0)|2二1，得G(0)=0即£gn=0。例如(B2滤波器)，若取0为二次B样条，则/①1H(e)=e12(cos) +3+3e—ie+e—2e)28可得h=h，K=h=3/8=0.375，h严h=1/8=0.125，其余h=0；n1-n0 1 -1 2 n因G不唯一，可令G(e)=—G(—e),gn=-g—,解得-g0=g]=0.5798,-匕广g2=0.0869,-g-2=g3=0.0061，其余gn=0。又例如(B3滤波器)，若取0为中心三次B样条，则eH(e)=(cos)eH(e)=(cos)42+e—i2e)= (ei2e+4eie+6+4e—ie16可得h=h，h=3/8=0.375，h严h=1/4=0.25，ho=h=1/16=0.0625，其余h=0；n-n0 -1 1 -2 2 n似上例可得gn=-£“，-£]=g1=0.59261，-g_2=g2=0.10872，-g_3=g3=0.00008，其余g为0。◊n2)离散小波变换下面再将二进小波变换中的平移因子也离散化：令b=n2k，则可得离散小波变换:Wf(n)=2-k/2J®f(x)^(2-kx—n)dx2k —8可以用前面所讲的滤波器系数改写成如下循环形式：

Wf(n)=工gSf(n—2j-1k)2j k2j—1kSf(n)二乙hS f(n—2j-1k)2j k2j—1k其中，S#（n）=f（n）,D=Wf为差——高频部分，A=Sf为剩余——低频部分，hk与gk为上面讲过的滤波器H（①）与G（①）之系数。可以写出正反离散小波变换的具体算法如下：■正变换（分解）（保存Sf和所有Wf）2J2jj=0;Sf(n)二f(n)；20while(j<J){Wf(n)二工gSf(n-2jk)2j+1 k2jSf(n)=2j+1hSf(n-2jSf(n)=2j+1k2jkj++;}■逆变换（重构）（利用正变换所保存下来的Sf和所有Wf）j=J;while(j>0){S f(j=J;while(j>0){S f(n)=2j-1工hSf(n—2j-ik)+工gWf(n—2j-1k)-k2j -k2jkkj--;}f(n)二Sf(n)20

说明：图形的横纵坐标分别表示时间(平移因子)和变换结果Sf与Wf的值。小波分解可以无限进行下去，J是自己指定的最大分解次数，一般为8〜10。求和符号中kuz,无上下限，但具体计算时，由于只有有限个hk、gk不为0,所以实际上是有限的。逆变换中h与g上的一杠表示复数的共轭，对于实h与g，则共轭与不共轭相同。求Sf与Wf都涉及到对所有的样本求和，不可能只处理一个样本。3)小波分解执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法。这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码。用滤波器执行离散小波变换的概念如图10-14所示。图10-14双通道滤波过程图中，S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号，A表示信号的近似值(approximations),D表示信号的细节值(detail)。在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起

来就莫名其妙。在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。由此可见，离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成如图10-15所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树(waveletdecompositiontree)。分解级数的多少取