材料力学讲义五

材料力学讲授:顾志荣第十章应力状态理论基础

同济大学航空航天与力学学院

顾志荣材料力学第十章应力状态理论基础一应力状态的概念及其描述二平面应力状态分析—数解法三平面应力状态分析—图解法四三向应力状态五广义虎克定律六三向应力状态下的变形能一应力状态的概念及其描述第十章应力状态理论基础第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述1问题的提出2应力的三个重要概念3一点应力状态的描述一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力F拉(压):一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

扭转:讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

对于横截面上既有正应力又有剪应力的一些点如何建立强度条件?这些点强度条件的危险应力如何确定?一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

FPl/2l/2S平面5544332211

S平面123S平面

5544332211一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

4PlFMz=一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中,除了在跨中底部会发生竖向裂缝外,其他部位还会发生斜向裂纹?这些问题都要通过应力状态的分析来解决.2.应力状态的三个重要概念(1)应力的面的概念(2)应力的点的概念(3)应力状态的概念第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述轴向拉压同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述应力指明哪一个面上

哪一点？哪一点哪个方向面？第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。应力状态分析就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述单元体3.一点应力状态的描述第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述

图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。

课堂练习第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述FPl/2l/2S’平面5544332211S’平面第十涝章响应当力状炊态理铜论基产础/燥一悲应力贸状态衰的概袖念及鬼其描展述课堂依练习绘图定示梁纸S’浙平面撕上各点元的应钟力单衔元体123S’平面

5544332211一蒙应力畏状态线的概园念及佩其描搜述/惧1继问题扎的提射出FPlaS第十顷章始应承力状值态理陕论基撒础/融一封应力命状态配的概际念及角其描锄述课堂导练习绘图魂示构文件固洲端S面截面狐上、公下、左、右切析线点疤处的翠应力巴单元清体xzy4321S平面第十盈章沿应淘力状掏态理惹论基蕉础/灾一篮应力代状态眯的概剥念及订其描免述SFPyxzMzFQyMx4321143第十为章往应祸力状全态理尼论基命础/智一萌应力捕状态撇的概歪念及隐其描搬述课堂统练习l课堂筋练习承受促内压衬、扭道转的颗薄壁奖圆筒斑,试身从加誉强肋略之间僻取应柜力单术元体第十翻章怀应季力状总态理束论基津础/年一苏应力执状态体的概妙念及哗其描惨述ｐＤｐπD２４)Dp(xsｐ第十挣章蒜应怠力状氏态理御论基蜂础/徐一家应力止状态冲的概糖念及锯其描亭述ｐｐ×尿Ｄ×换ｌ第十恭章研应狭力状进态理贷论基胡础/倍一败应力陕状态闸的概市念及赔其描坛述l第十语章鼻应榆力状降态理砌论基屯础/市一愚应力冰状态组的概目念及徒其描适述ltsms第十袜章坚应留力状律态理湖论基锅础/辱一滨应力软状态末的概罢念及宵其描铁述ｐ二房诚平面救应力鲜状态忍分析—数解更法第十欺章脑应虑力状吵态理治论基晓础第十乖章堵应阔力状波态理挖论基赞础/扭二翅平面稼应力劳状态心分析—燃数解傍法1.亮斜截翅面上罢的应庸力已知彻受力吓构件敞中的枪应力呈单元博体求垂樱直于眯xy淡面的打任意疫斜截或面e酿f上蓄的应渴力公式马推导气使用痒的符影号规矩定：α角由x伍正向肢逆时芝针转溉到n军正向针者为芒正；弓反之姥为负胁。正桐应君力拉应力为正压应力为负切记应战力使单讲元体古或其雁局部仓顺时额针方白向转鲁动为姻正；耐反之牺为负挂。第十摆章刑应列力状狗态理渴论基袍础/后二迈平面质应力纽奉状态织分析—从数解爹法αα公式忽推导(1炒)拦面骄上的瓶应力警：第十盖章系应输力状蛾态理茄论基环础/旨二吊平面丙应力赠状态棉分析—愈数解甜法用斜截面截取，此截面上的应力为公式惩推导(2腿)舟面液上的疼应力睬：即单魂元体识两个婚相互朵垂直篮面上的正裁应力颤之和忘是一荐个常搜数。即又堤一次蚕证明映了剪性应力钻的互少等定押理。公式渴推导(3促)搜面上挖的应猜力之阶间的历关系尿：第十虫章旺应恭力状切态理疾论基挎础/蜂二赶平面粗应力允状态抱分析—液数解浆法2.在何给处?叉该窝处令,则:即:面上颤有第十选章饿应捧力状本态理钓论基举础/蒙二右平面答应力乔状态貌分析—仿数解叛法在何风处?令得:任意宰(为辜方便数)令宰:可发碍现:乎①正健应力涉极值押有两稻个方践面②习相差第十腾章逮应诊力状笑态理态论基街础/冬二亮平面裕应力饭状态蚕分析—昏数解骄法将化代艘入早式贩,得显然萍,在启面上3、=判?栏在泻何处钥？后该处堪σ=毯？令面上把的正权应力爽:即:方位雾:大小辉:将点代枯式纽奉,得哭:4、耽主平梁面、掌主应枪力、苗主应涉力的玻排列主平劣面：亲单元梨体中质只有刷正应急力而抬没有舒剪应阻力的乳平面辰称为渡主平面荷。主应时力：县主平灿面上惠的正段应力亮称为扒该点挎的主蝇应力停。主应浴力的作排列金：用代情数值林确定黑，排忙列为、、三向粒（空盲间）枝应力雕状态第十阳章哗应贷力状灵态理蠢论基侵础/喘一苏应力姻状态尚的概嘉念及勒其描懂述5、苦应力辅状态豆的分兽类：平面雪（二场向）提应力谁状态第十室章池应更力状苍态理嚼论基协础/剩一日应力天状态喊的概旷念及这其描肥述xyxy单向串应力更状态纯剪谈应力质状态第十初章喜应业力状零态理偶论基染础/恶一逝应力现状态俯的概攻念及以其描游述三向榆应力性状态平面啊应力店状态单向状应力妻状态纯剪终应力筝状态特例特例第十萝章猎应贡力状凝态理撞论基屯础/痕一亦应力尤状态茅的概哗念及哲其描械述一点处的平面应力状态如图所示。已知

试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题（1饰）斜齿面上恩的应亮力解、挣(1伟)斜面宵上的蔑应力（2且）主纲应力主平帝面的启方位探：哪个尊主应纷力对独应于毯哪一霉个主雹方向惧，可于以采赔用以闯下方肢法：主应力的方向：主应力的方向：++图示计应力投单元升体，柴试求假斜面齿ab傲和b屯c上割的应燥力。在二局向应现力状龟态下和，任圣意两甩个垂朋直面忽上，名其σ盐的和浊为一闻常数比。例题分析稠轴向棒拉伸裹杆件得的最危大切所应力登的作颈用面绩，说沿明低垂碳钢熔拉伸吗时发懒生屈言服的喝主要捐原因廊。低碳促钢拉亩伸时设，其虾上任冬意一韵点都欺是单袜向应东力状升态。低碳圾钢试甘样拉球伸至奋屈服甚时表宪面沿宅450出现脱滑移染线，庸是由桌最大祥切应贡力引阵起的险。例题分析辟圆轴悦扭转局时最凤大切监应力敌的作混用面匹，说歇明铸下铁圆告试样申扭转悼破坏陡的主扩要原伴因。铸铁液圆试虏样扭薄转试蜘验时陵，正升是沿厚着最朴大拉溜应力壮作用歉面（饲即4利50螺旋付面）税断开虽的。配因此肃，可经以认雾为这偷种脆脊性破漠坏是环由最叛大拉捕应力核引起且的。例题三盖平面糠应力捆状态修分析—图解交法第十血章紧应类力状捷态理宝论基奇础1、半应力各圆方现程(1反)(2油)对(布1)畏(钢2)锈式两绘边平观方，份将两返式相我加，竭并利弊用消去种和虹，得(3贴)RR比照解析几何的曲线方程是一个圆心在(a.0),半径为R的圆，则是个应力圆的方程2.赏应力呈圆是温个信杯息源委(从躺力学同观点从分析版）（1战）若埋已知虚一个齐应力辞单元旷体两庭个互肃相垂引直面贯上的酱应力歌就一灭定可洒以作控一个己圆，拐圆周无上的融各点啄就是则该单或元体料任意唇斜截裳面述上飘的应茶力。（2敢）平救面应会力状填态下走任意欧斜截已面鼓上跨的应役力相良互制扮约在奖圆周析上变未化。在σ-τ坐标右系中像，标脖定与瓣微元也A、游D面上划应辜力对摆应的栽点a和d连ad交s

轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。ADa(sx,tx)d(sy,ty)cR3.杯应力挪圆的驰画法点面屠对应——香应力燥圆上干某一岛点的播坐标朝值对似应着神微元苗某一巨方向捡面上想的正贯应力障和切锈应力4、砍几种斩对应扩关系caA转向剩对应——半康径旋辱转方播向与孤方向鹅面法奶线旋戒转方键向一喷致；二倍束角对庙应——刘半径姜转过电的角县度是汪方向史面旋斤转角度归的两英倍。caDndxA2b(sy,ty)Oca(sx,tx)BABAsxsxADtsodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE（1镜）对赵基本控变形滤的应雀力分术析单向夜拉伸5、馆应力穴圆的拴应用单向诵拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o45那º方向评面既电有正旺应力位又有蜻切应躁力，鲁但正丹应力宁不是浆最大丸值，咳切应艇力却帮最大币。可见闭：s-45ot-45ottotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45º2×45ºs45o＝tBE纯剪飘切（1手）对梁基本役变形怀的应健力分凡析5、季应力借圆的执应用BEttBE纯剪槽切s45o＝t5.讯应力鹅圆的凉应用（2恨）平昏面应岩力状鼻态下懒求任挂意截躲面上礼的应扇力点面链相对扯应，锈首先勾找基军准。转向嫂要相娃同，晓夹角语两倍术整。txsxsytytsoc20adAD主平第面：τ=妇0,与应惊力圆焦上和厅横轴骑交点爪对应倍的面5、筝应力来圆的庭应用(3使)平孕面应闭力状修态下喜主平味面、虑主应创力及迅主方挡向txsxsytyAD主应停力的墙确定tsoc2αoad5、拉应力稼圆的清应用(3阻)平司面应饥力状绞态下切主平渠面、哄主应洁力及序主方议向主应胁力排饥序：tsoc2qpadtsotso5、娇应力慌圆的印应用(3职)平孟面应渠力状甜态下婶主平内面、赶主应否力及革主方留向txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s1os2s2(sx,txy)主方踏向的鄙确定负号勉表示骄从主世应力弯的正签方向到x轴的酸正方冲向为去顺时鼠转向g5、俭应力角圆的吨应用(3饶)平下面应季力状仗态下百主平士面、母主应内力及礼主方肆向对应摆应力朽圆上挎的最娃高点赵的面捐上切壁应力采最大辰，称划为“崇面内笼最大爽切应联力”。tma弱x5、熟应力申圆的胜应用（4题）面况内最霸大剪熔应力tsoc2oad例题试用都应力打圆法且计算李图示景单元平体e未--荡f截俭面上通的应猎力。遭图中猎应力淹的单另位为摄MP聋a。

例题一点处的平面应力状态如图所示。已知

试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。AD用应歌力圆厉解法otscdfe解：主应金力单映元体辅：三向冬应力获状态1.三向笔应力淋状态弱的概句念2.三向兽应力抽状态文的应逗力圆3.一点亲处的疫最大疾应力第十翁章侄应暮力状未态理以论基爽础空间鞋应力寸状态功：三档个主都应力旱均不材为零读的应谦力状槐态s1s2s3四续三向半应力神状态怒/1狱.三绣向应季力状嫂态的哗概念szsxsytxty至少别有一罚个主身应力赢及其钻主方程向已妈知sytxtysxsz三向踩应力忘状态翅特例娱的一签般情故形四怒三向携应力藏状态片/1桌.三食向应蜜力状族态的支概念tss3s2IIs1s2s3(1类)求况平行识于σ1的方雁向面湖的应霜力σα、τα,其上突之应辽力与σ1无关草.于兄是由σ2、σ3作出涉应力无圆I四解三向雪应力烟状态丧/2凡.三延向应谊力状敞态的跌应力欺圆IIs1

s3IIIs2tsOs2s3s1(2义)求谁平行智于σ2的方衰向面裂的应拴力σα、τα,其上扩之应虚力与σ2无关架.于晨是由σ1、σ3作出蛋应力誓圆Ⅱ四竞三向母应力狮状态谅/2屿.三龙向应占力状聋态的类应力烂圆IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3倾)求鄙平行湖于σ3的方婆向面劣的应派力σα、τα,其上万之应摆力与σ3无关另.于捞是由σ1、σ2作出狐应力心圆Ⅲ四傲三向丝式应力仓状态撞/2鄙.三佩向应撒力状瓣态的屡应力钢圆s1s2s3(4嫁)一迁点处臣任意态斜截昂面上牌的应地力σn、τn,其上辞之应社力与σ1、σ2、σ3都有罗关.四叉三向序应力菜状态离/2尊.三禾向应及力状碎态的炎应力围圆在σ-司τ平面膏内,质代表努任意谊斜截室面的杠应力翠的点宜或位贪于应鸡力圆纹上,壤或位网于三锋个应誉力圆躲所构煌成的熄区域卧内.IIIs3II午Is2s1Ots四鲜三向励应力茂状态槽/3耳.一兆点处筛的最伐大应蝴力一点鼓处最巾大正屋应力捉与最邪小正勾应力由σ1和σ3所作润成的散最大应力碑圆可爪见:IIIIIIs1s2s3tsOtszyxs2s1s3四责三向喜应力平状态井/3炮.一简点处叼的最附大应凭力(2统)面单内最煎大剪帐应力绘与一瞎点处碎最大顺剪应纵力ⅠOtss3s2zyxs2s3四鲁三向企应力施状态地/3雀.一杰点处五的最帝大应溜力(2辜)面糕内最封大剪俗应力通与一熟点处花最大币剪应其力Ⅱzyxs1s3s1Otss3s2Ⅰ四绑三向岩应力电状态虾/3浙.一姿点处闭的最呆大应宣力(2暴)面丙内最龄大剪充应力章与一倒点处女最大祥剪应堵力Ⅲzyxs2s1s1Ⅱs1Otss3s2Ⅰ四炼三向庙应力醉状态捡/3奇.一王点处累的最花大应负力(2默)面退内最闹大剪挥应力旬与一轻点处滩最大缸剪应删力Otxysx在三乖组特代殊方袭向面邪中都陷有各追自的络面内痒最大预切应煮力,护即：四废三向唉应力示状态洲/3闸.一捉点处逗的最籍大应面力五脏广成义虎橡克定徐律1.横向撑变形具与泊莲松比2.三向据主应遣力状席态的较广义矿虎克记定律3.三向愉一般住应力驼状态猴的广规义虎稍克定锅律4.弹性授常数E、G、μ之间批的关律系第十慢章天应岩力状凳态理除论基比础各向尊同性缴材料嫂的广绝义胡献克定根律1、调横向标变形闯与泊让松比溜（各辩向同风性材伟料）--泊松比yx2、税三向渠应力利状态值的广由义胡游克定大律－温叠加挥法++231231231231231231231分析糖：(1始)即(2)当时，即为二向应力状态：(3)当时，即为单向应力状态；即最属大与雹最小供主应侄变分凭别发岸生在蝴最大棕与最锁小主桶应力隆方向蜡。

若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应变关系为：

yxz3.字三向痕一般平应力狗状态榴的广慎义虎呈克定谷律4、备三个抬弹性节常数E、雅G、μ之间社的关活系边长去为2旨0m受m的丘钢立壤方体晨置于数钢模定中，线在顶陷面上限受力尿F=翁14焰kN哭作用璃。已症知，μ=0卷.3花，假播设钢丧模的极变形批以及齿立方逗体与淋钢模很之间浮的摩侨擦可命以忽州略不石计。茧试求叫立方搅体各擦个面沿上的格正应芳力。例题某点诱的应烘力状服态如判图所搏示,幅当σx,σy,σz不变您,τx增大牺时,庄关于周εx值的矛说法习正确强的是堵__肠__以.A.怨不变B.次增大C.寺减小D.帽无法啊判定εx仅与鸟正应村力有贤关，药而与稿切应五力无遵关。茅所以丸当切鹅应力舰增大插时，气线应杠变不显变。例题一受河扭圆会轴,漆直径抽d=夸20格mm埋,圆丽轴的藏材料图为,进E=费20似0G秩Pa据,ν炒=0炼.3毅.现贺测得匠圆轴务表面煮上与怠轴线隔成4茶50方向牌的应茂变为邪ε=碧5.息2×守10-4,试忧求圆鉴轴所疼承受疏的扭皆矩.例题已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45°方向测出线应变。现测得轴向应变，45°方向的应变为。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求F和m的值。FmmFkuu45°例题解：（1周）K点处第的应居力状宴态分未析在K点取累出单纱元体勇：K其横纯截面设上的农应力迎分量万为：（2绞）计壶算外搂力F.由广级义胡岸克定苏律：解得侦：（3低）计存算外滤力偶m.已知式中Ku由解得政：因此六宗三智向应雀力状域态下识的变腔形能1.体积京应变2.体积撇改变煤与形正状改要变3.三向缩慧应力膜状态摩下的聋变形预比能第十垦章忠应嫂力状揉态理碑论基波础变形真前单融元体飞体积六册三乔向应饥力状怀态下糖的变腊形能鸣/1染.体埋积应叨变变形留后单衡元体妙的各浊棱边庭长度将分堵别变鹊为变形民后单即元