材料力学讲义四

材料力学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第六章弯曲内力材料力学第六章弯曲内力一平面弯曲的概念及梁的种类二梁的内力及其求法三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系五平面刚架与曲杆的内力图六关于内力图的进一步讨论第六章弯曲内力一平面弯曲的概念及梁的种类1、平面弯曲的概念讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围:（1）杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）对称轴对称轴对称轴对称轴第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类

(2)载荷作用在对称平面内

所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内(受力特点)。轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）(3)杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线(变形特点)。1、平面弯曲的概念第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类PaAB阳台梁栏杆PABq第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类上海长江大桥第53号至54号桥墩间，将架起“百米长梁”。这一箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。"百米长梁"超越东海大桥"梁式大桥"70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100公里。整个隧桥工程将在2010年完工。

上海长江大桥架起"世界第一梁"3、梁的种类：静定梁——支座反力可由静力平衡方程确定的梁。（a）简支梁（b）悬臂梁（c）外伸梁（d）静定组合梁中间铰第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类

超静定梁——支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力二梁的内力及其求法x解：(1)、根据平衡条件求支座反力(2)、截取m-m截面左段。AxmmM剪力——使截面不产生移动弯矩M——使截面不产生转动得到：oALBFabmm1、梁的内力—剪力与弯矩得到：第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

2、剪力、弯矩的正、负号规定：Q（＋）QMM（－）符号规定左上右下，剪力为正左顺右逆，弯矩为正第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

例题

一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC3、求指定截面上的剪力和弯矩第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

2、求C截面（跨中截面）上的内力qAaC得到：（剪力的实际方向与假设方向相反，为负剪力）得到：（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

如以右侧梁作为研究对象，则：为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。qBaC第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

截面气左侧艇（或梦右侧桶）梁舅上的循所有哲外力陈（力娱和力申偶）济向截倡面形咸心简塞化所沟得到预的主泪矩。qAB4aaaC取左架段梁治为研良究对段象:取右么段梁慨为研跳究对原象:第六嫁章点弯败曲内海力/跑二芹梁的奴内力虎及其铲求法截面盾左侧突（或伍右侧带）梁妻上的预所有叼外力向截诊面形遮心简母化所销得到界的主弟矢。截面垃左侧写（或旬右侧肾）梁牧上的泽所有绒外力（力盈和力庆偶）窝向截雷面形削心简寸化所瞒得到的理主矩侦。第六姜章穿弯仗曲内雅力/而二矛梁的史内力链及其汁求法解：1、金根据岭平衡壶条件罚求支现座反暗力例题一外圈伸梁畜受力校如图夕所示年。试毅求D、B截醉面上参的内阳力。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=删2K洋NDC2、哥求B、D截迎面上扑的内县力?第六娘章学弯向曲内绳力/乐二断梁的挪内力船及其焰求法解：1、然根据卖平衡泥条件么已求磨出支她座反嚼力例题一外疼伸梁祸受力雄如图街所示得。试侄求D左、D右、B左、B右截面吼上的响内力定。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=工2K木NDC2、误求D左、D右、B左、B右截面脸上的壮内力绿?第六酱章喘弯指曲内炉力/拣二震梁的掉内力懒及其戚求法AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=六2K岸NDC截面：第六武章斥弯招曲内坟力/喜二缴梁的锤内力骗及其售求法AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=静2K碗NDC截面：第六免章腔弯事曲内亡力/殊二纤梁的王内力搅及其掀求法截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=赢2K赔NDC第六昌章预弯岂曲内乔力/伐二察梁的炸内力埋及其坊求法截面：与截面相比，该截面的内力只增加了约束反力，故有：亦可即取梁奖的右最侧的窄外力梅简化走，但勤必须彩注意滔外力懂的符处号变盘化。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=杯2K阅NDC第六茎章趋弯喝曲内蛾力/态二托梁的坊内力京及其队求法4、举小结芽(基蝴本规膨律)（1烟）求淡指定涂截面古上的奋内力气时，丘既可钓取梁桶的左怕段为铺脱离鸡体，庸也可扰取右宝段为昼脱离想体，相两者炕计算袖结果筝一致低（方标向、锤转向角相反旱）。柏一般鲜取外迫力比德较简志单的城一段订进行域分析鸣。（2生）在旦解题云时，袋一般析在需假要内怨力的坛截面望上把掌内力薯（FQ、M）假获设为芝正号宇。最梳后计舌算结薪果是赵正，基则表糠示假兼设的击内力阵方向抛（转奶向）泥是正鄙确的话，解守得的FQ、M即为望正的滨剪力每和弯窗矩。棉若计雄算结葱果为勺负，默则表爆示该带截面狼上的广剪力膏和弯逆矩均努是负择的，混其方启向（耳转向副）应杏与所宜假设举的相船反（争但不属必再皱把脱牲离体嚷图上风假设类的内艇力方鼻向改质过来谦）。第六坑章国弯江曲内傻力/颜二迫梁的址内力追及其零求法（3磁）梁裕内任总一截盒面上雅的剪茄力FQ的大索小，蛛等于肾这截攻面左桨边（包或右摘边）博所有垒与截著面平俗行的换各外沉力的姓代数巷和。若考萌虑左柜段为苍脱离咸体时眯，在费此段史梁上鲁所有些向上励的外舞力会客使该庸截面锻上产角生正帅号的宴剪力品，而紫所有禁向下婚的外欠力会相使该斜截面失上产这生负谎号的被剪力呈。（4斑）梁圣内任艰一截记面上粘的弯歼矩的祸大小洋，等因于这险截面堆左边呜（或箭右边知）所舅有外揉力（透包括排力偶准）对脾于这酿个截帆面形众心的僻力矩牵的代说数和傲。第六外章适弯野曲内哨力/粪二映梁的叶内力提及其批求法若考寒虑左煮段为择脱离鉴体时绝，在仙此段梯梁上员所有尖向上碍的力梅使该驶截面心上产宰生正齐号的贤弯矩以，而叹所有喊向下登的力雅会使教该截其面上责产生声负号重的弯阶矩;触在此垂段梁榨上所棒有顺榴时针墓转向耗的外模力偶绝会使熊该截汤面上吐产生枯正号具的弯遇矩，忽而所滴有逆忌时针括转向慢的外谦力偶洪会使奴该截贷面上扰产生斗负号待的弯辜矩。(5蚀)集蔽中力攻作用唱的截藏面上保剪力虹有“杯跳跃碍“（葡突变撒），且其跳朽跃的测值就拜是这静个集宁中力财的大某小；眉集中景力偶际作用年的截非面上瓣弯矩煌有”幻玉跳跃膀”，剥其跳绕跃的专值就记是这怀个集钓中力卖偶的铁大小浪．第六铲章屿弯康曲内矛力/扯二帖梁的西内力谣及其殖求法第六颗章粮弯亚曲内蔬力三铸剪力今方程击与弯牧矩方许程、进剪力雁图与勺弯矩半图在一顾般情步况下晨，梁升横截撇面上讨的剪缺力和剑弯矩修随截饺面的予位置馅而变基化。因此揭，剪盲力和诱弯矩县均可明表示伸为截青面位黑置x救的函济数，侦即称为发剪力寇方程师和弯朵矩方悟程AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF1拿剪力量方程热与弯福矩方板程第六护章阔弯牺曲内削力/趋三汇剪力膀方程驻与弯婆矩方闸程、欣剪力迈图与愿弯矩料图2些内力菌与外孕力的遭相依纤关系某一跟截面失上的纳内力摘与作猜用在介该截郑面一午侧局前部杆作件上尼的外找力相显平衡均；在载垄荷无覆突变惕的一雾段杆邪的各胃截面孙上内眨力按遍相同键的规衰律变坚化；第六况章让弯悦曲内径力/悟三哨剪力快方程萍与弯箭矩方姓程、栽剪力青图与躺弯矩种图AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此演，必丢须分案段列释出梁叙的剪撇力方赤程和蛇弯矩朝方程求，各筋段的喘分界柳点为秋各段诉梁的输控制支截面践。所谓蛛控制顽截面构,即奸外力冒规律语发生件变化榜的截东面—博集中扮力、兆集中愈力偶轨作用湾点、董分布闷载荷贱的起牛点和严终点弃处的找横截树面。3栗控制必截面文的概蜓念第六痕章游弯爸曲内案力/检三杠剪力证方程袖与弯惊矩方猪程、堵剪力兆图与梨弯矩建图xx(+破)(+圆)(-柱)(-牛)剪力乳图和练弯矩爸图—揉—用肾图示植方法当形象姻地表倦示剪私力和傍弯矩妖沿梁聚轴线井的变雾化情录况。注意青：必乏须标扑明控抢制截面枝上的融内力两值4票剪力屿图和停弯矩绒图第六喘章冰弯蜂曲内熄力/喘三康剪力钻方程保与弯悬矩方值程、棒剪力乔图与贫弯矩匹图例题悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的和及其所在截面位置。Pm=PaACBaa取参骄考坐意标系性Ax边y。解：xy1、骆列出庙梁的屑剪力简方程养和弯撇矩方浑程AB全段:x第六聪章辉弯冬曲内徐力/匙三吹剪力貌方程昨与弯治矩方繁程、陆剪力银图与责弯矩枯图BC危段:Pm=PaACBaaxx2、猴作梁艳的剪用力图裹和弯均矩图-PPa(+紧)(-晕)3、求和（在轮BC酿段的邻各截淋面）（在叙AB摸段的险各截额面）第六桥章单弯屡曲内芬力/技三使剪力大方程债与弯发矩方低程、滩剪力鹊图与描弯矩适图注意殖：1、国在列翻梁的宏剪力摇方程捧和弯快矩方催程时沉，参携数x狡可以估从坐穴标原旺点算起，芝也可杰从另怨外的蛙点算容起，扯仅需转要写卷清楚舞方程测的适军用范权围（x暑的区季间）帆即可径。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3、辅若所从得方纵程为瓣x的椅二次代或二币次以鞭上方冲程时雀，则寒在作衫图时凝除计算控优制截跨面的董值外夕，应序注意礼曲线服的凹按凸向宪及其迷极值他。第六夜章揭弯坑曲内杂力/朽三哲剪力亲方程进与弯阵矩方故程、洲剪力扭图与犁弯矩懒图例题沿外伸遭简支闯梁受巴力如味图所漆示。胡试列爬出梁狭的剪贪力方虏程和作弯矩方程哲，作久出梁榨的剪蚊力图焦和弯故矩图酷。ABqF=qaCa2a解：xy1、报取参盘考坐之标系摩Cx己y。湿根据畏平衡感条件喇求支蒜座反池力第六丑章笑弯声曲内享力/筐三赏剪力寇方程租与弯筋矩方设程、童剪力峡图与协弯矩插图2、姨列出业梁的梨剪力等方程阶和弯岁矩方跪程yABqF=qaCa2axCA郊段:xAB召段扇:x第六挎章担弯朽曲内遭力/妄三融剪力责方程油与弯巴矩方红程、遗剪力槐图与麦弯矩敬图yABqF=qaCa2ax3、仪作梁战的剪缘瑞力图皱和弯特矩图-q显a(-狸)(-婚)(+袖)(-乱)E(+文)第六去章恐弯趴曲内萍力/降三卸剪力居方程钥与弯抗矩方剂程、危剪力娘图与锯弯矩泛图例1桌.她简陕支梁渠AB回受力誓如图疫，试置作该卵梁的铲剪力鸭图和狭弯矩芒图。yxaaapapACBDFAyFByxxx解：1.支座反力2.剪力方程、弯矩方程yxaaapapACBDFAyFByxxxP／32P／3QxPa/32Pa/33.剪力图、弯矩图

MxoPa/3例2源.晕简芽支梁井AB扒受力哪如图虏，试少作该命梁的元剪力裕图和权弯矩熔图。yxaaqa2ACBqFAyFByxx解：1.支座反力2.剪力方程、弯矩方程qaaxq(x-a)·(x-a)/2yxaaqa2ACBqFAyFByxx3.剪力图、弯矩图

yxaaqa2ACBqFAyFByxxQx3qa/4qa/4M3qa2/4qa2/4qa2/32xx=7a/43.剪力图、弯矩图

例3冤.谁复鱼合静夫定梁仪，试腾作剪具力图蕉和弯窝矩图花。特点潮:中间搬铰不榨能传敏递弯巷矩，稍只能专传递饶力的宪作用土。求吨解时跨先由斤中间颤铰处粉拆开贫，化爱为两刑个单汪跨梁震。AD愈、D格C和农CB纹三段贱剪力吩方程妙和弯孤矩方趣程如增下：1.背支李座反锹力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由A崖C跨当的平青衡条鼠件求证得。AD切:DC雾:CB婚：2.剪力图和弯矩图OQ3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/183a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAFCyFAyAD段的弯矩图为一条二次抛物线，作图时须求出弯矩的极值和所在截面的位置，才能大致绘出其图形。第六碧章伐弯蛙曲内李力四颂弯矩颠、剪复力和垫分布怠荷载灭之间诞的关菜系考察乌受任扑意载丹荷作棵用的榆梁。们建立印xy坐标仪系。规定起向上竟的q汉(x末)为食正。第六因章丢弯牙曲内培力/迟四苦弯矩握、剪导力和白分布乔荷载送之间妄的关予系yxABq(x)考察dx微段翻的受环力与萍平衡第六小章陆弯垂曲内疮力/狭四霞弯矩职、剪践力和缴分布明荷载台之间皂的关鹿系Q(x)Q(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)上式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度。上式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度，就是剪力图上相关点处的斜率。第六脆章开弯龄曲内期力/煤四附弯矩饺、剪蛇力和课分布百荷载年之间郊的关病系FQ(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)由此盐式知征：剪努力图党曲线上征一点朵处的阵斜率美等于梁上冠相应中点处都的载君荷集度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第六押章吐弯慨曲内抬力/饲四鞋弯矩塌、剪刊力和爱分布践荷载态之间湿的关敢系略去二阶微量，得：上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力。上式的几何意义：任一横截面处的剪力，就是弯矩图上相关点处的斜率。第六讽章惹弯利曲内神力/洋四便弯矩温、剪润力和念分布纽奉荷载东之间巩的关斗系FQ(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)c由此救式知张：弯浆矩图猛曲线捞上一勤点的喂斜率平等于花梁上坦相应木截面栋处的葬剪力分FQ。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第六吩章看弯陵曲内案力/赛四凳弯矩演、剪东力和提分布膊荷载算之间腹的关票系上式忧的物罗理意盐义：恭梁上誉任一愉横截佣面上支的弯其矩殃对河x的萍二阶相导数通，肃等于抛同一免截面渡处作问用在芽梁上希的分钟布荷栏载集麻度数学好上：障二阶嫁导数内可用鼻来判再定曲虹线的挽凹向片，因搜此：上式互的几采何意旁义：血可以导根据活对x稿的二蒙阶导抛数的纱正、淡负来垒定出图的凤凹向川。第六仅章匪弯私曲内哲力/般四抓弯矩睛、剪草力和薄分布竟荷载咳之间登的关撞系内力FQ、M的变押化规假律,帮归纳尿如下寒：载荷F水平述直线+-oror上斜培直线上凸抛物疯线下凸抛物道线下斜摩直线F(剪朴力图无突震变)F处顽有尖尿角斜直糠线第六灵章萄弯球曲内狭力/油四蜻弯矩院、剪诊力和昏分布潮荷载代之间目的关低系1．仆当梁垒上某竞段q=跑0时，联该段抚剪力违为常仁数，繁故剪甩力图当为水绍平直贸线。果相应念的弯爷矩为遣x的扰一次妨函数抓，弯脖矩图些为斜婆直线从。当戴FQ＞0时，农弯矩棕图为奸上升脖斜直验线；叔FQ＜0时，裂弯矩恨图为桐下降较斜直粘线。2．瘦当梁显上某染段q=练常数时，闸该段乔剪力蚂为x余的一注次函贸数，泳剪力径图为皱斜直碧线。传相应搏的弯晕矩为棚x的站二次等函数内，弯隶矩图秃为二掌次抛撕物线弯。若q＞绳0，则剪竖力图量为上秃升斜增直线谊，弯换矩图知为凹易口向极上的栏曲线据（凹世孤）患；若q＜0，则剪孕力图咸为下估降斜狂直线套，弯污矩图外为凹涂口向贿下的姑曲线多（凸拴孤）内。3．在集中膏力作用情处（漏包括满支承化处）如，剪母力图脖将发选生突雕变，勉其突泽变值亏等于旋该处茂集中联力之交大小睁。当集蚊中力良向上隐时，裂剪力饥图向痕上突应变（沿x正向杏），反之轿，向网下突铁变；而弯欲矩图框将因不该处宋两侧足斜率述不等斥出现打拐点浙。在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿x正向），反之则向下突变，但剪力图在该处无变化。

例题葬一率外伸含梁受漠力如泥图所狼示。务试作弯梁的盈剪力烂图、赛弯矩六图。解：1、株根据伶平衡驳条件链求支腐座反棕力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m第六浪章正弯纯曲内织力/陶四型弯矩鼓、剪朝力和贪分布查荷载贯之间诱的关习系AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分关系判断各段的形状。载荷CADBAD斜直最线斜直像线第六勇章尾弯惑曲内革力/铅四用弯矩合、剪响力和跃分布坦荷载年之间致的关踢系AB1m1m4mF=竞3K巡寿NCDq=2KN/m3、作-图。4、丙作M尾-图睛。CA筹段：(-孝)DA舌段：-3添KN4.驻2K龙N-3饶.8刚KN(+定)(-绢)DB迎段：-3果KN颂.m(-妄)Ex-2满.2璃KN所.m(-立)3.援8K遮N.错m(+涛)(+众)第六匪章召弯满曲内贪力/相四剪弯矩皮、剪倒力和闸分布语荷载眯之间士的关局系CADBRARB例题兽：外扣伸梁僚，受蜘力如去图，创试画扇剪力恐图和甲弯矩面图。解：1.求支座反力2015M／kNmOxQ／KNxo1015515CA段：dQ／dx＝q（x）＜0，A点：RA＝35kn（），发生跳跃，AB段：B点：RB＝15kn（），发生跳跃，CA段：AD段：2.作剪力图、弯矩图D点：MD＝20kn.m，发生跳跃（）。DB段：第六咐章水弯滩曲内梳力/触四齿弯矩原、剪圈力和撞分布韵荷载咽之间疑的关颤系例题始：外终伸梁锻，受待力如疮图，奔试画例剪力愉图和纱弯矩责图。CADBERARB解：1.求支座反力2.作剪力图、弯矩图Q/knox20530M/knmxo20154560第六斗章兄弯丹曲内抢力/鞋四羊弯矩颜、剪爽力和笋分布樱荷载娇之间吓的关怠系q(x)q(x)第六杠章战弯植曲内粗力/瓦四冶弯矩辞、剪矩力和虏分布苹荷载邪之间沫的关怕系例题第六易章味弯垫曲内抛力/思四嗓弯矩含、剪阔力和恰分布须荷载竭之间步的关学系q(x)q(x)例题第六颜章疯弯窑曲内技力五竭平面家刚架舅与曲烧杆的蒸内力赢图刚架遮：由痛两根乏或两次根以牧上的查杆件窃组成赛的并竭在连撕接处院采用甩刚性眼连接好的结刃构。横梁立柱当杆剥件变豆形时朽，两贵杆连窜接处棚保持币刚性姻，即差角度析（一竞般为奸直角池）保熄持不披变。在平