2019版 第1部分 专题1 第2讲 解三角形教育

sinAsinAC22第讲

解三角形热点题型题型1利用正、余弦定理解三角形题型2与三角形有关的最值范围问题题型3与解三角形有关的交汇问题

高考统定方向真题统计2019国卷Ⅰ；2019国卷ⅡT162019国卷ⅢT92019国卷Ⅰ；全国卷Ⅱ；全国卷ⅢT17国卷ⅠT172019全国卷ⅡT132019国卷Ⅰ；2019国卷Ⅰ2019国卷ⅢT8；2019国卷Ⅱ命题规律分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：1.解三角形是每年必考题，重点考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式的应用.2.解三角形常与三角恒等变换、平面几何图形、向量等知识交汇命题3.若以解答题形式出现主要是考查三角函数与解三角形的综合问题，一般位于第17.题型1

利用正、余弦定理解三角形(对应学生用书第13)■核心知识储备·1．正弦理及其变形ac在△ABC中，＝＝＝2RR为△ABC外接圆的半径)．变形：a＝2sinA，＝，∶∶c＝sin∶sinB∶C．2．余弦理及其变形在△ABC中，a＝b＋－2bc；1页

222222222222222552225222222222222222222222222225522252222222222222变形：b＋c－a＝cosA，cosA＝a＝(b＋c)－bc＋．3．三角面积公式

b＋c－a2bc

，S

1＝＝bcAsinB■高考考法示例·C5【例1】全国卷在△ABC中cos＝BC＝1＝5，则AB＝)A．42C．

B．30D．25在△ABC中，内角，B，的对边分别是，，，若＝2abB－1a＝a，则sin＝()A．

74

B．

34C．

73

D．

13全国卷Ⅰeq\o\ac(△,))的内角A，C的对边分别为，b，，已知2cos(acosB＋bcosA)＝.①求C；33②若c＝，△ABC的面积为，求△的周长．C13A(2)[(1)因为cos＝2cos－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得＝＋BC－2ACcos＝＋－××1×，所以42，故选A．11由b－asinA＝a及正弦定理可得－＝acb＝a＋ac，1∵c＝2a，∴a＋c－b＝＋4a－a－×＝a，2页

2223a32222222222222222223a32222222222222222故cosB＝

a＋c－b2＝＝，2ac2a×2a4又∵0＜＝1－cosB＝

971－＝选A．]164]，由正弦定理得：2cosCA＋sinB，2cosC＝A，＞0，1π∴2cosC＝1＝，，.23②由余弦定理得：c＝a＋bcosC17＝a＋b－3ab＝7，21333S＝＝ab＝，∴ab＝6，242－18＝7，a＋b＝5.∴△ABC周长为＋b＝5＋7.方法归纳]1．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质见的三角变换方法和原则都适用是角的范围受到了限制．同时要注“三统一，“统一角、统一函数、统一结，这是使问题获得解决的突破口．2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a＋c

－2bccosA，有a

2

＋c

和两项，二者的关a

2

＋c

经常用到．3对于含有a及a＋b的式，求其中一个的范围时，可利用基本3页

22sin5255522sin52555不等式转化为以该量为变量的不等式求解．4．三角形状判断的两种思路：一是化角为边；二是化边为角．注意已知两边和其中一边的对角用余弦定理求第三边时应注意检验，否则易产生增根．■对点即时训练·1．在ABC中，AB，所对的边分别为，bc，若acosA＝bcosB则△ABC为()A．等腰角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D

[题得sincosA＝sinBcos，1∴sin2＝sin2，∴＝2B，∵0＜2＜2π，0＜2＜2，sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或＋2＝ππ∴A＝，或＋B，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形故选D．]2．全国卷)平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°∠＝45°，＝2，BD＝5.求∠ADB；若DC＝22求．[]

(1)eq\o\ac(△,在)中，由正弦定理得

BDAB＝sin∠A∠ADB5由题设知，＝

22，所以sin∠＝.sin∠ADB由题设知，∠ADB＜，所以∠ADB＝

2231－＝.2由题设及(知，BDC＝sinADB＝4页

2226sinCB662226sinCB66在△BCD中，由余弦定理得

2

＝BD

＋

－2·BD∠BDC＝258－2×5×22＝25.以BC＝5.题型2

25与三角形有关的最值(范围)问题(对应学生用书第14)■核心知识储备·1．△中的常见的不等关系内角A，B，满足：＋B＋＝，0＜，B，π；三边ab，满足：－＜a＜b＋；三角形中大边对大角等．2函数＝sin(或＝)的有界性、单调性、在区[]的值域的求法等．3．不等式a＋b≥2，≤■高考考法示例·

a＋b．2角度一

长度的最值(范围)问π【例2－1(2019·石家庄一模)在△ABC中AB＝2＝则AC＋的最大值为()A．B2．37．47D

[正弦定理，得＝＝＝sin

＝4，π65π又∵A＋＝，∴＋3BC＝B＋4A＝＋4－5页

22()52sinsin32sinBsinπ2π2π22()52sinsin32sinBsinπ2π2π264243＝＋43B＋＝2B＋10sin＝4＋φ

tanφ＝π故当＋＝时，AC＋的最大值为故选D．]【教师备选】安庆二模)在锐角△ABC中，A＝B，则的取值范围是()A．－1,3)C．(2，

B．(1,3)D．(1,2)D

sin[＝＝＝＝－4sin，因为△ABC是锐角三角形，，所以＜，0＜－，ππ得＜＜⇒sin

2

1∈，.所以＝－

2

∈．故选D．]►角度二

面积的最值(范围)问【例－】＝bC＋sinB

在△ABC中，内角A，，C的对边分别为ab，，已求B；若b2，求△ABC面积的最大值．[]

由题意及正弦定理得sin＝cosC＋sinsin①，又A＝－＋C)，故A＋C)＝cosC＋sinC②，由①②和C∈(0π)π得sinB，又∈(0，，所以＝6页

2424222241b22224b2224b2229932424222241b22224b2224b2229931△ABC的面积S＝acsinBac.由已知及余弦定理得4＝a

2

＋c

π－2accos.又＋≥2，故≤

42－

，当且仅当a＝c，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.【教师备选】在△ABC，＝，D为中点，BD＝1，则△ABC面积的最大值为________．23

bb＋－15[△中，由余弦定理得cos＝＝－，2b则sin＝

11－－，所以△ABC的面积为S＝sinA＝

12b·

111－－

20256－9－≤，2所以△ABC的面积的最大值为.][法归纳]

与三角形有关的最值求解策略与三角形有关的最值涉及三角形的角度、边长、面积、周长等的最大、最小问题.常见求解策略如下：策略一可选择适当的参数将问题转化为三角形函数的问题处理解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如sin或＝cos问题，然后根据参数的范围求解策略二借助正余弦定理化角的正余弦函数为边然后借助均值不等式对含有a

2

＋b

2

，a＋b，ab的等式最值.■对点即时训练·7页

222222221b＋c－a22bc23sinBπ3222222＋π6π222222221b＋c－a22bc23sinBπ3222222＋π6ππ626662262322321在锐角△ABC中内角B的对边分别为ab且满足(a－b＋sin＝－bC．若a＝3，则b＋c的取值范围是)A．C．(5,6]

B．(3,5)D．[5,6]C

[(a－b＋sinB＝(c－b正弦定理可得(a－ba＋b)＝c－bc，即b＋c－a＝bc，∴cosA＝

π＝，又A∈A＝，bc∵＝＝＝，sin∴b＋c＝4(sin＋)＝＋(A＋)]2－cos[2＝422＝2－cos2＋4＝∵△ABC是锐角三角形，∴∈，π5π∴2B－∈，1π∴＜sin∴5＜b＋c≤6.选C]→→2在△中内角AB的对边分别是bc点D满足＝2BC，π若B＝AD3则2a＋c的最大值为________．6

→→[△ABC中，如图所示，由点满足D＝，→→∴点D在的延长线上且|BD＝2|BC，π由余弦定理得c＋a－×2×cos＝3，∴(2a＋c)－＝3×2.8页

24223322222422332222∵2ac≤∴(2a＋c)

3－9≤a＋)

2

，即(2a)≤36∴2a＋c≤6，3当且仅当2a，即a，c＝3时，2a＋取得最大值，最大值为题型3

与解三角形有关的交汇问题(对应学生用书第15)■核心知识储备·解三角形的问题常以平面几何图形平面向量等知识为载体体现知识交汇命题的特点，题设条件常涉及有关的几何元素：如角平分线、中线、高、三角形的内切圆等．其中角平分线问题的求解要注意三个方面：(1)对称性，平分线定理，三角形的面积；中线问题的求解，注意邻角的互补关系．■高考考法示例·→【例3】(1)在△ABC角AC所对边的边长分别为ac若CA→→→－CB＝，CA6，则△面积的最大值为________π如图2-1-5，在四边形中，∠＝，ADAB＝2∶3，BD＝7，AB⊥．图2-1-5①求sin∠ABD的值；2π②若∠BCD＝，求的长．(1)

3334

→→→→[为|－CB＝所以AB＝又因为·CB＝6以cosC＝6，∴cos＝

6ab21由余弦定理得9＝a＋－2abcos＝a＋－≥2－12.∴.9页

2222＝22a222244222332×BD7773332222＝22a222244222332×BD7773331所以＝abC＝

11－C＝ab

1－

361a2

a＝

12

a

－≤

12

3633.故面积的最大值为.][解]

①∵ADAB＝2∶3∴可设AD＝2k＝3k.又BD＝∠DABππ＝.∴由余弦定理，(＝k)＋(2k)－23k×2，解得＝1∴AD＝2，AB＝3，ABD＝

3AD21＝＝721②∵AB⊥，cosDBC＝sinABD＝，27BDCD∴sin∠＝，∵＝，sin∠∠DBC∴＝

277×7＝.32【教师备选】→→→→在△ABC中，AB＝AC－AB＝，则△ABC面积的最大值为()A．

B．

3214C．

212

D．321湖北八校联考)图2-1-6，平面四边形中，AB⊥AD，2ππ＝1，＝7，∠ABC＝，∠ACD＝.图2-1-6①求sin∠；②求的长．B

[角A，，C对的边分别为，，c，→→→→∵·AB＝AC－AB＝3，10

222b＋c－a2bc2bc2552242222sinB777377222b＋c－a2bc2bc2552242222sinB777377214sinDsin7∴bccosA＝a＝3.又＝

93cosA≥1－＝－，221∴cosA≥，∴A≤，1321321∴△ABC的面积S＝bcsin＝tanA≤×＝，故△ABC面积的最321大值为.][解]

①在△ABC中，由余弦定理得：＝＋－2BCcosB，即BC＋BC－6＝0解得BC＝2或BC－舍，由正弦定理得：B21＝⇒sin∠＝＝sin∠21②由①有∠CAD＝BAC，sin∠＝

31－＝，所以2721357sinD＋×＋×＝.由正弦定理得：＝∠AC⇒＝＝

277×57

＝

475

.14[法归纳]1．求解三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分成若干个三角形据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．2．求解角形与平面向量交汇问题的策略11

2222272277277513522222722772775135平面向量的数量积运算涉及向量的模和夹角其与三角形中的面积公式余弦定理完美的交汇在一起求解此类问题的关键是熟知其内在的联系同时借助同角三角函数的关系这一媒介解题．■对点即时训练·1(2019·大连双基测试图2-1-7所示圆内接四边形中AB＝6，＝，＝，AD＝5，则四边形的面积为_．图2-1-7610

[图所示接ABCD为圆内接四边形＋C＝180°，则cos＝－cosC，利用余弦定理得cos＝247解得BD＝，

6＋5－＋－，cosC＝，2×6×5××3所以＝－.sin＋cos＝1，得＝

2107

，因为＋C＝180°，210所以sinA＝＝，S

ABCD

＝S

△

＋SABD

1210210＝×5×6×＋×34×＝10.]2．(2019·濮阳二模)如图2-1-8，在△中，点在边AB，AD3DB45cosA，∠ACB＝，BC＝13.图2-1-8求B的值；求CD的长．[]

4(1)eq\o\ac(△,在)ABC中，A＝，A∈(0，12

2255135131365sinA31342652423462212422π＝cosC，所以在△2255135131365sinA31342652423462212422π＝cosC，所以在△中，＝.]43所以sinA＝

1－A＝

31－12同理可得，sin∠＝所以＝cos[π－(＋∠)]＝－cos(A∠ACB＝sinAsin∠－cos31216∠ACB＝×－×＝.1312在△ABC中，由正弦定理得＝ACB＝×＝20.51又AD3DB所以BD＝AB＝5.在△BCD中，由余弦定理得，＝

BD＋－2BDB＝

5

2

＋13

2

16－2×5××＝2.[考真题]全国卷Ⅲeq\o\ac(△,))内角，B，C的对边分别为，，.若△ABC的面积为

a＋b－c

，则C＝()A．

π

B．

πππC．D．C

a＋－c[根题意及三角形的面积公式知ab＝，所以C＝a

2

＋b－c2ab4π全国卷Ⅲ)在△ABC中，B，BC边上的高等于，则cosA()A．

31010

B．

1010

C．－

1010

D．－

31010C[如图，设BC＝3，则边上的高＝，13

4222AB323226AD12224222AB323226AD1222π又＝，∴BD＝1，AB＝2；同理＝2，＝5.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝

＋AC－BC2＋5－9＝＝－2××

1010

.]全国卷Ⅲeq\o\ac(△,))内角，B，C的对边分别为，，，已知sinA＋3cosA＝0，a27，b＝2.求；设D为边上一点，且⊥，求△的面积