材料力学讲义三三

材料力学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第九章能量法

材料力学第九章能量法利用功能原理解决工程结构位移或杆件变形等有关问题的方法,称为能量法第九章能量法外力功变形能利用功能原理计算位移四求位移的卡氏定理第九章能量法外力功定义:任何弹性体在外力作用下都要发生变形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线方向所作的功,称为外力功。第九章能量法/一外力功

第九章能量法/一外力功

计算1、常力作功若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然后P力的作用点又沿着P力的作用方向上有了位移,则该力所作的功为式中的P为广义力,为广义位移.第九章能量法/一外力功·计算

２、变力作功结构上的静荷载从零逐渐增加到最终值,即加载过程中的外力是一个变力。变力所作的功为第九章能量法/一外力功·计算

3、多个力作用下的外力功若弹性体上作用着几个外力(P1,P2……,Pn)时,则所有外力作的总功等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半;3、多个力作用下的外力功外力功的最终值仅与各个外力的最终值有关,而与各个力的施加次序无关第九章能量法/一外力功·计算

第九章能量法/一外力功·计算

例题:计算图示简支梁上的外力功BCAL/2L/2PEIEImo第九章能量法/一外力功·计算

解:(1)位移计算梁在P和mo共同作用下C截面的位移和B截面的转角：BCAL/2L/2Pmo第九章能量法/一外力功·计算

解:(2)外力功的计算第九章能量法/一外力功·计算

分析与讨论若先加P，后加mo，则外力功为第九章能量法/一外力功·计算

分析与讨论若先加mo，后加P

，则外力功为第九章能量法/一外力功·计算

分析与讨论比较计算结果，说明：即作用在弹性体上的所有外力作的总功W,等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半。而与各个力的施加次序无关。第九章能量法变形能第九章能量法/二变形能

1变形能、功能原理定义：变形能当弹性体受到外力作用而发生变形时，外力在相应的位移上所作的功全部以能量的形式储存在弹性体内，这种因变形而储存的能量称为变形能。第九章能量法/二变形能

1变形能、功能原理定义：功能原理外力功等于变形能（能量守恒及转换原理）2、彻杆件士产生手基本达变形娃时的闷变形阶能（1斥）轴装向拉数伸或薄压缩PLLoBLPA式中——轴力，A——截面面积第九启章蒜能量辰法/椅二祥变形赶能由拉旬压杆吃件组纷成的者杆系禽的变故形能逆：P12345受力竹复杂津杆(创轴力德沿杆店的轴壶线变额化)兔的变割形能qLxdx第九样章杠能量步法/弟二馆变形秩能（2喇）圆跳截面次杆的质扭转mLmoBmA圆截滤面杆错的变泪形能式中Mn——圆杆横截面上的扭矩；——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。

第九折章些能量确法/具二予变形嫌能受力姓复杂歇的圆海截面痕杆(世扭矩拖沿杆哈的轴屿线为无变量痒)

xdxLtAB第九友章揉能量今法/驼二袄变形厦能（3腊）平锡面弯沃曲纯弯赖曲梁铁的变忍形能：式中触M隐－梁超横截动面上织的弯脉矩；I－茅梁横捷截面追对中榨性轴晒的惯诵性矩LmmoBAm第九闷章飘能量寸法/顽二绕变形帅能横力定弯曲初梁(斧弯矩惧沿梁裁的轴秩线为宇变量稼)的华变形宽能Pm=PaACBaa第九殿章隶能量拥法/宝二间变形碎能式中一般古实心桨截面厉的细耗长梁利:剪连切变忽形能姿远小碑于其诊弯曲长变形季能，沾通常悠忽略素不计科。k阶由截溜面的吴几何雾形状旬决定德:矩形悉截面杀:k亏=1章.2钟,圆截栗面:洽k=与10队/9兼,圆员环形费截面察:k隐=2灶。（4稿）剪绒切第九芳章言能量复法/海二俱变形蚕能L3遇产生盒组合堵变形究时的强变形桑能注意士：变获形能钱为内际力（糖或外客力）照的二萝次函仪数，债故叠府加原勒理在怀变形线能计眉算中筑不能帖使用援。第九队章是能量证法/购二袍变形支能4阻关于念变形皱能计泪算的着讨论以上僚计算幅公式品仅适征用于权线弹浴性材眼料在普小变惰形下叙的变后形能榴的计帅算。变形仗能可禽以通小过外力袋功计算瞒，也橡可以拔通过蒜杆件截微段戏上的内力鲜功等于梢微段饱的变淋形能舌，然增后积混分求混得整岂个杆今件上间的变妨形能溪。变形裁能为伪内力姿（或查外力半）的午二次恶函数凡，故吐叠加茫原理便在变虎形能顶计算中不甘能使狗用。只滤有当孤杆件争上任锹一载取荷在往其他手载荷滤引起树的位路移上将不做才功时，竞才可句应用客。4鹊变雀形能棒是恒蜘为正加的标抵量，失与坐硬标轴拢的选摘择无劣关，鸣在杆惜系结永构中师，各悼杆可焦独立德选取蒸坐标壶系。第九名章祝能量获法/泛二龟变形挎能第九禽章掏能量首法/爪二天变形考能BlAmoEIx例题锁计算扛图示冻梁在阻集中昌力偶正mo作用嗽下的仇变形霜能(a敏)第九冬章道能量衰法/累二鹿变形刮能BlAPEIx例题家计算勉图示棍梁在拒集中泉力P啦作用串下的概变形甘能(b垫)第九母章宾能量甩法/催二子变形悉能BlAPEIx例题霜计算到图示院梁在笔集中剂力偶润mo、集大中力消P共犬同作闹用下坛的变负形能(c鉴)第九同章秒能量欧法/漠二速变形耀能分析酿与讨雾论(1佩)润从上岩述变浆形能丘计算挠结果伙可知焦：这是银因为即逢变何形能挽是力俗的二滔次函巾数,冷一般垮说来鼻,变介形能凉不可翅以简腥单的阻叠加第九奸章厌能量垮法/趣二羊变形灿能分析叙与讨宽论(2留)为竭什么裹有时欢两种骗荷载槐单独蠢作用际时的邪变形拒能可春以进恨行叠昨加,谜是因芒为其净中一田种荷鄙载在顶另一餐种荷粱载引菠起的是位移辟上不宿作功叉.例如患,一剪直杆孤同时游承受触弯曲绝与扭蜘转作号用时递,就紧可以歌把扭罗转变雪形能脉和弯丈曲变披形能元叠加智起来主进行茂计算纺.因殿为扭拼转在涉弯曲逐引起败的转金角纤上不鹿作功及,弯搂矩在犁扭转继引起冲的扭密转角伍上察也不乘作功级.第九庄章爪能量蔬法利用茅功能段原理苍计算屯位移利用返可以游计算食荷载响作用帽点的霜位移贡,但介是只限拘于单复一荷辟载作诉用,互而且井所求关位移威只是乡丰荷载妹作用兰点(或锐作用坐面)汽沿着哗荷载适作用纯方向婆与荷源载相叶对应或的位劣移。第九死章钞能量出法/良三僵利用米功能氏原理刃计算晨位移blaP例题乘图示朱变截戏面受危拉杆限，E、A神为狐已知萌，求骨加力炎点C旧的水立平位骗移第九废章驻能量熊法/勾三扬利用胃功能岗原理项计算湖位移lc2AA第九势章犹能量鞋法/耍三脆利用竭功能杂原理具计算侵位移解：（撤1）托变形榜能计慌算整根娱杆的刃变形当能第九埋章析能量洗法/遇三谅利用内功能忆原理吊计算义位移（2版）位尊移计桥算即得第九帽章捷能量现法/艰三爷利用葵功能折原理杏计算液位移分析庙和讨躺论1赞若光需要赴位移幸处无罗外力烟作用滨,如肠求b岗截面落,革外力接功表鼠达式戴中无昼需求婚的位挨移项抖,因默此无姻法求则。2松若斜在该搞杆上嘴作用传的外暖力多录于一烧个,坏如在俯b截酒面上裳还作朴用一女个P1力,绢这时摆.外闯力表协达式亲无两并个或以两个垮以上卫的位舟移,途显然己也不菌能求拢位移姿的大傍小。第九些章家能量遭法四扑求位俊移的挨卡氏共定理1艳卡式村定理若弹办性体乏上作忧用着岛多个煌外力是(广仔义力遍),榆则该面弹性体的纸变形遵能遥,对香于任素一外穗力的谊偏导区数,就等鸡于该头力作犬用处毛沿其触作用常方向洞的位戴移(繁广义娃位移便),即第九寒章傅能量分法/吃四角求位遗移的诊卡氏惭定理1仍卡式慰定理睡的证庭明设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在相应的力方向产生的位移为，(i=1,2,…,n)。可以刑证明阅：第九杆章善能量承法/杏四投求位帜移的痰卡氏姑定理证明任：再加增量，则变形能U的增量dU为梁的絮总变培形能锐为：(a)考虑很两种缓不同林的加队载次决序。(1)先加，此时弹性体的变形能为U：第九献章讯能量纤法/俘四勉求位风移的孤卡氏笋定理(2季)挎先加伯，然界后再圈加饰，此咏时弹锹性体气的变收形能由三津部分控组成归：梁的薄总变尘形能贞为：(b)(a洽)掘在陪相应搞的位皇移狮上攀所作栋的功(b批)贩在相崖应位赤移等上所斤作的衡功：(c揉)原状先作科用在板梁上斩的对位聪移誉所作妄的功第九打章悔能量移法/栏四竭求位漫移的拍卡氏啄定理根据晓弹性燃体的算变形弹能只核决定盗于外趴力的避最终距值，汇而与统加载螺的次衔序无丹关。默(a脂)(收b)陡两式笼相等承：略去增二阶催微量步，化皮简后茫得：证毕银。第九惹章叶能量么法/无四雅求位跃移的内卡氏笛定理3铜卡氏资定理毫的应势用应用颈卡氏辣定理灰计算想位移弦时应供注意繁:（1毛）卡急氏定蜻理中莲的术应理铜解为恶广义雄力，辽应理京解为广析义位怎移。（2）只些有当庆弹性殖系统遇为线柔性，诱即其带位移趴与荷好载成线性远关系驶时，邮才能兄应用佣卡氏利定理禽。第九答章验能量挨法/因四虹求位污移的浓卡氏亏定理应用刮卡氏妥定理死计算仪位移螺时应棕注意反:（3盖）当伍需利挺用卡藏氏定增理来筐计算搂没有壶外力跃作用委处的骡位移永（或榨所需郑要的碧位移茄与加骡力方录向不禽一致却）时阀，可固在需勤要位滴移处距沿着病所需层求位每移的井方向超任设桌一个揪力（遥等于势零）底，写豪出所袄有力蛛（包印括峰）今作用摸下的梳变形玩能U伙的表否达式洗，并亩将其谈对稠求每偏导安数，钱然后针再令居等采于零即，便俊得所况求位纹移。第九涝章侄能量誉法/小四逼求位荒移的会卡氏惜定理（4糕）先持偏导围后积忘分利用手卡氏肤定理尤解位御移时材，一子般遵扁循“桶先偏砖导后姓积分慎”的艘原则剃：①列矩出内改力方尚程②先聚偏导厌，即矿求出幼的结饮果；③后乞积分迎，完蚂成上心述偏夏导后壳，再锦将其浪代入弹下列拖式中碑进行厦积分欺，从毁而求辰得需抗求位串移。第九蛙章猛能量蜘法/匆四傻求位缴移的训卡氏蛙定理第九门章肚能量椅法/各四谷求位叛移的安卡氏克定理卡氏累定理虑在各睡种受粒力情幻玉况下叛的表紫达式拉（轨压）站杆：扭转拔杆：弯曲你变形赵杆：组合趋变形联杆：桁架墓：第九扭章旧能量连法/击四薄求位玻移的逐卡氏真定理应用伐卡氏定红理求距出律为正城时，归表示江该广浓义位近移与稻其相与应的垃广义末力作搂用方习向一钩致；殖若为栏负值托，则胶表示定方向膏相反掠。第九钟章卧能量亮法/背四智求位户移的夹卡氏悦定理例题卸试求谋图示房诚梁自川由端光A截高面的核挠度色和转窝角死。BA解：洲1训求甜：（1罪）列御方程宾及对博P的餐偏导脏数：（2荷）扛计算劣：结果凉为正袋，说双明粗与高P伶方向尾一致迹。第九胀章加能量诱法/翼四掠求位四移的钓卡氏脊定理第九絮章弊能量究法/苗四优求位执移的据卡氏衬定理2闪求乘：求辩，可圾A处课无力辰偶作匀用，猴因此下需在逆A处轧暂时岸加一免个虚咸拟的腥力偶日矩俱，读如图靠所示因：BA第九著章烟能量围法/棋四奶求位码移的劲卡氏静定理（1椅）列趁方程盛及对麦的偏郑导数厚