2022高考数学二轮导数及其应用名师精析（4）（文）

第四讲导数及其应用★★★高考在考什么【考题回放】1．已知对随意实数，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且时，f(x)0，g(x)0，则时（B）A．f(x)0，g(x)0B．C．f(x)0，g(x)0D．

f(x)0，g(x)0f(x)0，g(x)0134x，yx12．曲线3在点3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A）1212Ａ．9Ｂ．9Ｃ．3Ｄ．33．若曲线yx4的一条切线与直线x4y80垂直，则的方程为AA．4xy30B．x4y50C．4xy30D．x4y304．函数f(x)x3ax23x9，已知在x3时取得极值，则=（B）B.35．已知函数f(x)x312x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则Mm＿＿．326．已知函数yf(x)y1x2的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是2，则f(1)f(1)＿＿＿＿．37．设a为实数,函数f(x)x3x2xa.Ⅰ求f的极值Ⅱ当a在什么范围内取值时,曲线=f轴仅有一个交点解：If'(x)=3－2－11若f'(x)=0，则==－3，=1当变化时，f'(x)，变化情况如下表：1111，∞－∞，－3－31－3，1f'(x)0－0极大值极小值f(15a3)，极小值是f(1)a1∴f的极大值是27II函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a15aa(,5)由此可知，取足够大的正数时，有f>0，取足够小的负数时有f27270即11，∞时，它的极大值也大于0，因此曲线=f与轴仅有一个交点，它在－∞，－3上。a(,5)∴当27∪1，∞时，曲线=f与轴仅有一个交点★★★高考要考什么导数的几何意义：函数yf(x)在点处的导数f(x0)，就是曲线yf(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率；（2）函数ss(t)在点处的导数S(t0)，就是物体的运动方程ss(t)在时刻时的刹时速度；2．求函数单一区间的步骤：1）、确定f的定义域，2）、求导数′，3）、令′>0′0时，f在相应区间上是增函数；当′<0时，f在相应区间上是减函数3．求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④经过列表法,检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。4．设函数f在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：1求f在a,b内的极值，2将f的各极值与fa,fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。5．最值（或极值）点必在下列各样点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。★★★打破重难点【典范1】已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值（1）议论和f(1)是函数f的极大值仍是极小值；2）过点A(0,16)作曲线=f的切线，求此切线方程（1）解：f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即3a2b30,3a2b30.解得a1,b0∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1,x1若x(,1)(1,)，则f(x)0，故f在(,1)上是增函数，f在(1,)上是增函数若x(1,1)，则f(x)0，故f在(1,1)上是减函数所以，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值（2）解：曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标知足y0x033x0因f(x0)3(x021)，故切线的方程为yy03(x021)(xx0)注意到点A（0，16）在切线上，有16(x033x0)3(x021)(0x0)化简得x038，解得x02所以，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成认识题的重点【典范2】安徽文设函数f（）=-co2-4tinco4t2t2-3t4,∈R,其中≤1，将f的最小值记为gtⅠ求gt的表达式；Ⅱ诗论gt在区间（-1,1）内的单一性并求极值解：（I）我们有f(x)cos2x4tsinxcosx4t3t23t422sin2x12tsin4t2t23t4sin2x2tsinxt24t33t3(sinxt)24t33t3．由于(sinxt)2≥0，t≤1，故当sinxt时，达到其最小值，即g(t)4t33t3．（II）我们有g(t)12t233(2t1)(2t1)，t1．列表如下：1，11，11，222222g1g1极大值2极小值2，11，11，122122由此可见，在区间和单一增加，在区间单一减小，极小值为g12g242，极大值为．【点晴】本小题主要考察同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单一性，考察应用导数剖析解决多项式函数的单一区间，极值与最值等问题的综合能力．f(x)1x31ax2bx11)，，内各有一个极值点．（I）求【典范2】已知函数32在区间[a24b的最大值；（II）当a24b8时，设函数yf(x)在点A(1，f(1))处的切线为，若在点处穿过函数yf(x)的图象（即动点在点邻近沿曲线yf(x)运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．f(x)1x31ax2bx11)，，内分别有一个极值点，所以解：（I）因为函数32在区间[f(x)x2axb在[11)，，内分别有一个实根，设两实根为x1，x2（x1x2），则x2x1a24b，且0x2x1≤4．于是0a24b≤4，0a24b≤16，且当x11，x23，即a2，b3时等号建立．故a24b的最大值是16．（II）解法一：由f(1)1ab知在点(1，f(1))处的切线的方程是yf(1)f(1)(x1)，即y(1ab)x21a32，因为切线在点A(1，f(x))处空过yf(x)的图象，g(x)f(x)[(1ab)x21a]所以32在两边邻近的函数值异号，则不是的极值点．1x31ax2bx(1ab)x21a而3232，且g(x)x2axb(1ab)x2axa1(x1)(x1a)．若11a，则和x1a都是的极值点．所以11a，即a2，又由a24b8，得bf(x)1x3x2x1，故3．g(x)f(x)[(1ab)x21a]解法二：同解法一得321(x1)[x2(13a)x(23a)]322．因为切线在点A(1，f(1))处穿过yf(x)的图象，所以在两边邻近的函数值异号，于是存在m1，m2（m11m2）．当m1x1时，g(x)0，当1xm2时，g(x)0；或当m1x1时，g(x)0，当1xm2时，g(x)0．h(x)x213ax23a设22，则当m1x1时，h(x)0，当1xm2时，h(x)0；或当m1x1时，h(x)0，当1xm2时，h(x)0．由h(1)0知是的一个极值点，则h(1)2113a02，所以a2，又由a24b8，得b1，故f(x)1x3x2x3．变式：设函数f(x)2x33ax23bx8c在实时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若关于随意的x[0，3]，都有f(x)c2建立，求c的取值范围．解：（Ⅰ）f(x)6x26ax3b，因为函数在及取得极值，则有f(1)0，f(2)0．66a3b0，即2412a3b0．解得a3，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x