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文档简介

第二章导数和微分微分学的核心——导数与微分认识两位大师——第一节导数的概念一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的物理意义与几何意义五、可导与连续的关系2/22一、问题的提出1、瞬时速度问题

设运动物体的运动方程为s=s(t),则在t

与t0之间平均速度t0时刻的（瞬时）速度2、切线斜率问题

切线——割线的极限位置上的直线两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义导数定义:注意“导数为”时不可导，即导数不存在。运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M

点处的切线斜率单侧导数：可导性是局部性质。导数、单侧导数的关系区间上可导性的定义

若f(x)

在区间I的内部处处可导，并且在I所含的左（右）端点处右(左)导数存在，则称f(x)

在区间I上可导。导函数三、由定义求导数例1解例2解sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin

α-sin

β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos

α+cos

β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos

α-cos

β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

三角函数的和差化积：例3解一般地：说明：对一般幂函数例如，例4解例6解背例7解思考：注意：四、导数的几何意义例8解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为.

)

,1(

法线方程处的切线方程和在点求曲线eeyx=五、可导与连续的关系定理证证毕注意:该定理的逆定理不成立.即连续

可导连续。在点则必有可导在点00

)(,

)(

xxfxxf连续但不可导函数举例★

y

y=|x|

O

x0

yy=f(x)

O

x例9011/π－1/π解xx=®1sinlim0备用题

解:

因为1.

设存在,且求所以在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故六、小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.导数的物理意义:变化率；5.函数

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