弹性力学之平面问题的极坐标解答

第四章平面问题的极坐标解答第一节极坐标中的平衡微分方程第二节极坐标中的几何方程及物理方程第三节极坐标中的应力函数与相容方程第四节应力分量的坐标变换式第五节轴对称应力和相应的位移第四章平面问题的极坐标解答第六节圆环或圆筒受均布压力第八节圆孔的孔口应力集中第九节半平面体在边界上受集中力第十节半平面体在边界上受分布力例题第七节压力隧洞区别:直角坐标中,

x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。

极坐标中,坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。直角坐标(x,y)与极坐标比较：坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。应用§4－1极坐标中的平衡微分方程在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体--由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x

轴向y轴方向转动为正。注意：平衡条件：平衡条件考虑通过微分体形心C的向及矩的平衡，列出3个平衡条件:注意：

--通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得--通过形心C的向合力为0，整理，略去三阶微量，得同理，由通过形心C的向合力为0可得：极坐标下的平衡微分方程：

几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。§4－2几何方程及物理方程极坐标系中的几何方程可以通过微元变形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐标与极坐标之间的关系，有注意：可求得根据张量的坐标变换公式对平面问题：几何方程由此可得比较可知极坐标中的物理方程直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，故物理方程形式相似。物理方程极坐标中的物理方程也是代数方程,且与为正交，

平面应力问题的物理方程：物理方程对于平面应变问题，只须作如下同样变换，

边界条件--应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：边界条件故边界条件形式简单。以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：§4－3极坐标中的应力函数

与相容方程1、物理量的转换;2、从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。函数的变换：将式或代入，坐标变量的变换：反之1.从直角坐标系到极坐标系的变换坐标变换或矢量的变蚂换：位移坐标拉变换将对堪的导迈数，气变换默为对扬的终导数息：可看乔成是橡，吹而俘又柏是攀的讲函数亭，即个是通短过中追间变凡量哀，润为戒的复驻合函恐数。有:坐标副变换导数的变煮换：而代入张，即司得一阶影导数没的变循换公篇式,一阶朋导数，。展开芒即得棒：二阶用导数的变暂换公懒式，可傅以从沫式(e)导出亭。例案如二阶寄导数拉普罢拉斯齐算子的变启换：由式昂（f）得二阶续导数3.淋极坐纵标中沃应力馆用应约力函满数服表示可考毙虑几伍种导子出方烤法：2.搜极坐晴标中娘的相巩容方畏程从平守衡微岗分方队程直晨接导吨出（纽奉类似巡寿于直角露坐标邮系中双方法洗）。相容肠方程应力针公式(2)狼应用粥特殊瘦关系毫式，叨即当x轴转枝动到沃与轴重往合时倍，有满:(3范)跌应拼用应引力变驻换公垮式（刮下节垄）应力待公式(4突)漆应搁用应测力变久换公言式（吼下节京），而代入乌式歇(f)菜，得出茎的疗公式有。比较乱两式蛾的呢的系体数，绘便得玩出岁的公攀式。应力染公式当不透计体莫力时灿应力扮用应米力函灿数表掘示的椒公式应力沈公式4.葬极坐始标系占中按街应力乎函数肢求解焦，应骆满足：(1担)A内相翻容方奖程(2朱)下上的封应力弯边界牵条件铺（设客全部猪为应力边易界条友件）蒸。(3狗)多连无体中帝的位先移单膀值条器件。按送求拳解应力贼分量坊不仅口具有事方向决性，蜜还与吵其作口用面删有关生。应力烦分量的坐喜标变枣换关扮系：§4耍－4滔应介力分库量的酷坐标猪变换专式1、斯已知触，求经。（含杂）的三角者形微胳分体，厚适度为丸1，切如下邻图A，考虑带其平恳衡条捆件。取出欠一个掏包含x、暑y面(含搏)昼和面得同理面，由得类似隶地取易出包避含x面,y面和握面的粱三角猴形微镜分体浩，厚旋度为火1，池如图B，考虑嚷其平虹衡条颗件，得应用责相似岛的方榆法，邪可得朵到2、已知厘，铸求3、长可以档用前夕面得它到的谊求一跌点应欠力状使态的卖公式肚推出甘。也可萌以用待应力设坐标租变换疑公式刑得到轴对孝称，即湿绕轴狱对称质，凡需通过霉此轴阻的任滑何面脱均为绍对称色面。轴对厌称应饺力问唉题：§4沿－5迈轴贫对称锄应力胁和相冬应的省位移轴对痕称应肝力问赔题应力招数值境轴对宴称--仅为陕的菌函数松，应力填方向窗轴对敌称--展开陪为相应广的应添力函缘瑞数两，涨所以应力行公式垒为：（1丸）相容眯方程的通参解这是一个典型的欧拉方程，引入变量，则。则原方程变为

此方程解的形式为代入整理得特征方程为

由此可得应力函数的通解为

（4-10）(2)

应力通解：（4-11）将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，应变通解：将应力代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变也为轴对称。(4)求对应的位移：分开白变量盐，两尘边均济应等侦于同一忆常量F,将牙代茶入第三涨式，由两债个常骡微分混方程娇，其中代入东，得轴对桐称应刑力对源应的啦位移历通解虏，I，爱K—为x、昏y向的贝刚体吐平移鹅，H—为绕o点的他刚体桂转动眨角度尺。位移铅通解（4陶-1给2）说明（2青）在轨轴对任称应力渣条件阁下，训形变蒸也是扮轴对僚称的,偶但位床移不男是轴财对称葵的。（3蝴）实南现轴讲对称康应力毯的条丧件是攻，物提体形外状、体力请和面竿力应旁为轴劳对称数。（1熄）在正轴对芹称应力案条件希下，便(4质-1眉0、迎11南、1昨2),为应胁力函炎数、响应力鹅和位胶移的脊通解济，适用派于任耻何轴闻对称津应力势问题忽。说明(4泪)遣轴对椒称应决力及岩对应鹊的位酬移的酬通解伐已满详足相哀容方织程，湾它们纹还必遮须满巴足边御界条户件及滥多连核体中断的位鹿移单偶值条商件，斥并由恢此求坊出其赔系数A、B及C。说明(5淹)董轴对会称应努力及斤位移蔽的通超解，网可以坦用于冤求解挤应力面或位什移边丸界条至件下孔的任撕何轴习对称事问题渴。(6殃)锐对于杨平面战应变哑问题歌，只胞须将液换为圆环殖(平跪面应探力问唱题)久和圆卫筒(向平面腐应变兰问题饲)受妇内外牲均布浩压力珍，属脚于轴对刻称应情力问题衔，可以蔬引用合轴对挺称应朵力问筒题的拘通解黄。§4迎－6锤圆环退或圆蛇筒受浙均布渴压力问题问题边界送条件栗是边界辟条件考察多连辰体中捧的位劲移单森值条忙件：圆环是或圆屿筒，盼是有奶两个进连续妻边界孟的多芬连体嚷。而激在位签移解鱼答中磁，式(b)中的奏条悦件是修自然惩满足拜的，疏而其昨余两帐个条杂件还能不足剖以完轻全确本定应蜓力解菠答(a)阅。单值淋条件是一始个多欣值函宣数：利对于暂和获是同拨一点维，但绵式(c)却得静出两衣个位哗移值看。由放于同防一点妨的位族移只惰能为粪单值拼，因浴此B=治0。单值笑条件由B=偿0和边绘界条象件糟(b)效，便可枣得出拉梅幻玉解答严，单值渴条件(4杀-1兰3)解答杆的应押用：（1腾）只异有内国压力（2高）只兼有内抵压力丹且比，成覆为具有为圆孔锹的无里限大赴薄板办（弹冻性体滤）。（3辉）只松有外显压力单值薪条件单值堵条件退的说烤明：（1本）多亩连体干中的祥位移强单值躁条件改，实质避上就是物体南的连梁续性社条件（即牵位移众连续肥性条件展）。（2忠）在热连续啊体中菜，应跳力、拉形变绞和位扮移都应为台单值脱。单值途条件按位蜡移求充解时土：取哑位移欧为单丸值，肝求形规变（韵几何首方程绪）也致为单壳值，区求应驱力（虹物理砖方程纯）也挖为单旗值。按应绝力求我解时：取未应力倚为单答值，墙求形垂变（罗物理骑方程俱）也诵为单伟值，蹄求位致移（盗由几注何方相程积券分）清，常粗常会英出现咽多值画项。所以原，按批应力级求解零时，奋对于纯多连吩体须嗓要校爽核位敢移的度单值背条件广。单值壶条件对于薪单连脏体，霜通过紫校核叮边界许条件旗等，仿位移献单值锦条件糟往往短已自狼然满铅足；对于已多连绩体，载应校淹核位鼓移单夫值条保件，速并使先之满矩足。§4壁－7友压力裙隧洞本题溪是两亮个圆印筒的接触钞问题，两替个均锦为轴撑对称欣问题管（平疼面应逗变问庸题）送。1.永压力杨隧洞--圆筒污埋在贸无限剧大弹球性体辨中，寺受有响均布核内压型力。胀圆筒雷和无忘限大缘瑞弹性中体的鹊弹性眨常数框分别桥为压力禁隧洞因为尾不符蓄合均筐匀性抬假定闪，必堵须分龟别采绵用两努个轴塘对称缓解答布：圆筒无限俯大弹艇性体压力义隧洞应考粉虑的助条件季：（1售）位艇移单进值条慰件：（2怨）圆党筒内闪边界截条件漆：（3击）无孙限远逼处条运件，笑由圣后维南沈原理,压力领隧洞由（婆1）递—（奥4）忌条件速，解忠出解乐答（色书中饰式（死4般-1姓6）细）。（4有）胃的接触立条件，当回变形穷后两塞弹性违体保持暖连续卫时，哑有压力索隧洞2.阁一般钟的接顽触问约题。(1简)完全粉接触：变形怨后两钓弹性仿体在s上仍尸然保怠持连读续。互这时揪的接予触条耗件为熊：在s上当两糠个弹尖性体饺，变绕形前茫在s上互凳相接倚触，案变形蔽后的接触拦条件可分逃为几震种情屋况：接触黄问题(2劈燕)有摩待阻力匀的滑赖动接妙触：变蚂形后终在S上法年向保转持连精续，蝴而切该向产妙生有箭摩阻乐力的栗相对锁滑移肿，则写在S上的坚接触柿条件敢为其中C为凝哑聚力璃。接触饿问题(4设)局部懂脱离：变膨形后撕某一耽部分欢边界想上两必弹性惑体脱岸开，姐则原模接触爽面成亩了自革由面甩。在晚此部择分脱路开的有边界绑上，无有(3劳)光滑段接触：变魄形后营法向巷保持肆连续望，但水切向性产生日无摩汽阻力蛮的光障滑移觉动，你则在s上的稀接触享条件退为接触驴问题在工贼程上校，有举许多荡接触糖问题历的实图际例兽子。柳如机厌械中余轴与住轴承胜的接益触，现基础腿结构割与地担基的雷接触臣，坝斥体分锻缝处辛的接膜触等相等。牢一般焰在接泄触边背界的菌各部话分，滋常常岔有不岗同的气接触梅条件钥，难昂以用踪蝶理论吴解表趟示。滨我们费可以近应用怕有限饼单元义法进摔行仔就细和块深入弊的分树析。接触斗问题3.劳有逆限值老条件图（a）设图喇（a）中半请径为r的圆极盘受剩法向逗均布僻压力q作用，试求种其解置答。有限寇值条月件引用此轴对余称问眼题的壤解答薪，并捧考虑款边界秀上胁的条篇件，聋上述活问题配还是脉难以左得出桥解答婚。这顾时，参我们扩可以占考虑所谓有限驾值条鸽件，即璃除了找应力催集中愿点外戚，弹总性体络上的团应力结应为切有限厘值。而书缩慧中式井(4蚂-1继1)胃的应自力表啦达式泰中，拔当魔时，定和俗中的插第一仅、二杜项均鞭趋于伸无限宰大，蚀这是奴不可伍能的遗。按辞照有屯限值袭条件臭，扫当芝时，男必须膨有A=井B=0。有限淹值条茶件在弹没性力除学问捎题中煌，我锄们是狭在区低域内陶和边耽界上锡分别宏考虑彩静力展条件暑、几咏何条教件和虾物理冻条件禁后，矩建立娱基本门方程膊及其花边界昌条件扯来进歌行求蒜解的哗。一般些地说隐，单张值条疯件和角有限灵值条霉件也哨是应搞该满画足的磁，但读是这否些条眉件常小常是赢自然携满足我的。油而在下列就的情蔽形下须关要进行会校核：(1显)按应企力求爸解时狐，多士连体杀中的男位移严单值达条件。有限静值条彩件在弹希性力皱学的公复变心函数凶解法饿中，行首先补排除腹不符秋合单避值条孝件和京有限甲值条壶件的严复变刘函数射，从堆而缩宪小求捷解函路数的饼范围卷，然绞后再律根据明其他然条件湾进行嫩求解养。(2灵)无应己力集世中现悠象时，见和留，或处的应力抱的有兔限值苏条件(因亿为正此、负扎幂函侄数在殖这些刃点会筒成为禾无限胀大)顿。有限障值条稼件工程伶结构脱中常假开设哥孔口看最简籍单的娇为圆树孔。本节顽研究皇‘小孔再口问晋题’，排应符僵合（1甩）孔阶口尺胶寸＜颗＜弹保性体程尺寸疯，孔口阔引起丹的应践力扰河动局捆限于真小范唇围内件。§4舌－8刻圆字孔的母孔口析应力裤集中小孔牧口问捆题（2询）孔并边距券边界仍较远（＞合1.视5倍哑孔口睁尺寸供）孔口奴与边丘界不逆相互潜干扰嫁。当弹璃性体底开孔弯时，蹲在小逢孔口明附近念，将发生应力巾集中穗现象。小孔亩口问予题1.寸带小哥圆孔避的矩鸟形板叛，四边仆受均晴布拉剥力q，图(a)针。双向遣受拉内边历界条摸件为程，将外全边界示改造崇成为瞧圆边已界，裹作则有利用换圆环蜘的轴强对称松解答，取且R＞＞r，得应力旺解答公：双向剂受拉（4鼓-1汪7）2.剥带披小圆塑孔的其矩形岗板，x,伶y向分喷别受舒拉压馅力，图鸦(b)。所以柴应力问集中撑系数盆为2继。内边凶界条慎件为最大根应力筹发生雹在孔魄边，作亦圆扬，求睁出外神边界罚条件朵为双向宝受拉谱压应用半逆犁解法求解弓（非慈轴对课称问他题）且:由边绑界条沙件，承假设代入富相容耻方程音，由矛~通关系都，假煎设忍，所短以设双向住受拉每压除去由，浊为典鹿型欧萄拉方窜程，论通过吧与前陕面§4塌－5相同练的处没理方才式，坝可以得解然后肤代回拥式（d)脚,即可床求出权应力椅。双向往受拉祸压校核逃边界套条件检(b)亩,认(出c)认，求出A,B,C,D，得应力渠解答：在孔瞎边赖，瓶，最纷大、虽最小便应力雄为幕，应的力集伙中系慈数为应。双向色受拉哥压（4辩-1距8）3.原带小狭圆孔剪的矩锈形板仙，只受x向均迟布拉显力q。单向狮受拉应用炕图示授叠加村原理捏（此钻时令确）得应力扰解答:单向原受拉（4蛋-1举9）讨论恩：（1太）孔庸边应藏力，最大谈应力恼3q，最小污应力脸-q。单向针受拉（2颜)y轴述上应垄力，可见停，距垃孔边生1.暮5D处包，薯由于枝孔口踩引起湾的应晴力扰抄动<哪5%乡丰。单向献受拉（3钥）x轴隆上买应力，同样截，距虏孔边假1.惹5D处处，淋由于碧孔口劈燕引起班的应谨力扰沉动<腿5%煮。单向英受拉4.棚小孔筝口的看应力但集中米现象（1梁）集中棍性--孔口郑附近旁应力裳>>县远处惭的应家力，孔口皆附近爷应力问>>独无孔跨时的与应力枣。（2麦）局部辣性--应力键集中爬区域桶很小卧，约共在距亦孔边1.拘5倍宅孔径执（D）范围净内。奴此区谜域外跪的应杨力扰离动，艘一般哥<5馆%。应力剩集中渐现象（3声）凹角松的角蜘点应对力高被度集售中，曲窗率半促径愈再小，辈应力峰愈大灵。因此胳，工顽程上屠应尽丝式量避岔免接洗近直泄交的调凹角贺出现描。如正吹方孔话的违角点况，角点粮曲率肯半径应力音集中凉现象5.俗一般体小孔哲口问交题的在分析摧：（1筒）假扫设无秋孔，歼求出油结构饭在孔纹心处版的用、、够。（2斜）求症出孔我心处介主应逮力（3箭）在带远处恢的均兵匀应真力场饭作用躲下，求出声孔口拼附近裳的应越力。小孔碍口解隙法当然材，对殊于左提右边莫界受责均匀剩拉力悦作用盆带孔悲平板诱的应姻力集舟中问若题，巷还可拨以用钞如下队方法剪求解单向堡受拉对于么无孔互板，菠板中胜的应播力为与之售相应颠的应序力函湾数为转为抢极坐败标表倦示为单向连受拉现参找照上喇述无寒孔板陪的应龟力函飞数来妙选取储一个膊应力盆函数瓣，使咏它适嗽用于肉有孔鸟板。约即代入闲相容建方程脖得：解得蛇：单向惑受拉由此缩慧求得商应力株分量编为：解得底：单向拦受拉应力顽分量灶为：应用针弹性白力学英问题抖的复变丽函数吼解法，已置经解出性许多怖各种猛形状蝇的小朵孔口义问题辩的解鹿答。复变函数马解法酸是一搂种求室解弹井性力番学解疤答的控解析湖方法，它将形复变欠函数与的实刊部和遍虚部危(均街为实鲁函数烧)分鸭别表示霸弹性友力学大的物旱理量卵，将堆弹性钢力学炕的相湿容方程(旬重调今和方午程粗)也虽化为辟复变烈函数烛方程捏，并召结合边界兴条件转进行佛求解趟。6.晚其坟他小巨孔口丛问题商的解辱答为了驰了解巷小孔疤口应傻力集巧中现怠象的碗特性绍和便于工乏程上判的应牌用，建我们昨把远垮处为倡(谢压应力场斑)作探用下胶，椭考圆类严孔口隐、矩半形类细孔口的和廊习道孔口忙的应可力解击答表只示在性下图唱中，惕它们辫的应斜力分布情煤况如卸下。-43/治2ba11-2攀.2斤312/惹3-1101-311.卵00-2哗.5-1电.3盒5（1滥）在坝(压炸应力续场)御下，丽孔口唤的最大拉应寺力发生渔于孔睛顶和除孔底箭。椭师圆类考孔口昼均为,矩替形类仆孔口景的~,标龙准廊道怀孔口料为0.码90和0.缘瑞92q。1.贴8r-1美.7(c)标准炊廊道打孔口r0.皇900.石92（2鼻）在掩（压场应力拨场）和下，泳孔口耗的最大句压应搅力发生卡在孔涌侧。预椭圆受类孔凡口（喘垂直趁半轴瓜为b，水平科半轴由为a）中，俱当槐成为己一条温裂缝时喂，血；当援；液当睛，~。矩形郊类孔兔口营从悦，越小状，则护压应绢力集羡中系封数越侨接近互1。鹊标准讽廊道皮左右合。半平已面体窄在边遗界上思受集饿中力何作用药如图毯。它是斤下图亲所示问题狐当的特宜殊情仿况。§4在－9半平帮面体税在边边界上锁受集拐中力半逆烟解法用半逆恩解法求解仙。（1支）假记设应峡力：F为单龙位宽智度上怕的力蒙，按币量纲贵分析辞，应给力规应为从:半逆鼓解法（2扩）推挤测蚕应耽为（3霸）代鞭入律，主得求出f之解骄，代颈入脸，其中符前两暖项即Ax繁+B蔽y，与应今力无后关，羡删去定。则取发应力色函数永为（5肆）考州虑边误界条堵件,因有样集中异力作惠用于源原点祸，故边社界条遥件应笛考虑洪两部愁分：（4册）由肯求应乌力,(b)在原追点O附近库，我餐们可督以看轻成是着一段小边晶界。乔在此席小边篮界附北近，妄有面占力的季作用,而面倚力可剖以向耀原点o简化渡为作岩用于O点的坏主矢同量F，和主扎矩为0的情悟形。将小距边界良上的皂应力钩边界检条件脂应用圣维暖南原理来进测行处众理。圣维艰南原忘理的僚应用可以有先两种陷方式爹：(a)不包作含原耻点O，则在显然寄这条散件是终满足灯的。即,(1兄)在同洁一小贩边界值上，使竖应力湾的主期矢量财和主钥矩,护分别就等于读对应霜面力收的主斤矢量掌和主茧矩(数跟值相润等，尊方向再一致盾)，授共有3个条反件。(2斯)取出锣包含方小边笔界的一部懒分脱侵离体，并忘考虑侨此脱币离体寇的平没衡条垫件，同样像也得主出3个