河北省衡水市聚龙中学2022年高二数学理测试题含解析

河北省衡水市聚龙中学2022年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（▲）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D3.设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是

（）A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.公差不为零的等差数列的前项和为若是与的等比中项,则（

）A.18

B.24

C.60

D.90参考答案：C5.设、都是非零向量，则“”是“、共线”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C6.已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量=（2，﹣1，2），则下列点P在平面α内的是（）A．（﹣4，4，0） B．（2，0，1） C．（2，3，3） D．（3，﹣3，4）参考答案：C【考点】平面的法向量．【分析】若点P在平面α内，则=0，经过验证即可判断出结论．【解答】解：若点P在平面α内，则=0，经过验证只有点（2，3，3）满足．故选：C．7.一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（

）A.若，则乙有必赢的策略 B.若，则甲有必赢的策略C.若，则甲有必赢的策略 D.若，则乙有必赢的策略参考答案：A【分析】乙若想必胜，则最后一次抓取前必须有1~3个球，根据试验法可得解。【详解】若，则乙有必赢的策略。（1）若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。（2）若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。（3）若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。所以若，则乙有必赢的策略所以选A【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，属于难题。8.设集合，则下列关系中正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为，敌机被击中的概率为A．

B．

C．

D．

参考答案：C10.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为，的面积为，则（

）A．

B.

C．

D.参考答案：由已知得，，，渐近线方程为.而抛物线的准线方程为，于是，,从而的面积为，.选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“若x，y都是正数，则x+y为正数”的否命题是____________________________参考答案：12.已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为_______．参考答案：1813.数列{an}满足，，则________．参考答案：14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．若，且，则B=_____．参考答案：【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合大边对大角确定的值即可.【详解】由结合正弦定理可得：，故，由可得，故为锐角，则故答案为：．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.如图,函数的图像在点P处的切线方程是,则=

参考答案：216.如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA⊥圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是．参考答案：4【考点】棱锥的结构特征．【分析】先寻找出图形中的垂直关系再由垂直关系确定出直角三角形的个数．【解答】解：题题意SA⊥圆O所在的平面，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，可得出AB，BC垂直由此两个关系可以证明出CB垂直于面SAB，由此可得△ADB，△SAC，△ABC，△SBC都是直角三角形故图中直角三角形的个数是4个故答案为：4．17.若等差数列的首项，公差是的展开式中的常数项，其中为除以的余数，则等差数列的通项公式---------

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】证明题．【分析】（Ⅰ）由AB⊥平面BCD?AB⊥CD，又CD⊥BC?CD⊥平面ABC，再利用条件可得不论λ为何值，恒有EF∥CD?EF?平面BEF，就可得不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD?BE⊥平面ACD?BE⊥AC．故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．又∵，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴，∴，由AB2=AE?AC得，∴，故当时，平面BEF⊥平面ACD．【点评】本题考查了面面垂直的判定．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．19.已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，由f（0）=f（0）=0，f（1）=，∴f（x）在上的值域为；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，则f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤，∴丨﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，化简得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，综合①②，可得a2≤4，解得：﹣2≤a≤2．a的取值范围[-2,2]．20.（本小题满分12分）已知的顶点，在椭圆上，在直线上，且.（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．参考答案：（1）∵，且边通过点，∴直线的方程为．设两点坐标分别为．由，得．…3分∴．又边上的高等于原点到直线的距离．∴，．（2）设所在直线的方程为，由得．因为A,B在椭圆上，所以．设两点坐标分别为，则，，所以．又因为的长等于点到直线的距离，即．所以．所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为．略21.（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为

.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的分布列及均值.参考答案：

解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A··)＝P(A)P()P()＝·()2＝.答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3，ξ~B（3，），P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123Pξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

22.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所