河南省郑州市登封实验中学高二数学理模拟试题含解析

河南省郑州市登封实验中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线y2=4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A．y2=x﹣1 B．y2=2（x﹣1） C． D．y2=2x﹣1参考答案：B【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2，进而根据直线方程求得y1+y2，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．【解答】解：由题知抛物线焦点为（1，0）设焦点弦方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0由韦达定理：x1+x2=所以中点横坐标：x==代入直线方程中点纵坐标：y=k（x﹣1）=．即中点为（，）消参数k，得其方程为y2=2x﹣2故选B．2.若

（

）A、-3

B、-

C、3

D、参考答案：A略3.过圆x2+y2-2x+4y-4=0内一点M（3，0）作直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是（

）

A．x+y-3=0

B．x-y-3=0C．x+4y-3=0

D．x-4y-3=0参考答案：A略4.如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，若，则(

)

A．

B．

C．

D．与大小不确定参考答案：A5.下列说法正确的是（

）A.一条直线的斜率为，则这条直线的倾斜角是.B.过点A和点B的直线的方程为.C.若两直线平行，则它们的斜率相等.D.若两直线斜率之积等于－1，则两直线垂直.参考答案：D略6.已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣45参考答案：B【考点】二项式定理．【分析】将1+x写成2﹣（1﹣x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1﹣x的指数为8，求出a8．【解答】解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10∴其展开式的通项为Tr+1=（﹣1）r210﹣rC10r（1﹣x）r令r=8得a8=4C108=180故选B7.对“a、b、c至少有一个是正数”的反设是

（

） A．a、b、c至少有一个是负数 B.a、b、c至少有一个是非正数 C．a、b、c都是非正数

D.a、b、c都是正数

参考答案：C略8.已知命题p：“?x0∈R，x03＞x0”，则命题￢p为（）A．?x∈R，x3＞x B．?x∈R，x3＜x C．?x∈R，x3≤x D．?x0∈R，x03≤x0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到所求命题的否定．【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：“?x0∈R，x03＞x0”，则命题￢p为”?x∈R，x3≤x”．故选：C．9.在有限数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，若把称为数列{an}的“优化和”，现有一个共2006项的数列{an}：a1，a2，a3，…，a2006-，若其“优化和”为2007，则有2007项的数列1，a1，a2，a3，…，a2006-的“优化和”为（

）

A．2005

B．2006

C．2007

D．2008参考答案：C10.已知命题，，则

（

）A.

B.C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线

=4与直线交于A、B两点，那么线段AB的中点的坐标是__参考答案：(4,2)12.已知x>0，y>0，且x+4y=1,则的最小值为

▲

参考答案：13.方程的实根个数是

参考答案：1略14.已知Z是复数，|Z﹣2+i|=，则|z|的取值范围．参考答案：[，]【考点】A8：复数求模．【分析】由题意画出图形，求出圆心到原点的距离，数形结合得答案．【解答】解：|Z﹣2+i|=的几何意义为复平面内动点Z到定点P（2，﹣1）的距离为的轨迹，如图：∵|OP|=，∴|z|的最小值为，最大值为．取值范围为[，]．故答案为：[，]．15..（本小题共14分）对、，已知下列不等式成立：①②③④（1）用类比的方法写出（2）若、，证明：（3）将上述不等式推广到一般情形，请写出你所得结论的数学表达式（不必证明）.

参考答案：解：（1）类比得到：（或或）……………4分

（2）=

……………8分又，，∴.

……………10分（3）一般情形为：

略16.已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积

.参考答案：17.与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 或

．参考答案：，解析：由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、

为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上．所以轨迹方程为

，或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数角度看，可以看成是以r为自变量的函数，其定义域是.（1）证明：（2）试利用1的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先根据组合数公式求出、，计算的值，从而证得结论；（2）设，由（1）可得，令，可得（等号不成立），故有当时，成立；当时，成立.故最大，当为奇数时，同理可证，从而证得结论.【详解】（1）因为，又因为，所以.则成立.（2）设，因为，，所以.令，所以，则（等号不成立），所以时，成立，反之，当时，成立.所以最大，即展开式最中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，设，其最中间有两项且，由（1）知，显然，，令，可得，，当时，，且这两项为二项展开式最中间两项的系数，所以时，成立；由对称性可知：当时，成立，又，故当为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.【点睛】本题主要考查组合及组合数公式，二项式定理的应用以及二项式系数的性质，令，求出的范围是解本题的关键，考查学生的计算能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为：(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直角坐标系下曲线与曲线的方程；(2)设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最大值，并求此时点的坐标.参考答案：(1)由曲线，可得，两式两边平方相加得：.即曲线在直角坐标系下的方程为.由曲线，即，所以，即曲线在直角坐标系下的方程为.(2)由(1)知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为，∴当即时，的最大值为.此时点的坐标为.20.已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．参考答案：（1）由题意．

当时，函数的定义域为，，则，，则，此时函数在上是减函数，在上是增函数，当时，函数的定义域为，，则，，则，此时函数在上是减函数，在上是增函数。（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点，∴切线方程：，将点坐标代入得：，即，

①设，则．令，则或。（0,1）1（1,2）2+0-0+递增极大值递减极小值递增所以在区间，上是增函数，在区间上是减函数，在处取得极大值，在处取得极小值，所以在上恒成立，即在上无解。因为，，在区间上单调递增，根据零点定理，在区间上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．略21.已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且

（1）求直线AB的方程；

（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？参考答案：解析：（1）设直线AB：代入得

（＊）

令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根

∴

且

∵

∴

N是AB的中点

∴

∴

k=1

∴AB方程为：y=x+1

（2）将k=1代入方程（＊）得