北京丰台区东高地第一中学高二数学理上学期期末试卷含解析

北京丰台区东高地第一中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（

）A．7倍

B．5倍

C．4倍

D．3倍参考答案：A略2.若圆上至少有三个不同点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围为(

)A

B

C

D参考答案：Ｂ3.在△中，内角的对边分别是，若，，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是(

) A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数参考答案：B考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解答： 解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．6.下列命题：①“若，则”的逆否命题；ks5u②“若A与B是互斥事件，则A与B是对立事件”的逆命题；③“在等差数列中，若，则”的否命题；④“若的必要不充分条件是（，），则”的逆否命题.其中是假命题个数有（

）A．0B．3

C．2

D．1参考答案：D7.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是A. B.C. D.参考答案：A试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．考点：线性回归直线.8.直线y=x被圆（x﹣1）2+y2=1所截得的弦长为（）A．

B．1 C．

D．2参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理求出弦长即可．【解答】解：由圆的方程得：圆心坐标为（1，0），半径r=1，∵圆心到直线x﹣y=0的距离d=，∴直线被圆截得的弦长为2=．故选C．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．9.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，，则用向量，，可表示向量=（）A． B． C． D．﹣参考答案：D【考点】空间向量的基本定理及其意义．【分析】从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，写出结果，这样三个向量都是指定的基底中的向量，得到结果．【解答】解：=﹣故选D．10.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为

(

)14

24

28

48参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的实数解的个数为

.

参考答案：

2个

12.复数z＝的共轭复数是

参考答案：试题分析：z＝，所以共轭复数为。考点：复数的运算。点评：复数在考试中一般是必出一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时，也要熟记一些常用公式：。13.已知函数（其中）在区间上单调递减，则实数的取值范围为

▲

。参考答案：

14.某几何体的三视图如图所示，则其体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．所以体积．故答案为：．15.已知直线与圆相切，则的值为________.参考答案：16.如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,,垂足为F,若,,则__________.参考答案：5,,,在中,17.已知圆C：，过点P(2,—1)作圆C的切线，切点为A、B。（1）求直线PA与PB的方程；（2）过P点的圆C的切线长。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等等码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．参考答案：解:（1）设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则O≤x<24，0≤y<24且y－x>4或y－x<－4作出区域

设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P（A）＝

（2）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2．设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域．

P（B）＝略19.如图，四边形是矩形，平面，四边形是梯形,，，点是的中点，.（1）求证：∥平面；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明：连结，交于点，∴点是的中点.∵点是的中点，∴是△的中位线.

∴∵平面，平面，∴平面

（2）四边形是梯形，，又四边形是矩形，，又，又，，在△中，，由可求得…7分以为原点，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，∴，，，，∴，，.设平面的法向量，∴，.∴

令，则，.∴.又是平面的法向量，∴

如图所示，二面角为锐角.∴二面角的余弦值是略20.已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．参考答案：【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）xx+y+1=0或x+y﹣3=0．…（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2?2x1﹣4y1+3=0..…即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…解方程组得P点坐标为（﹣，）．…【点评】本题重点考查了直线与圆的位置关系，切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解．21.（16分）已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线=1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加以证明．参考答案：双曲线类似的性质为：若A，B是双曲线且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是双曲线上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值．证明：设P，A，则B，且①，②，两式相减得：，∴即，是与点P位置无关的定值．由椭圆到双曲线进行类比，不难写出关于双曲线的结论：kPA?kPB=，其中点A、B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的任意一点．然后设出点P、A、B的坐标，代入双曲线方程并作差，变形整理即可得到是与点P位置无关的定值．22.已知函数f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；（Ⅱ）若存在x∈[2，e]，使得f（x）≥（a﹣2）x成立，求实数a的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）a=4时，f（x）=x2﹣4lnx，∴f（x）的定义域为x＞0，，由=0，得x=，或x=﹣（舍），∵f（1）=1﹣4ln1=1，f（）=1﹣4ln=1﹣2ln2，f（e）=1﹣4lne=