2021-2022学年河南省郑州市巩义、中牟、登封等六县高二（下）期末数学试卷（理科）

第1页（共1页）2021-2022学年河南省郑州市巩义、中牟、登封等六县高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数，则＝（）A．0 B．2i C．﹣2i D．﹣1+i2．（5分）已知随机变量X的分布列如表所示，则E（X）＝（）X012PAA． B． C． D．3．（5分）（x﹣1）10的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（）A．128 B．256 C．512 D．10244．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2f'（1）x，则f'（﹣1）＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．15．（5分）由曲线y＝cosx，，，y＝0所围成图形的面积为（）A．2π B．π C．2 D．16．（5分）下列说法中正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越小 B．若事件A与B相互独立，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则P（A|B）＝P（A） C．若随机变量X服从正态分布N（0，1）且，则 D．在回归分析中，对一组给定的样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），样本数据的线性相关程度越强，则r越接近17．（5分）用数学归纳法证明对任意n＞k（n，k∈N）的自然数都成立，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）2022年4月，某地区加强了对“一盔一带”安全守护行动的执法管理，交警对某路口不戴头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据（其中y表示第x天不戴头盔的人数）：x1248y11549325若y关于x的回归方程为，则＝（）A．﹣4 B．4 C．6 D．﹣69．（5分）“霍姆斯马车理论”是指各种资源都得到最合理配置和使用的一种理论．一个富有效率的团队不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥．某科研团队共有10名研究人员，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成甲、乙两个科研小组，其中1，2号研究员组合在一起，3，4号研究员组合在一起，其余研究员随意搭配就能达到最佳效果，那么达到最佳效果的不同的分组方式共有（）A．26种 B．46种 C．52种 D．126种10．（5分）2022年北京冬奥会开幕式中，当《构建一朵雪花》这个节目开始后，一朵巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一朵雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科克曲线”，是瑞典数学家科克在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图形中的三角形的周长为1，则第10个图形的周长为（）A． B． C． D．11．（5分）已知点P在函数f（x）＝lnx﹣x+2的图象上，点Q在直线l：x+2y﹣2ln2﹣6＝0上，记M＝|PQ|2，则（）A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为 C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为12．（5分）已知，，，其中，，c≠e，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足|z﹣1|≤1，则复平面内由点（x，y）形成的区域的面积为．14．（5分）某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动，现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、羽毛球、网球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能从中选择一项活动，则四人中恰有两人选择同一活动的情况有种．15．（5分）在（3x3﹣4x2+1）5的展开式中，除x5项之外其余所有项的系数之和为．16．（5分）已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna，若不等式f（x）≥1恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．（12分）在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256．在的展开式中，____．（1）求n的值；（2）展开式中系数最大的项是第几项？18．（12分）（1）已知a，b＞0，a+b＝2，求证：；（2）已知a，b，c＞0，a+b+c＝1，求证：．19．（12分）小明大学毕业后准备自主创业，他计划在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：m2）和日均客流量y（单位：百人）的数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，20），初步判断x与y线性相关，并计算得＝2400，＝210，＝42000，＝6300．（1）求y关于x的回归直线方程；（2）已知服装店每天的经济效益W＝+2x，该商场现有60～150m2的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小明应该租多大面积的商铺？参考公式：回归直线方程中，，．20．（12分）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，一时成为火爆的商品．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如表：年龄/岁[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]抽取人数102025151875有意向购买的人数10182291042（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否有意向购买冰墩墩与人的年龄有关；年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数无意向购买冰墩墩的人数总计（2）若从年龄在[60，70）的被调查人群中随机选出3人进行调查，设这3人中有意向购买集个冰墩墩的人数为X，求X的分布列和数学期望．（3）某校为了使更多学生了解冰雪运动，特在全校进行了冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分[50，60）[60，70）[70，80][80，90][90，100]频率0.10.10.30.30.2如果规定竞赛得分在[90，100]为优秀，现用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，记竞赛成绩优秀的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知函数．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）若不等式恒成立，求实数a的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点P的坐标为（0，﹣1），直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣9|﹣|x﹣5|．（1）求不等式f（x）≥2x﹣1的解集；（2）函数y＝f（x）+3|x﹣5|的最小值为m，正实数a，b满足，求a+3b的最小值．

2021-2022学年河南省郑州市巩义、中牟、登封等六县高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数，则＝（）A．0 B．2i C．﹣2i D．﹣1+i【分析】利用复数的定义、运算法则直接求解．【解答】解：∵复数＝i﹣＝2i，∴＝﹣2i，故选：C．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知随机变量X的分布列如表所示，则E（X）＝（）X012PAA． B． C． D．【分析】由离散型随机变量的分布列的性质求出A＝，由此能求出E（X）．【解答】解：随机变量X的分布列如表所示，X012PA由分布列的性质得，∴．故选：D．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）（x﹣1）10的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（）A．128 B．256 C．512 D．1024【分析】由题意，利用二项式系数的性质，得出结论．【解答】解：由题意，利用二项式系数的性质，可得（x﹣1）10的展开式中所有奇数项的二项式系数和为＝512，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2f'（1）x，则f'（﹣1）＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2f'（1）x，∴f'（x）＝3x2﹣2f'（1），∴f'（1）＝3﹣2f'（1），即f'（1）＝1，∴f'（x）＝3x2﹣2，则f'（﹣1）＝1，故选：D．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．（5分）由曲线y＝cosx，，，y＝0所围成图形的面积为（）A．2π B．π C．2 D．1【分析】画出图象，根据定积分求出即可．【解答】解：根据题意，由曲线y＝cosx，，，y＝0所围成图形，如下图：∴，故选：C．【点评】本题考查定积分的应用，考查了定积分和面积的关系，属于基础题．6．（5分）下列说法中正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越小 B．若事件A与B相互独立，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则P（A|B）＝P（A） C．若随机变量X服从正态分布N（0，1）且，则 D．在回归分析中，对一组给定的样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），样本数据的线性相关程度越强，则r越接近1【分析】由独立性检验的性质可判断A，由独立事件的定义可判断B，由正态分布曲线的对称性可判断C，由相关系数的性质可判断D．【解答】解：对于A，对于独立性检验，随机变量K2的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越大，故A错；对于B：由独立事件的定义可知，若事件A与B相互独立，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则P（A|B）＝P（A），故B正确；对于C：若随机变量X服从正态分布N（0，1）且，则，故C错；对于D：样本相关系数r的绝对值越接近1，样本数据的线性相关程度越强，故D错，故选：B．【点评】本题主要考查了独立性检验的性质，考查了正态分布曲线的对称性，以及独立事件的定义，属于基础题．7．（5分）用数学归纳法证明对任意n＞k（n，k∈N）的自然数都成立，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用数学归纳法计算即可．【解答】解：当n＝1时．左边＝，右边＝，此时左边＞右边，不等式成立；当n＝2时，左边＝＝，右边＝，此时左边＞右边，不等式成立；当n＝3时，左边＝，右边＝，此时左边＞右边，不等式成立；∴用数学归纳法证明结论时，对任意n＞k（n，k∈N）的自然数都成立，则k的最小值为2，故选：B．【点评】本题考查数学归纳法，属于中档题．8．（5分）2022年4月，某地区加强了对“一盔一带”安全守护行动的执法管理，交警对某路口不戴头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据（其中y表示第x天不戴头盔的人数）：x1248y11549325若y关于x的回归方程为，则＝（）A．﹣4 B．4 C．6 D．﹣6【分析】令，得，由已知数据求得，代入回归方程即可求得值．【解答】解：令，由表格数据得＝，，代入回归方程，得，解得，故选：D．【点评】本题考查回归方程及其应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）“霍姆斯马车理论”是指各种资源都得到最合理配置和使用的一种理论．一个富有效率的团队不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥．某科研团队共有10名研究人员，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成甲、乙两个科研小组，其中1，2号研究员组合在一起，3，4号研究员组合在一起，其余研究员随意搭配就能达到最佳效果，那么达到最佳效果的不同的分组方式共有（）A．26种 B．46种 C．52种 D．126种【分析】分1，2，3，4号研究员在一组和1，2号研究员在一组，3，4号研究员在另一组，两种情况分别求得分组方法，再由分类加法原理可得选项．【解答】解：当1，2，3，4号研究员在同一组时，那么该小组还差1人，再选1人即可，共有2＝12种情况数；当1，2号研究员在一组，3，4号研究员在另一组时，有种情况数，所以共计52种情况数．故选：C．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，分类讨论是最基本的指导思想，属于基础题．10．（5分）2022年北京冬奥会开幕式中，当《构建一朵雪花》这个节目开始后，一朵巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一朵雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科克曲线”，是瑞典数学家科克在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图形中的三角形的周长为1，则第10个图形的周长为（）A． B． C． D．【分析】归纳推理可得图形的周长以1为首项，为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式即可求解．【解答】解：设第n个图形的周长为an，由图可知a1＝1，，，…，由等比数列的对于可知数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故选：B．【点评】本题主要考查了归纳推理，考查了等比数列的通项公式，属于基础题．11．（5分）已知点P在函数f（x）＝lnx﹣x+2的图象上，点Q在直线l：x+2y﹣2ln2﹣6＝0上，记M＝|PQ|2，则（）A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为 C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为【分析】由两曲线的图像，可知M的最小值，直接解之．【解答】解：由题意，把直线l平移与曲线f（x）相切时，直线l与切线的距离即为M的最小值，∵直线l的斜率为，令，得x＝2，∴当M最小时，点P的坐标为（2，ln2），此时点P到直线l：x+2y﹣2ln2﹣6＝0的距离为，所以M的最小值为，∴选项A，C都不正确．过点P且垂直于l的直线方程为l'：2x﹣y+ln2﹣4＝0，联立两直线的方程，得点Q的横坐标为，选项B正确，D错误，故答案为：B．【点评】本题考查导数的运用，数形结合确定最佳位置，是基础题．12．（5分）已知，，，其中，，c≠e，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【分析】先变形，再构造函数f（x）＝x﹣lnx（x＞0），判断单调性并画出图像，求解即可．【解答】解：由题意得，a﹣lna＝﹣ln，b﹣lnb＝﹣ln，c﹣lnc＝e﹣lne，设函数f（x）＝x﹣lnx（x＞0），f′（x）＝1﹣＝，当x∈（0，1）时，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，则函数f（x）的大致图象如图所示，∵，，f（c）＝f（e），且，，c≠e，∴由图可知c＜a＜b．故选：A．【点评】本题考查三个数大小的求法，画出构造函数的图像是关键，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足|z﹣1|≤1，则复平面内由点（x，y）形成的区域的面积为π．【分析】推导出，整理得（x﹣1）2+y2≤1，得到复平面内由点（x，y）形成的区域是以（1，0）为圆心，1为半径的圆及其内部，再求出面积即可．【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R）满足|z﹣1|≤1，∴，∴（x﹣1）2+y2≤1，∴复平面内由点（x，y）形成的区域是以（1，0）为圆心，1为半径的圆及其内部，∴复平面内由点（x，y）形成的区域的面积为S＝π×12＝π．故答案为：π．【点评】本题考查复数的几何意义、复数的模、圆的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动，现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、羽毛球、网球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能从中选择一项活动，则四人中恰有两人选择同一活动的情况有144种．【分析】根据题意，在4人中选出2人，选择相同的活动，剩下2人各选一种剩下的活动，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，四人中恰有两人选择同一活动，剩下2人所选的活动不能相同，在4人中选出2人，选择相同的活动，剩下2人各选一种剩下的活动，则有CCA＝144种选择方法，故答案为：144．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15．（5分）在（3x3﹣4x2+1）5的展开式中，除x5项之外其余所有项的系数之和为240．【分析】先求得所有项的系数之和，再求出含x5项的系数，可得除x5项之外其余所有项的系数之和．【解答】解：令x＝1，得（3x3﹣4x2+1）5的展开式中所有项的系数之和为0．而（3x3﹣4x2+1）5的表示5个因式（3x3﹣4x2+1）的乘积，只有当一个因式取3x3，另一个因式取﹣4x2，其余的因式都取1，相乘时才会出现含x5的项，故含x5项的系数为，所以，除x5项之外其余所有项的系数之和为240，故答案为：240．【点评】本题主要考查二项式定理，幂的几何意义，排列组合的应用，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna，若不等式f（x）≥1恒成立，则实数a的取值范围为[1，+∞）．【分析】根据不等式f（x）≥1，移项整理得到elna+x﹣1+（x+lna﹣1）≥lnx+elnx，构造g（x）＝x+ex，h（x）＝x﹣lnx+lna﹣1，通过求导判断单调性，进而求导a的取值范围．【解答】解：由f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna≥1，移项得aex﹣1+lna≥lnx+1，即elna+x﹣1+lna≥lnx+1，两边同时加（x﹣1）得elna+x﹣1+x+lna﹣1≥lnx+x，即elna+x﹣1+（x+lna﹣1）≥lnx+elnx，设g（x）＝x+ex，则g′（x）＝1+ex＞0，所以g（x）单调递增，所以lna+x﹣1≥lnx，即x﹣lnx+lna﹣1≥0．设h（x）＝x﹣lnx+lna﹣1，则h′（x）＝1﹣，所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以，h（x）min＝h（1）＝lna＞0，所以a≥1．故实数a的取值范围为[1，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题，构造g（x）＝x+ex，h（x）＝x﹣lnx+lna﹣1是关键．三、解答题（本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．（12分）在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256．在的展开式中，____．（1）求n的值；（2）展开式中系数最大的项是第几项？【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质，求得n的值．（2）由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中系数最大的项．【解答】解：（1）若选①，根据第3项与第7项的二项式系数相等，即，∴n＝8．若选②，根据只有第5项二项式系数相等，即只有最大，∴n＝8．若选③，所有项的二项式系数的和为2n＝256，∴n＝8．（2）由于的展开式的通项为．设第r+1项的系数最大，则，解得2≤r≤3，∴r＝2或3．∴展开式中系数最大的项为第3项和第4项的系数最大．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．18．（12分）（1）已知a，b＞0，a+b＝2，求证：；（2）已知a，b，c＞0，a+b+c＝1，求证：．【分析】（1）利用分析法证明，问题转化为证明，再由基本不等式证明即可；（2）直接利用柯西不等式证明．【解答】证明：（1）∵a，b＞0，a+b＝2，∴要证，只需证，即证．∵ab≤，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴，即，∴，则；（2）∵a+b+c＝1，∴由柯西不等式得，当且仅当时，等号成立，即．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式与柯西不等式的应用，考查推理论证能力，是中档题．19．（12分）小明大学毕业后准备自主创业，他计划在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：m2）和日均客流量y（单位：百人）的数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，20），初步判断x与y线性相关，并计算得＝2400，＝210，＝42000，＝6300．（1）求y关于x的回归直线方程；（2）已知服装店每天的经济效益W＝+2x，该商场现有60～150m2的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小明应该租多大面积的商铺？参考公式：回归直线方程中，，．【分析】（1）由已知数据求得与的值，可得y关于x的回归直线方程；（2）由题意可得单位面积的经济效益，再由换元法与配方法求最值．【解答】解：（1）∵＝2400，＝210，∴，，又＝42000，＝6300，∴＝，．∴y关于x的回归直线方程为；（2）∵服装店每天的经济效益W＝+2x，∴单位面积的经济效益，令，则．由二次函数的性质知，当时，Z最大，∴小明应该租100m2的商铺．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．20．（12分）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，一时成为火爆的商品．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如表：年龄/岁[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]抽取人数102025151875有意向购买的人数10182291042（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否有意向购买冰墩墩与人的年龄有关；年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数无意向购买冰墩墩的人数总计（2）若从年龄在[60，70）的被调查人群中随机选出3人进行调查，设这3人中有意向购买集个冰墩墩的人数为X，求X的分布列和数学期望．（3）某校为了使更多学生了解冰雪运动，特在全校进行了冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分[50，60）[60，70）[70，80][80，90][90，100]频率0.10.10.30.30.2如果规定竞赛得分在[90，100]为优秀，现用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，记竞赛成绩优秀的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）由调査表格数据完成列联表，再利用卡方公式即可判断结果；（2）由题意，X的可能取值为0，1，2，3利用超几何分布公式求得相应概率，从而求出分布列和期望；（3）随机变量Y～B（3，0.2），利用二项分布公式即可求出结果．【解答】解：冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，一时成为火爆的商品，某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，（1）列联表如下所示：年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数502575无意向购买冰墩墩的人数52025总计5545100则K2的观测值，∴有99.9%的把握认为是否有意向购买冰墩墩与人的年龄有关；（2）由题意，X的可能取值为0，1，2，3，，，，，∴X的分布列为：X0123P∴；（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取1人，竞赛成绩优秀的概率为0.2，∴随机变量Y～B（3，0.2），∴Y的可能取值为0，1，2，3，P（Y＝0）＝0.83＝0.512，，，P（Y＝3）＝0.23＝0.008，∴Y的分布列为：Y0123P0.5120.3840.0960.008E（Y）＝3×0.2＝0.6．【点评】本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．21．（12分）已知函数．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）若不等式恒成立，求实数a的值．【分析】（1）当a＝1时，对函数求导，令其导函数为0，找出极值点，再找出函数单调区间，求解极值即可．（2）首先将原不等式转化为ex+lnx﹣1≥a（x+lnx）在（0，+∞）时恒成立，再构造函数证明et﹣1﹣at≥0恒成立．【解答】解：（1）当a＝1时，，∴f'（x）＝ex+xex﹣x﹣1＝（ex﹣1）（x+1），令f'（x）＞0，得x＜﹣1或x＞0，x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，0）0（0，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗↘﹣1↗∴f（x）的极大值为，f（x）的极小值为f（0）＝﹣1；（2）由题意，xex﹣ax﹣1≥alnx，即ex+lnx﹣1≥a（x+lnx）在（0，+∞）时恒成立，令x+lnx＝t，易知h（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，且x从右侧趋向于0时，h（x）趋向于﹣∞，x趋向于+∞时，h（x）趋向于+∞，∴t∈R，从而转为et﹣1﹣at≥0在t∈R时恒成立，不妨令g（t）＝et﹣1﹣at，t∈R，则g'（t）＝et﹣a，当a≤0时，g'（t）＞0在R上恒成立，故g（t）在R上单调递增，又因为g（0）＝0，∴当t∈（﹣∞，0）时，g'（t）＜0，不符合题意，当a＞0时，令g'（t）＞0，得t＞lna，∴g（t）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，∴g（t）min＝g（lna）＝a﹣al