2021-2022学年北京师大二附中高二（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年北京师大二附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题；共40分）1．（4分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．30° B．120° C．135° D．150°2．（4分）已知圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（）A．（﹣1，0）与9 B．（1，0）与9 C．（﹣1，0）与3 D．（1，0）与33．（4分）已知＝（2，﹣3，1），则下列向量中与平行的是（）A．（1，1，1） B．（﹣2，﹣3，5） C．（2，﹣3，5） D．（﹣4，6，﹣2）4．（4分）椭圆的一个焦点是（0，﹣1），那么k等于（）A．1 B．3 C． D．45．（4分）已知A，B，C，D为空间中任意四个点，则等于（）A． B． C． D．6．（4分）过点M（﹣3，2），且与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程是（）A．2x﹣y+8＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．x+2y+4＝0 D．x+2y﹣1＝07．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P（1，0，2），Q（1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（0，1，0） B．（0，﹣1，0） C．（0，0，3） D．（0，0，﹣3）8．（4分）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．10．（4分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5小题；共25分）11．（5分）斜率为2，且经过点A（1，3）的直线的一般式方程为．12．（5分）已知点A（4，﹣1，2），B（2，﹣3，0），点C满足，则点C的坐标是．13．（5分）已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为．14．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝15．（5分）已知M为椭圆上一点，N为椭圆长轴上一点，O为坐标原点．给出下列结论：①存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；②不存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；③存在点M，N，使得∠OMN＝90°；④不存在点M，N，使得∠OMN＝90°．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共6小题；共75分）16．已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）过A点且平行于BC的直线方程；（2）AC边上的高所在的直线方程．17．在①圆经过C（3，4），②圆心在直线x+y﹣2＝0上，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．已知圆E经过点A（﹣1，2），B（6，3）且____．（1）求圆E的方程；（2）在圆E中，求以（2，1）为中点的弦所在的直线方程．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．19．已知椭圆M：的离心率为，焦距为．直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l方程为y＝x+m，先用m表示|AB|，然后求其最大值．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足＝0．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角F﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．21．如图，△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足2＝，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足＝0．（Ⅰ）求AC边所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的外接圆的方程；（Ⅲ）若点N的坐标为（﹣n，0），其中n为正整数．试讨论在△ABC的外接圆上是否存在点P，使得|PN|＝|PT|成立？说明理由．

2021-2022学年北京师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题；共40分）1．（4分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．30° B．120° C．135° D．150°【分析】根据直线的方程求出斜率，再由直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．【解答】解：∵直线x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，设直线的倾斜角等于θ，则tanθ＝﹣1，又θ∈[0，π），∴θ＝135°，故选：C．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．2．（4分）已知圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（）A．（﹣1，0）与9 B．（1，0）与9 C．（﹣1，0）与3 D．（1，0）与3【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣1）2+y2＝9，其圆心为（1，0），半径r＝3，故选：D．【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程，注意将圆的一般方程变形为标准方程，属于基础题．3．（4分）已知＝（2，﹣3，1），则下列向量中与平行的是（）A．（1，1，1） B．（﹣2，﹣3，5） C．（2，﹣3，5） D．（﹣4，6，﹣2）【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：若＝（﹣4，6，﹣2），则＝﹣2（2，﹣3，1）＝﹣2，所以∥．故选：D．【点评】熟练掌握向量共线定理是解题的关键．4．（4分）椭圆的一个焦点是（0，﹣1），那么k等于（）A．1 B．3 C． D．4【分析】通过椭圆的焦点，确定k＞2，利用a，b，c的关系，求出k的值即可．【解答】解：因为椭圆的一个焦点是（0，﹣1），所以k＞2，所以k﹣2＝1，k＝3．故选：B．【点评】本题是基础题，考查椭圆的基本性质，考查计算能力．5．（4分）已知A，B，C，D为空间中任意四个点，则等于（）A． B． C． D．【分析】由向量的加减法运算求解即可．【解答】解：＝+＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查向量加减混合运算，考查运算求解能力，属于基础题．6．（4分）过点M（﹣3，2），且与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程是（）A．2x﹣y+8＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．x+2y+4＝0 D．x+2y﹣1＝0【分析】由已知的直线方程求出要求直线的斜率，代入直线方程的点斜式，化为一般式得答案．【解答】解：由直线方程x+2y﹣9＝0可得该直线的斜率为，则与直线x+2y﹣9＝0平行的直线的斜率为，又直线过M（﹣3，2），由直线方程的点斜式得直线方程为，化为一般式得：x+2y﹣1＝0．故选：D．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题．7．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P（1，0，2），Q（1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（0，1，0） B．（0，﹣1，0） C．（0，0，3） D．（0，0，﹣3）【分析】根据题意，设出点M的坐标，利用|MP|＝|MC|，求出M的坐标．【解答】解：根据题意，设点M（0，y，0），∵|MP|＝|MQ|，∴＝，即y2+5＝y2+6y+11，∴y＝﹣1，∴点M（0，﹣1，0）．故选：B．【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．8．（4分）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．【分析】设与已知椭圆焦点相同的椭圆的方程，将已知点的坐标代入，可得参数的值，求出椭圆的方程．【解答】解：由题意设椭圆的方程为+＝1，λ＜9，将点（，﹣）代入，+＝1，整理可得：λ2﹣26λ+105＝0，解得λ＝5或λ＝21（舍），所以椭圆的方程为：+＝1，故选：C．【点评】本题考查与已知椭圆焦点相同的椭圆的设法，属于基础题．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【分析】设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|＝，|PF2|＝|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e＝故选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．10．（4分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意d＝＝，当sin（θ﹣α）＝﹣1时，dmax＝1+≤3．由此能求出d的最大值．【解答】解：由题意d＝＝，∴当sin（θ﹣α）＝﹣1时，dmax＝1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（共5小题；共25分）11．（5分）斜率为2，且经过点A（1，3）的直线的一般式方程为2x﹣y+1＝0．【分析】结合直线方程的点斜式和一般式，即可得解．【解答】解：由点斜式可得直线的方程为y﹣3＝2（x﹣1），即2x﹣y+1＝0．故答案为：2x﹣y+1＝0．【点评】本题考查直线方程的点斜式和一般式，考查运算求解能力，属于基础题．12．（5分）已知点A（4，﹣1，2），B（2，﹣3，0），点C满足，则点C的坐标是．【分析】设C（x，y，z），由点C满足，＝2，可得：＝，代入即可得出．【解答】解：设C（x，y，z），由点C满足，∴＝2，可得：＝＝[（8，﹣2，4）+（2，﹣3，0）]＝．则点C的坐标是．故答案为：．【点评】本题考查了空间向量坐标运算性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（5分）已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为5．【分析】根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x﹣y+8＝0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2＝d2+（）2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝r2的圆心为（0，0），半径为r；则圆心到直线x﹣y+8＝0的距离d＝＝4，若|AB|＝6，则有r2＝d2+（）2＝16+9＝25，故r＝5；故答案为：5【点评】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．14．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝90°【分析】根据题意，由椭圆的方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，由椭圆的定义可得|PF2|的值，在△F1PF2中，通过|PF1|，|PF2|，|F1F2|，由勾股定理分析可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆，其中a＝3，b＝2，则c＝，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝2a﹣|PF1|＝6﹣4＝2，在△F1PF2中，|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2c＝2，则|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，则有∠F1PF2＝90°，故答案为：90°．【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的定义分析得到|PF2|的值，是中档题．15．（5分）已知M为椭圆上一点，N为椭圆长轴上一点，O为坐标原点．给出下列结论：①存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；②不存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；③存在点M，N，使得∠OMN＝90°；④不存在点M，N，使得∠OMN＝90°．其中，所有正确结论的序号是①④．【分析】利用椭圆的简单几何性质，直接可判断①正确②错误，分情况讨论点M，N的位置，利用余弦定理判断cos∠OMN的取值范围，即可确定③错误，④正确．【解答】解：∵过原点倾斜角为60°的直线一定与椭圆由交点，∴假设y轴右侧的交点是M，在长轴上取ON＝OM，则△OMN就是等边三角形．故①正确，②错误；若点M和点N在y轴两侧，则∠OMN一定是锐角；若点M和点N在y轴同侧，不妨设为在y轴的右侧．设点M（x，y），则，且0＜x＜2．由椭圆性质可知，当点N是长轴短点时，∠OMN最大，∵|OM|2＝x2+y2，|MN|2＝（x﹣a）2+y2＝（x﹣2）2+y2，|ON|2＝a2＝4∴|OM|2+|MN|2＝x2+y2+（x﹣2）2+y2＝2x2﹣4x+4+2y2＝，在x∈（0，2）上上式恒大于4，即|OM|2+|MN|2＜|ON|2，∴∠OMN＜90°．故③错误，④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查椭圆的几何性质的应用，直线与椭圆的位置关系，二次函数在固定区间上的最值等知识的综合应用．属于难题．三、解答题（共6小题；共75分）16．已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）过A点且平行于BC的直线方程；（2）AC边上的高所在的直线方程．【分析】（1）利用相互平行的直线斜率之间的关系即可得出．（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：（1）∵kBC＝，∴与BC的直线的斜率k＝．故所求的直线为y﹣0＝（x﹣4），化为x﹣2y﹣4＝0．（2）∵kAC＝，∴AC边上的高所在的直线的斜率k＝．∴AC边上的高所在的直线方程为y﹣10＝（x﹣8），化为2x﹣3y+14＝0．【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题．17．在①圆经过C（3，4），②圆心在直线x+y﹣2＝0上，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．已知圆E经过点A（﹣1，2），B（6，3）且____．（1）求圆E的方程；（2）在圆E中，求以（2，1）为中点的弦所在的直线方程．【分析】若选①：（1）利用待定系数法设出圆的一般方程，代入点的坐标，求出方程即可；（2）求出圆心E和弦的中点M的坐标，由两点间斜率公式以及两条直线垂直的充要条件求出线的斜率，即可得到直线方程．若选②：（1）利用待定系数法设出圆的一般方程，代入点的坐标，求出方程即可；（2）求出圆心E和弦的中点M的坐标，由两点间斜率公式以及两条直线垂直的充要条件求出线的斜率，即可得到直线方程．【解答】解：•若选①：（1）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由题意可得，解得所以圆E的方程为x2+y2﹣6x+2y﹣15＝0，即（x﹣3）2+（y+1）2＝25；（2）由（1）可知圆心E的坐标为（3，﹣1），因为弦的中点为M（2，1），所以弦的斜率，故弦所在的直线方程为．若选②：（1）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由题意可得，解得所以圆E的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝25；（2）由（1）可知圆心E的坐标为（3，﹣1），因为弦的中点为M（2，1），所以弦的斜率，故弦所在的直线方程为．【点评】本题考查了圆的方程的求解，直线与圆位置关系的应用，主要考查了利用待定系数法求解圆的方程的应用，相交弦的理解与应用，两条直线垂直的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）求出平面ADC1的法向量和平面A1BA的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，4），B（2，0，0），C1（0，2，4），D（1，1，0），＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），设异面直线A1B与C1D所成角为θ，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为：cosθ＝＝＝．（2）＝（1，1，0），＝（0，2，4），设平面ADC1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，﹣2，1），平面A1BA的法向量＝（0，1，0），设平面ADC1与平面A1BA的夹角为α，则平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值为：cosα＝＝．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．已知椭圆M：的离心率为，焦距为．直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l方程为y＝x+m，先用m表示|AB|，然后求其最大值．【分析】（1）由离心率和焦距求出a，c的值，再由a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的方程；（2）设A，B的坐标，联立直线AB与椭圆的方程求出两根之和及两根之积，代入弦长所给可得弦长|AB|的表达式，进而求出|AB|的最大值．【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，2c＝2，b2＝a2﹣c2，所以可得：a2＝3，b2＝1，所以椭圆M的方程为：+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：4x2+6mx+3m2﹣3＝0，则Δ＝36m2﹣4×4×（3m2﹣3）＞0，可得m2＜4，x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以弦长|AB|＝•＝•＝•＝，所以|AB|max＝，此时m＝0．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，弦长公式的应用，属于中档题．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足＝0．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角F﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM推导出四边形CDEM为平行四边形，从而DE∥CM，由此能证明DE∥平面PBC．证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE∥平面PBC．（Ⅱ）设点F（1，t，0），求出平面FPC和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣PC﹣B的余弦值．（Ⅲ）设＝＝（﹣λ，0，λ），λ∈[0，1]，利用向量法能求出在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，|AQ|＝．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD∥AB，且CD＝，EM∥AB，且EM＝，∴EM∥CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE∥CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面PBC．（Ⅰ）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），E（），＝（﹣1，﹣1，0），＝（0，﹣1，1），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣1，1，1），又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE∥平面PBC．解：（Ⅱ）设点F（1，t，0），则＝（1，t﹣1，0），＝（1，2，0），∵＝0，∴＝1+2（t﹣1）＝0．解得t＝，∴F（1，，0），，＝（0，1，﹣1），设平面FPC的法向量＝（x，y，z），由，得，取x＝1，得＝（1，2，2），设二面角F﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设＝＝（﹣λ，0，λ），λ∈[0，1]，∴＝，∴＝λ﹣1，∴cos＜＞＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（﹣），|AQ|＝．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线面角的余弦值的求法，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．如图，△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足2＝，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足＝0．（Ⅰ）求AC边所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的外接圆的方程；（Ⅲ）若点N的坐标为（﹣n，0