2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期末数学试卷一、填空题1．设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝．2．集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞a}，若A⊆B，则a的取值范围是．3．已知函数f（x）与y＝ln（x﹣1）是互为反函数，则f（x）＝．4．方程lgx＝4﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k＝．5．函数，满足f（x）＞1的x的取值范围是．6．已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为．7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣1|＞a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．8．化简：＝．9．已知在[3，4]上是严格减函数，则实数a的取值范围是．10．已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）＝a|x|恰有3个互异的实数根，则实数a的取值范围为．11．设方程x2﹣2ax﹣1＝0的两根为x1、x2，且x1＜﹣2，0＜x2＜，则实数a的取值范围是．12．已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为．二、选择题13．已知实数x、y，则“|x|+|y|≤1”是“”的（）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要14．函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝﹣logax在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．15．函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断16．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，） B．（﹣∞，） C．（0，] D．（﹣∞，]三、解答题17．已知sinα+cosα＝，0＜α＜π．（1）求sinα﹣cosα的值；（2）求tanα﹣cotα的值．18．已知实数x满足9x﹣12•3x+27≤0．（1）求x的取值范围；（2）若函数，求f（x）的是大值和最小值，并求此时x的值．19．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，x（单位：天）时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y＝．根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？（2）若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．20．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0且a≠1）．（1）若0＜a＜1，判断y＝f（x）的奇偶性和单调性；（2）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；（3）若，g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．21．已知函数f（x）＝x2﹣1﹣k|x﹣1|，k∈R．（1）若y＝f（x）为偶函数，求k的值；（2）若y＝f（x）有且仅有一个零点，求k的取值范围；（3）求y＝f（x）在区间[0，2]上的最大值．

2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝{x|1＜x≤3}．【分析】根据交集定义求出即可．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}，故答案为：{x|1＜x≤3}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞a}，若A⊆B，则a的取值范围是a≤﹣1．【分析】先求出集合A，根据A⊆B，即可求出a的取值范围．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A⊆B，则a≤﹣1，故答案为：a≤﹣1．【点评】本题主要考查集合子集关系的应用，利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键．3．已知函数f（x）与y＝ln（x﹣1）是互为反函数，则f（x）＝ex+1，x∈R．【分析】先求函数y＝ln（x﹣1）的反函数，求出f（x）．【解答】解：由y＝ln（x﹣1）得x﹣1＝ey，所以x＝ey+1，所以函数y＝ln（x﹣1）的反函数为y＝ex+1，所以f（x）＝ex+1，x∈R．故答案是：ex+1，x∈R．【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础题．4．方程lgx＝4﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k＝3．【分析】设函数f（x）＝lgx+x﹣4，判断解的区间，即可得到结论．【解答】解：设函数f（x）＝lgx+x﹣4，则函数f（x）单调递增，∵f（4）＝lg4+4﹣4＝lg4＞0，f（3）＝lg3+3﹣4＝lg3﹣1＜0，∴f（3）f（4）＜0，在区间（3，4）内函数f（x）存在零点，∵方程lgx＝4﹣x的解在区间（k，k+1）（k∈Z），∴k＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查方程根的存在性，根据方程构造函数，利用函数零点的条件判断，零点所在的区间是解决本题的关键．5．函数，满足f（x）＞1的x的取值范围是x＜﹣1或x＞1．【分析】分x＞0和x≤0两种情况，分别代入解析式，解不等式即可得到x的取值范围．【解答】解：①x＞0时，f（x）＝＞1，得x＞1；②x≤0时，f（x）＝2﹣x﹣1＞1，即2﹣x＞2，得x＜﹣1，综上x的取值范围是x＜﹣1或x＞1．故答案为：x＜﹣1或x＞1【点评】本题考查分段函数的求值和解不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．6．已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l＝αr＝×2＝根据扇形的面积公式可得S＝lr＝××2＝．故答案为：．【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣1|＞a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【分析】设f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，x∈R，求出f（x）的最小值f（x）min，从而求出不等式|x+1|﹣|x﹣1|＞a恒成立时实数a的取值范围．【解答】解：由题意，设f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，x∈R，则f（x）＝，画出f（x）的图象，如图所示：由图象知，f（x）的最小值为f（x）min＝﹣2，所以不等式|x+1|﹣|x﹣1|＞a对任意x∈R恒成立，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了绝对值不等式应用问题，是基础题．8．化简：＝1．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：＝••＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．9．已知在[3，4]上是严格减函数，则实数a的取值范围是（0，）．【分析】由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得a的范围．【解答】解：∵已知在[3，4]上是严格减函数，∴y＝1﹣ax2在[3，4]上大于零且是严格减函数，∴a＞0，且y＝1﹣ax2在[3，4]上的最小值1﹣16a＞0，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于基础题．10．已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）＝a|x|恰有3个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，3）∪（3，+∞）．【分析】首先判断出x＝0是方程的一个根，从而将问题转化为方程a＝|x+3|（x≠0）恰有2个互异的实数根，即函数y＝a与y＝|x+3|（x≠0）的图象有2个不同的交点，作出函数图象，由图象即可得到答案．【解答】解：函数f（x）＝|x2+3x|，当x＝0时，满足f（x）＝a|x|，故方程f（x）＝a|x|有一个根为0；当x≠0时，则方程f（x）＝a|x|恰有2个互异的实数根，即方程a＝|x+3|（x≠0）恰有2个互异的实数根，等价于函数y＝a与y＝|x+3|（x≠0）的图象有2个不同的交点，作出函数y＝|x+3|（x≠0）的图象如图所示，由图象可知，实数a的取值范围为（0，3）∪（3，+∞）．故答案为：（0，3）∪（3，+∞）．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．11．设方程x2﹣2ax﹣1＝0的两根为x1、x2，且x1＜﹣2，0＜x2＜，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）．【分析】构造函数，结合函数的图象，建立不等式，即可得出结论．【解答】解：设f（x）＝x2﹣2ax﹣1，∵关于x的方程x2﹣2ax﹣1＝0的两根为x1、x2，且x1＜﹣2，0＜x2＜，∴，即，解得a∈（﹣∞，﹣）．故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题主要考查的是方程根的分布问题，对于此类题目可以转化为求抛物线零点分布的问题，利用函数思想解答，是中档题．12．已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为[，+∞）．【分析】因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根⇒y＝f（x+a）与y＝x有交点⇒方程，有根．进而得出答案．【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，则y＝f（x+a）与y＝x有交点，所以，即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．二、选择题13．已知实数x、y，则“|x|+|y|≤1”是“”的（）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【分析】利用充分条件与必要条件的定义进行分析判断即可．【解答】解：当|x|+|y|≤1时，则，故充分性成立，当|x|＝1，|y|＝1时，满足，但是|x|+|y|＝2，故必要性不成立，所以“|x|+|y|≤1”是“”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式性质的应用，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．14．函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝﹣logax在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据指数函数和对数函数的图象和性质，结合单调性进行判断即可．【解答】解：f（x）＝（）x，g（x）的定义域为（0，+∞），排除A，若0＜a＜1，则f（x）为增函数，g（x）为增函数，若a＞1，则f（x）为减函数，g（x）为减函数，即f（x），g（x）的单调性相同，排除C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键，是基础题．15．函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性求解即可【解答】解：由已知函数是幂函数，可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，当m＝2时，f（x）＝x3；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣3．对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，函数是单调增函数，∴m＝2，f（x）＝x3．a+b＞0，ab＜0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f（a）+f（b）恒大于0．故选：A．【点评】本题考查幂函数的性质以及幂函数的定义的应用，考查计算能力16．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，） B．（﹣∞，） C．（0，] D．（﹣∞，]【分析】根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t＝0的两个根，设m＝＝，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t＝0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．【点评】本题主要考查函数的值域问题，利用对数函数和指数函数的性质，是解决本题的关键．三、解答题17．已知sinα+cosα＝，0＜α＜π．（1）求sinα﹣cosα的值；（2）求tanα﹣cotα的值．【分析】（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得2sinαcosα＝﹣＜0，结合0＜α＜π，可得：sinα＞0，cosα＜0，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解sinα﹣cosα的值．（2）由（1）可得sinαcosα的值，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】解：（1）因为：sinα+cosα＝，则两边平方，可得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，解得：2sinαcosα＝﹣＜0，因为：0＜α＜π，可得：sinα＞0，cosα＜0，可得：sinα﹣cosα＝＝＝．（2）因为由（1）可得sinαcosα＝﹣，所以tanα﹣cotα＝﹣＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．已知实数x满足9x﹣12•3x+27≤0．（1）求x的取值范围；（2）若函数，求f（x）的是大值和最小值，并求此时x的值．【分析】（1）问题转化为（3x﹣3）（3x﹣9）≤0，求出x的范围即可；（2）将f（x）的解析式配方，结合二次函数的性质求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）由9x﹣12•3x+27≤0，得（3x）2﹣12•3x+27≤0，即（3x﹣3）（3x﹣9）≤0，∴3≤3x≤9，解得x的取值范围为：1≤x≤2；（2）因为f（x）＝log2（2x）•＝（log2x+1）（log2x﹣2）＝（log2x）2﹣log2x﹣2＝（log2x﹣）2﹣，∵1≤x≤2，∴0≤log2x≤1，当log2x＝，即x＝时，f（x）min＝﹣，当log2x＝1或log2x＝0，即x＝1或2时，f（x）max＝﹣2．【点评】本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是中档题．19．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，x（单位：天）时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y＝．根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？（2）若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．【分析】（1）由题意x，（单位：天）时刻后水中含有物质N的量列出分段函数的解析式，推出在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用的天数．（2）设第x（8≤x≤12）天水中所含物质N的量为ymol/L，化简函数的解析式，利用基本不等式求解函数的最大值，推出结果即可．【解答】解：（1）由题意x，（单位：天）时刻后水中含有物质N的量为．解y≥4，得2≤x≤8．所以若在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用7天．（2）设第x（8≤x≤12）天水中所含物质N的量为ymol/L，则，，当且仅当，即x＝10∈[8，12]时，等号成立．即当x＝10时，ymax＝6．所以第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6mol/L．【点评】本题考查函数模型的运用，基本不等式的应用，考查学生的计算能力，是中档题．20．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0且a≠1）．（1）若0＜a＜1，判断y＝f（x）的奇偶性和单调性；（2）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；（3）若，g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【分析】（1）根据奇函数定义判断，（2）根据奇函数，单调性转化为x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，Δ＝（t﹣1）2﹣16＜0，求解．（3）令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数，转化求解．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵0＜a＜1，∴y＝ax递减，y＝﹣a﹣x递减，故f（x）是减函数；（2）f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，故f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴Δ＝（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5；（3）∵f（1）＝，∴a﹣＝，即2a2﹣3a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣（舍去），∴g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数，∵x≥1，∴t≥f（1）＝，令h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），若m≥，当t＝m时，h（t）min＝2﹣m2＝﹣2，∴m＝2；若m＜时，当t＝时，h（t）min＝﹣2，解得m＝＞，无解；综上，m＝2．【点评】本题考查了函数的性质，运用解决综合问题，属于难题．